Тема: «Функция: понятие, способы задания, основные характеристики. Обратная функция. Суперпозиция функций.»

Эпиграф урока:

«Изучать что-либо и не задумываться над

выученным - абсолютно бесполезно.

Задумываться над чем-либо, не изучив

предварительно предмет раздумий-

Конфуций.

Цель и психолого-педагогические задачи урока :

1) Общеобразовательная (нормативная) цель : повторить со студентами определение и свойства функции. Ввести понятие суперпозиции функций.

2) Задачи математического развития студентов : на нестандартном учебно-математическом материале продолжить развитие ментального опыта учащихся, содержательной когнитивной структуры их математического интеллекта, в том числе, способностей к логико-дедуктивному и индуктивному, аналитическому и синтетическому обратимому мышлению, к алгебраическому и образно-графическому мышлению, к содержательному обобщению и конкретизации, к рефлексии и самостоятельности как метакогнитивной способности студентов; продолжить развитие культуры письменной и устной речи как психологических механизмов учебно-математического интеллекта.

3) Воспитательные задачи : продолжить личностное воспитание у студентов познавательного интереса к математике, ответственности, чувства долга, академической самостоятельности, коммуникативного умения сотрудничать с группой, преподавателем, согруппниками; аутогогической способности к соревновательной учебно-математической деятельности , стремления к высоким и высшим ее результатам (акмеический мотив).

Тип урока : изучение нового материала; по критерию ведущего математического содержания - урок-практикум; по критерию типа информационного взаимодействия учащихся и преподавателя – урок сотрудничества.

Оборудование урока:

1. Учебная литература:

1) Кудрявцев математического анализа: Учеб. для студентов университетов и вузов. В 3 т. Т. 3. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1989. – 352 с. : ил.

2) Демидович задач и упражнений по математическому анализу. – 9-е изд. – М.: Издательство «Наука», 1977.

2. Иллюстрации.

Ход урока .

1.Объявление темы и главной образовательной цели урока; стимулирование чувства долга, ответственности, познавательного интереса студентов при подготовке к сессии .

2.Повторение материала по вопросам.

a) Дать определение функции.

Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств.

Пусть даны два непустых множества и . Соответствие f, которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент , называется функцией и записывается y = f(x). Говорят еще, что функция f отображает множество на множество .

https://pandia.ru/text/79/018/images/image003_18.gif" width="63" height="27">.gif" width="59" height="26"> называется множеством значений функции f и обозначается E(f).

б) Числовые функции. График функции. Способы задания функций.

Пусть задана функция .

Если элементами множеств и являются действительные числа, то функцию f называют числовой функцией . Переменная x при этом называется аргументом или независимой переменной, а y – функцией или зависимой переменной (от x). Относительно самих величин x и y говорят, что они находятся в функциональной зависимости .

Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости Oxy, для каждой из которых x является значением аргумента, а y – соответствующим значением функции.

Чтобы задать функцию y = f(x), необходимо указать правило, позволяющее, зная x, находить соответствующее значение y.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ : функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Например:

Если область определения функции y = f(x) не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл.

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию y = f(x).

Графический способ : задается график функции.

Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком – его неточность.

Табличный способ : функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.

в) Основные характеристики функции.

1. Функция y = f(x),определенная на множестве D, называется четной , если выполняются условия и f(-x) = f(x); нечетной , если выполняются условия и f(-x) = -f(x).

График четной функции симметричен относительно оси Oy, а нечетной – относительно начала координат. Например, – четные функции; а y = sinx, https://pandia.ru/text/79/018/images/image014_3.gif" width="73" height="29"> – функции общего вида, т. е. не четные и не нечетные.

2.Пусть функция y = f(x) определена на множестве D и пусть . Если для любых значений аргументов из неравенства вытекает неравенство: , то функция называется возрастающей на множестве ; если , то функция называется неубывающей на https://pandia.ru/text/79/018/images/image021_1.gif" width="117" height="28 src=">то функция наз. убывающей на ; - невозрастающей .

Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве https://pandia.ru/text/79/018/images/image023_0.gif" width="13" height="13">D значение (x+T)D и выполняется равенство f(x+T) = f(x).

Для построения графика периодической функции периода T достаточно построить его на любом отрезке длины T и периодически продолжить его во всю область определения.

Отметим основные свойства периодической функции.

1) Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих один и тот же период T, есть периодическая функция с периодом T.

2) Если функция f(x) имеет период T, то функция f(ax) имеет период T/a.

г) Обратная функция.

