Elektromos diagram, amelyet valamilyen logikai művelet végrehajtására terveztek bemeneti adatokkal, logikai elemnek nevezzük. A bemeneti adatok itt különböző szintű feszültségek formájában jelennek meg, és a kimeneten a logikai művelet eredménye is egy bizonyos szintű feszültség formájában jelenik meg.

Ebben az esetben az operandusokat táplálják - a logikai elem bemenetén magas vagy alacsony szintű feszültség formájában jelek érkeznek, amelyek lényegében bemeneti adatként szolgálnak. Így a magas szintű feszültség - a logikai 1 - az operandus valós értékét jelzi, az alacsony szintű 0 pedig hamis értéket. 1 - IGAZ, 0 - HAMIS.

Logikai elem- olyan elem, amely bizonyos logikai kapcsolatokat valósít meg a bemeneti és kimeneti jelek között. A logikai elemeket általában számítógépek logikai áramköreinek és diszkrét automatikus felügyeleti és vezérlő áramköröknek a felépítésére használják. Minden típusú logikai elemet, függetlenül azok fizikai természetétől, a bemeneti és kimeneti jelek diszkrét értékei jellemzik.

A logikai elemeknek egy vagy több bemenete és egy vagy két (általában egymáshoz képest fordított) kimenete van. A logikai elemek kimeneti jeleinek „nulla” és „egyes” értékét az elem által végrehajtott logikai funkció, valamint a lejátszott bemeneti jelek „nulla” és „egyes” értéke határozza meg. független változók szerepe. Vannak alapvető logikai függvények, amelyből bármilyen összetett logikai függvény összeállítható.

Az elemáramkör kialakításától függően, annak elektromos paraméterek, logikai szintek (magas és alacsony szintek feszültségek) bemeneti és kimeneti értékei azonosak a magas és alacsony (igaz és hamis) állapotokhoz.

Hagyományosan a logikai elemeket speciális rádióalkatrészek - integrált áramkörök - formájában állítják elő. Az olyan logikai műveletek, mint a konjunkció, diszjunkció, negáció és modulo-összeadás (ÉS, VAGY, NEM, XOR) a logikai kapuk fő típusaival végzett alapvető műveletek. Ezután nézzük meg közelebbről az egyes típusú logikai elemeket.

Logikai elem "AND" - kötőszó, logikai szorzás, ÉS

Az „ÉS” egy logikai elem, amely konjunkciót vagy logikai szorzást hajt végre a bemeneti adatokon. Ennek az elemnek 2-8 bemenete és egy kimenete lehet (a termelésben a legelterjedtebbek az „ÉS” elemek 2, 3, 4 és 8 bemenettel).

A logikai elemek szimbólumai "ÉS" -val különböző összegeket A bemenetek az ábrán láthatók. A szövegben egy bizonyos számú bemenettel rendelkező „ÉS” logikai elemet „2I”, „4I” stb.-nek jelölünk - egy „AND” elemet két bemenettel, négy bemenettel stb.

A 2I elem igazságtáblázata azt mutatja, hogy az elem kimenete csak akkor lesz logikai, ha a logikaiak egyszerre vannak az első bemeneten ÉS a második bemeneten. A fennmaradó három lehetséges esetben a kimenet nulla lesz.

A nyugati diagramokban az I elem ikonjának egy egyenes vonala van a bemeneten és egy lekerekített vonal a kimeneten. Tovább hazai rendszerek- egy téglalap „&” szimbólummal.

Logikai elem "OR" - diszjunkció, logikai összeadás, VAGY

Az „OR” egy logikai elem, amely diszjunkciót vagy logikai összeadást hajt végre a bemeneti adatokon. Az „I” elemhez hasonlóan két, három, négy stb. bemenettel és egy kimenettel is elérhető. A különböző számú bemenettel rendelkező "OR" logikai elemek szimbólumait az ábra mutatja. Ezeket az elemeket a következőképpen jelöljük: 2OR, 3OR, 4OR stb.

A „2OR” elem igazságtáblázata azt mutatja, hogy ahhoz, hogy egy logikai megjelenjen a kimeneten, elegendő, ha a logikai az első bemeneten, VAGY a második bemeneten van. Ha egyszerre két bemeneten vannak logikaiak, akkor a kimenet is egy lesz.

A nyugati diagramokban az „OR” elem ikonjának van egy lekerekített bemenete és egy lekerekített, hegyes kimenete. A hazai diagramokon egy téglalap található „1” szimbólummal.

Logikai elem "NOT" - negáció, inverter, NEM

A „NOT” egy logikai elem, amely logikai negációs műveletet hajt végre a bemeneti adatokon. Ezt az egy kimenettel és csak egy bemenettel rendelkező elemet inverternek is nevezik, mivel valójában invertálja (megfordítja) a bemeneti jelet. Az ábra mutatja szimbólum logikai elem "NEM".

Az inverter igazságtáblázata azt mutatja, hogy a nagy bemeneti potenciál alacsony kimeneti potenciált eredményez, és fordítva.