Пусть задана функция y = f(x) с областью определения D и множеством значений E..gif" width="48" height="22">, то определена функция x = z(y) с областью определения E и множеством значений D. Такая функция z(y) называется обратной к функции f(x) и записывается в следующем виде: . Про функции y = f(x) и x = z(y) говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию x = z(y), обратную к функции y = f(x), достаточно решить уравнение f(x) = y относительно x.

Примеры :

1. Для функции y = 2x обратной функцией является функция x = ½ y;

2. Для функции обратной функцией является функция .

Из определения обратной функции вытекает, что функция y = f(x) имеет обратную тогда и только тогда, когда f(x) задает взаимно однозначное соответствие между множествами D и E. Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную . При этом, если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

3. Изучение нового материала.

Сложная функция.

Пусть функция y = f(u) определена на множестве D, а функция u = z(x) на множестве , причем для соответствующее значение . Тогда на множестве определена функция u = f(z(x)), которая называется сложной функцией от x (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции ).

Переменную u = z(x) называют промежуточным аргументом сложной функции.

Например, функция y = sin2x есть суперпозиция двух функций y = sinu и u = 2x. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

4. Решение нескольких примеров у доски.

5. Заключение урока.

1) теоретико-прикладные итоги практического занятия; дифференцированная оценка уровня ментального опыта учащихся; уровня усвоения ими темы, компетентности, качества устной и письменной математической речи; уровня проявленного творчества; уровня самостоятельности и рефлексии; уровня инициативы, познавательного интереса к отдельным методам математического мышления; уровней сотрудничества, интеллектуальной состязательности, стремления к высоким показателям учебно-математической деятельности и др.;

2) объявление аргументированных отметок, поурочного балла.

Построить функцию

Мы предлагаем вашему вниманию сервис по потроению графиков функций онлайн, все права на который принадлежат компании Desmos . Для ввода функций воспользуйтесь левой колонкой. Вводить можно вручную либо с помощью виртуальной клавиатуры внизу окна. Для увеличения окна с графиком можно скрыть как левую колонку, так и виртуальную клавиатуру.

Преимущества построения графиков онлайн

• Визуальное отображение вводимых функций
• Построение очень сложных графиков
• Построение графиков, заданных неявно (например эллипс x^2/9+y^2/16=1)
• Возможность сохранять графики и получать на них ссылку, которая становится доступной для всех в интернете
• Управление масштабом, цветом линий
• Возможность построения графиков по точкам, использование констант
• Построение одновременно нескольких графиков функций
• Построение графиков в полярной системе координат (используйте r и θ(\theta))

С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности. Построение производится мгновенно. Сервис востребован для нахождения точек пересечения функций, для изображения графиков для дальнейшего их перемещения в Word документ в качестве иллюстраций при решении задач, для анализа поведенческих особенностей графиков функций. Оптимальным браузером для работы с графиками на данной странице сайта является Google Chrome. При использовании других браузеров корректность работы не гарантируется.

Однотактные (не содержащие элементов памяти) дискретные логические устройства реализуют на выходе некоторый набор функций алгебры логики `F m = (F 1 ,F 2 ,…,F m ), которые в каждый момент времени зависят только от состояния входов устройства `х n = (x 1 ,x 2 ,…,x n ): `F m = `F m (`х n ). Практически такие устройства проектируют и изготавливают из отдельных неделимых элементов, реализующих некоторый набор (систему) {f } элементарных функций алгебры путем присоединения выходов одних элементов ко входам других.

При проектировании логических устройств актуальными являются следующие вопросы.

1. Задана система элементарных функций {f }. Какие выходные функции F i можно получить, используя функции из {f }?

2. Задано множество выходных булевых функций {F } (в частности, равное всему множеству функций алгебры логики Р 2). Какой должна быть исходная система элементарных функций {f }, обеспечивающая возможность получения на выходе любой из функций множества {F }?

Для обоснованного ответа на данные вопросы используют понятия суперпозиции, замкнутости и полноты систем функций.

Определение. Рассмотрим множество логических связок {F }, соответствующее некоторой системе функций {f }. Суперпозицией над {f } называется любая функция j, которую можно реализовать формулой над {F }.

Практически суперпозицию можно представить как результат подстановки функций из {f } в качестве аргументов в функции из этого же множества.

Пример 1 . Рассмотрим систему функций {f }= {f 1 (х ) =`х, f 2 (х,у )= х &у, f 3 (х,у )= х Úу } . Подставляя в функцию f 3 (х,у ) вместо первого аргумента х функцию f 1 (х ), вместо второго - f 2 (х,у ), получим суперпозицию h (х,у )= f 3 (f 1 (х ), f 2 (х,у ))=`х Ú х & у . Физическая реализация подстановки дана на рис.1.18.

Определение. Пусть М -некоторое множество функций алгебры логики(P 2). Множество всех суперпозиций над М называется замыканием множества М и обозначается [М ]. Получение [М ]по исходному множеству М называется операцией замыкания . Множество М называется функционально замкнутым классом , если [М ] = М . Подмножество m Í M называется функционально полной системой в М , если [m ] = М .

Замыкание [М ]представляет собой все множество функций, которое можно получить из М путем применения операции суперпозиции, т.е. всех возможных подстановок.

Замечания. 1. Очевидно, любая система функций {f } является функционально полной в себе самой.

2 . Без ограничения общности можно считать, что тождественная функция f (х )=х , не изменяющая значений истинности переменных, изначально входит в состав любой системы функций.

Пример 2 . Для рассмотренных ниже систем функций {f } выполнить следующие действия:

1) найти замыкание [f ],

2) выяснить, будет ли система {f } замкнутым классом,

3) найти функционально полные системы в {f }.

Решение .

I. {f }={0}. При подстановке функции {fº 0} в саму себя получаем ее же, т.е. никаких новых функций не образуется. Отсюда следует: [f ] = {f }. Рассмотренная система является функционально замкнутым классом. Функционально полная система в ней одна и равна всей {f }.

II. {f }= {0,Ø }. Подстановка Ø (Ø х )дает тождественную функцию, которая формально не расширяет исходную систему. Однако при подстановке Ø (0) получим тождественную единицу - новую функцию, которой не было в исходной системе: Ø (0)=1. Применение всех других подстановок не приводит к появлению новых функций, например: ØØ 0= 0, 0(Ø х )=0.

Таким образом, применение операции суперпозиции позволило получить более широкое по сравнению с исходным множество функций [f ]={0,Ø ,1}. Отсюда следует строгое вхождение: {f } Ì [f ]. Исходная система {f }не является функционально замкнутым классом. Кроме самой системы {f }других функционально полных систем в ней нет, поскольку в случае её сужения из одной функции f= 0 нельзя путем подстановки получить отрицание, а из одной функции отрицания нельзя получить тождественный нуль.

III. {f } = {& ,Ú ,Ø }.Замыканием данной системы является все множество функций алгебры логики P 2 , так как формулу любой из них можно представить в виде ДНФ либо КНФ, в которых используются элементарные функции {f } = {& ,Ú ,Ø}. Данный факт является конструктивным доказательством полноты рассмотренной системы функций в P 2: [f ] =P 2 .

Поскольку в P 2 содержится бесконечное множество других функций, отличных от {f } = {& ,Ú ,Ø }, то отсюда следует строгое вхождение: {f }Ì[f ]. Рассмотренная система не является функционально замкнутым классом.

Помимо самой системы функционально полными в ней будут подсистемы {f } 1 = {& ,Ø } и {f } 2 = {Ú ,Ø }. Это следует из того, что при помощи правил де Моргана функцию логического сложения Úможно выразить через {& ,Ø},а функцию логического умножения & - через {Ú, Ø}:

(х & у ) = Ø (`х Ú`у ), (х Ú у ) = Ø (х &`у ).

Других функционально полных подсистем в {f } нет.

Проверку полноты подсистемы функций {f } 1 Ì {f }во всей системе {f }можно производить путем сведения {f } 1 к другой, заведомо полной в {f }системе.

Неполноту подсистемы {f } 1 в {f }можно проверить, доказав строгое вхождение [f 1 ] Ì [f ].

Определение. Подмножество m Í M называют функциональным базисом (базисом ) системы М , если [m ] = М , а после исключения из нее любой функции множество оставшихся не полно в М .

Замечание . Базисами системы функций {f} являются все ее функционально полные подсистемы {f} 1 , которые невозможно уменьшить без потери полноты в {f} .

Пример 3 . Для всех систем, рассмотренных в Примере 2, найти базисы.

Решение .В случаях 1 и 2 функционально полными являются только сами системы и сузить их невозможно. Следовательно, они же являются и базисами.

В случае 3 есть две функционально полные в {f }подсистемы {f } 1 = {&,Ø } и {f } 2 ={Ú,Ø }, которые невозможно сократить без потери полноты. Они будут базисами системы {f } = {&,Ú,Ø}.

Определение. Пусть система {f }является замкнутым классом. Ее подмножество {f } 1 Ì {f }называют предполным классом в {f }, если {f } 1 не полно в {f } ([f 1 ] Ì [f ]), а для любой функции jиз системы{f }, не входящей в {f } 1 (jÎ{f } \ {f } 1) справедливо: [j È {f } 1 ] = [f ], т.е. прибавление jк {f } 1 делает ее полной в {f }.

Задачи

1. Проверить замкнутость множеств функций:

а) {Ø }; б) {1, Ø }; в) {(0111); (10)};г) {(11101110); (0110)};д) {(0001); (00000001); (0000000000000001); … }.

2. Проверить полноту систем функций в P 2:

а) {0,Ø }; б) {(0101) , (1010) }; в) {¯ }; г) {(0001) , (1010) }.

3. Найти замыкание системы функций и ее базис:

а) {0 , 1 , Ø }; б) {(1000) , (1010), (0101) }; в) {(0001) , (1110), (10) }; г) {(1010) , (0001), (0111) }.

1.10.2 Функции, сохраняющие константы. Классы Т 0 и Т 1

Определение. Функция f (`х n ) сохраняет 0, если f (0,..., 0) = 0. Функция f (`х n ) сохраняет 1, если f (1, ... , 1) = 1.

Множества функций n переменных, сохраняющих 0 и 1, обозначают, соответственно, Т 0 n и Т 1 n . Все множества функций алгебры логики, сохраняющих 0 и 1, обозначают Т 0 и Т 1 . Каждое из множеств Т 0 и Т 1 является замкнутым предполным классом в Р 2 .

Из элементарных функций в Т 0 и Т 1 одновременно входят, например, &и Ú. Принадлежность любой функции к классам Т 0 , Т 1 можно проверить по первому и последнему значению ее вектора значений в таблице истинности либо непосредственной подстановкой нулей и единиц в формулу при аналитическом задании функции.

Определение. Дублирующей называют такую подстановку, при которой вместо нескольких независимых переменных в функцию подставляют одну и ту же переменную. При этом величины переменных в наборах, которые раньше принимали значения независимо друг от друга, всегда будут одинаковыми.

ЗАДАЧИ

1.Проверить принадлежность к классам Т 0 и Т 1 функций:

а) обощенного сложения, б) обощенного умножения, в) констант, г) ху Ú yz , д) х ® у ® ху , е) х Å у , ж)( х 1 Å… Å х n) ® ( y 1 Å… Å y m) при n,m Î N.

2. Доказать замкнутость каждого из классов Т 0 и Т 1 .

3. Доказать, что если f (`х n ) ÏТ 0 , то из нее путем дублирующей подстановки можно получить константу 1 либо отрицание.

4. Доказать, что если f (`х n ) ÏТ 1 , то из нее путем дублирующей подстановки можно получить константу 0 либо отрицание.

5. Доказать предполноту каждого из классов Т 0 и Т 1 (например, сведением дополненной системы к {f } = {& ,Ú ,Ø }).

6. Найти мощность классов Т 0 n и Т 1 n .

Познакомимся с понятием суперпозиции (или наложения) функций, которая состоит в том, что вместо аргумента данной функции подставляется некоторая функция от другого аргумента. Например, суперпозиция функций даёт функцию аналогично получаются и функции

В общем виде, предположим, что функция определена в некоторой области а функция определена в области причем значения ее все содержатся в области Тогда переменная z, как говорят, через посредство у, и сама является функцией от

По заданному из сначала находят соответствующее ему (по правилу, характеризуемому знаком значение у из У, а затем устанавливают соответствующее этому значению у (по правилу,

характеризуемому знаком значение его и считают соответствующим выбранному х. Полученная функция от функции или сложная функция и есть результат суперпозиции функций

Предположение, что значения функции не выходят за пределы той области У, в которой определена функция весьма существенно: если его опустить, то может получиться и нелепость. Например, полагая мы можем рассматривать лишь такие значения х, для которых ибо иначе выражение не имело бы смысла.

Мы считаем полезным здесь же подчеркнуть, что характеристика функции, как сложной, связана не с природой функциональной зависимости z от х, а лишь со способом задания этой зависимости. Например, пусть для у в для Тогда

Здесь функция оказалась заданной в виде сложной функции.

Теперь, когда полностью выяснено понятие суперпозиции функций, мы можем точно охарактеризовать простейший из тех классов функций, которые изучаются в анализе: это, прежде всего, перечисленные выше элементарные функции а затем - все те, которые из них получаются с помощью четырёх арифметических действий и суперпозиций, последовательно применённых конечное число раз. Про них говорят, что они выражаются через элементарные в конечном виде; иногда их все также называют элементарными.

Впоследствии, овладев более сложным аналитическим аппаратом (бесконечные ряды, интегралы), мы познакомимся и с другими функциями, также играющими важную роль в анализе, но уже выходящими за пределы класса элементарных функций.

Пусть есть 2 функции:

: A→B и g: D→F

Пусть область определения D функции g входит в область значений функции f (DB). Тогда можно определить новую функцию – суперпозицию (композицию, сложную функцию) функций f и g: z = g ( (x )).

Примеры. f(x)=x 2 , g(x)=e x . f:R→R, g:R→R.

(g(x))=e 2x , g((x))=.

Определение

Пусть идве функции. Тогда их композицией называется функция, определённая равенством:

Свойства композиции

Композиция ассоциативна:

Если F = id X - тождественное отображение на X , то есть

.

Если G = id Y - тождественное отображение на Y , то есть

.

Дополнительные свойства

Счетные и несчетные множества.

Два конечных множества состоят из равного числа элементов, если между этими множествами можно установить взаимно однозначное соответствие. Число элементов конечного множества – мощность множества.

Для бесконечного множества можно установить взаимно однозначное соответствие между всем множеством и его частью.

Самым простым из бесконечных множеств является множество N.

Определение. Множества А и В называются эквивалентными (АВ), если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Если эквивалентны два конечных множества, то они состоят из одного и того же числа элементов.

Если же эквивалентные между собой множества А и В произвольны, то говорят, что А и В имеют одинаковую мощность . (мощность = эквивалентность).

Для конечных множеств понятие мощности совпадает с понятием числа элементов множества.

Определение. Множество называется счетным , если можно установить взаимно однозначное соответствие между ним и множеством натуральных чисел. (Т.е. счетное множество – бесконечное, эквивалентное множеству N).

(Т.е. все элементы счетного множества можно занумеровать).

Свойства отношения равномощности.

1) АА- рефлексивность.

2) АВ, то ВА – симметричность.

3) АВ и ВС, то АС – транзитивность.

Примеры.

1) n→2n, 2,4,6,… - четные натуральные

2) n→2n-1, 1,3,5,…- нечетные натуральные.

Свойства счетных множеств .

1. Бесконечные подмножества счетного множества счетны.

Доказательство . Т.к. А – счетно, то А: х 1 ,х 2 ,… - отобразили А в N.

ВА, В: →1,→2,… - поставили каждому элементу В в соответствиенатуральное число, т.е. отобразили В в N. Следовательно В – счетно. Ч.т.д.

2. Объединение конечной (счетной) системы счетных множеств – счетно.

Примеры .

1. Множество целых чисел Z – счетно, т.к. множество Z можно представить как объединение счетных множеств А и В, где А: 0,1,2,.. и В: -1,-2,-3,…

2. Множество упорядоченных пар {(m,n): m,nZ} (т.е. (1,3)≠(3,1)).

3 (!) . Множество рациональных чисел – счетно.

Q=. Можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством несократимых дробейQ и множеством упорядоченных пар:

Т.о. множество Q равномощно множеству {(p,q)}{(m,n)}.

Множество {(m,n)} – множество всех упорядоченных пар – счетно. Следовательно и множество {(p,q)} – счетно, а значит и Q – счетно.

Определение. Иррациональным числом называется произвольная бесконечная десятичная непериодическая дробь, т.е.  0 , 1  2 …

Множество всех десятичных дробей образуют множество вещественных (действительных) чисел.

Множество иррациональных чисел – несчетно.

Теорема 1 . Множество вещественных чисел из промежутка (0,1) – несчетное множество.

Доказательство . Допустим противное, т.е. что все числа интервала (0,1) можно занумеровать. Тогда, записывая эти числа в виде бесконечных десятичных дробей, получим последовательность:

х 1 =0,а 11 а 12 …a 1n …

x 2 =0,a 21 a 22 …a 2n …

…………………..

x n =0,a n 1 a n 2 …a nn …

……………………

Рассмотрим теперь вещественное число х=0,b 1 b 2 …b n …, где b 1 - любая цифра, отличная от а 11 , (0 и 9), b 2 - любая цифра, отличная от а 22 , (0 и 9),…, b n - любая цифра, отличная от a nn , (0 и 9).

Т.о. х(0,1), но хx i (i=1,…,n) т.к. в противном случае, b i =a ii . Пришли к противоречию. Ч.т.д.

Теорема 2. Любой промежуток вещественной оси является несчетным множеством.

Теорема 3. Множество действительных (вещественных) чисел – несчетно.

Про всякое множество, равномощное множеству вещественных чисел говорят, что оно мощности континуума (лат. continuum – непрерывное, сплошное).

Пример . Покажем, что интервал обладает мощностью континуума.

Функция у=tg x: →R отображает интервал на всю числовую прямую (график).