A nyugati diagramokon a „NEM” elem ikonja háromszög alakú, a kimeneten körrel. A hazai diagramokon egy téglalap található „1” szimbólummal, a kimeneten egy kör.

Logikai elem "NAND" - konjunkció (logikai szorzás) tagadással, NAND

Az „AND-NOT” egy logikai elem, amely logikai összeadás műveletet hajt végre a bemeneti adatokon, majd egy logikai negálás műveletet, az eredményt elküldi a kimenetre. Más szóval, ez alapvetően egy „ÉS” elem, kiegészítve egy „NOT” elemmel. Az ábrán a „2AND-NOT” logikai elem szimbóluma látható.

A NAND-kapu igazságtáblázata az ÉS-kapu igazságtáblázatának ellentéte. Három nulla és egy helyett három egyes és egy nulla van. A NAND elemet „Schaeffer elemnek” is nevezik Henry Maurice Schaeffer matematikus tiszteletére, aki először 1913-ban jegyezte meg jelentőségét. „I”-ként jelölve, csak egy körrel a kimeneten.

Logikai elem "OR-NOT" - disjunkció (logikai összeadás) tagadással, NOR

Az „OR-NOT” egy logikai elem, amely egy logikai összeadás műveletet hajt végre a bemeneti adatokon, majd egy logikai negációs műveletet, az eredményt elküldi a kimenetre. Más szóval, ez egy „OR” elem, kiegészítve egy „NOT” elemmel - egy inverterrel. Az ábrán a „2OR-NOT” logikai elem szimbóluma látható.

A VAGY-kapu igazságtáblázata ellentéte a VAGY-kapu igazságtáblázatának. Magas kimeneti potenciál csak egy esetben érhető el - alacsony potenciál egyidejűleg mindkét bemenetre vonatkozik. „OR”-ként van jelölve, csak a kimeneten egy kör jelzi az inverziót.

Logikai kapu "exkluzív VAGY" - kiegészítés modulo 2, XOR

Az „exkluzív VAGY” egy logikai elem, amely modulo 2 logikai összeadási műveletet hajt végre a bemeneti adatokon, két bemenete és egy kimenete van. Ezeket az elemeket gyakran használják a vezérlőáramkörökben. Az ábra ennek az elemnek a szimbólumát mutatja.

A kép a nyugati áramkörökben „OR”-szerű, a bemeneti oldalon további íves csíkkal, a hazaiakban „OR”-os, csak „1” helyett „=1” lesz írva.

Ezt a logikai elemet „egyenértékűségnek” is nevezik. Csak akkor lesz magas feszültségszint a kimeneten, ha a bemeneti jelek nem egyenlőek (az egyik az egyik, a másik nulla, vagy az egyik nulla, a másik pedig egy), még akkor is, ha kettő van a bemeneten ugyanakkor a kimenet nulla lesz - ez a különbség az "OR"-tól. Ezeket a logikai elemeket széles körben használják az összeadókban.

Konjunkció vagy logikai szorzás (halmazelméletben ez metszéspont)

A kötőszó egy összetett logikai kifejezés, amely akkor és csak akkor igaz, ha mindkét egyszerű kifejezés igaz. Ez a helyzet csak egyetlen esetben lehetséges, minden más esetben hamis a kötőszó.

Jelölés: &, $\wedge$, $\cdot$.

Igazságtáblázat a kötőszóhoz

1. kép

A konjunkció tulajdonságai:

1. Ha egy kötőszó legalább egy részkifejezése hamis a változóértékek valamelyikén, akkor az egész kötőszó hamis lesz ennél az értékkészletnél.
2. Ha egy kötőszó minden kifejezése igaz a változóértékek valamely halmazára, akkor a teljes kötőszó is igaz lesz.
3. Egy összetett kifejezés teljes kötőszójának jelentése nem függ attól, hogy milyen sorrendben írják le azokat a részkifejezéseket, amelyekre alkalmazzák (mint a szorzás a matematikában).

Diszjunkció vagy logikai összeadás (halmazelméletben ez unió)

A diszjunkció egy összetett logikai kifejezés, amely szinte mindig igaz, kivéve ha minden kifejezés hamis.

Jelölés: +, $\vee$.

Igazságtáblázat a diszjunkcióhoz

2. ábra.

A diszjunkció tulajdonságai:

1. Ha a diszjunkció legalább egy részkifejezése igaz egy bizonyos változóérték-halmazra, akkor a teljes diszjunkció igaz értéket vesz fel erre a részkifejezéshalmazra.
2. Ha a diszjunkciók valamelyik listájából minden kifejezés hamis a változóértékek egy halmazán, akkor ezen kifejezések teljes diszjunkciója is hamis.
3. A teljes diszjunkció jelentése nem függ a részkifejezések írási sorrendjétől (mint a matematikában - összeadás).

Negáció, logikai tagadás vagy inverzió (a halmazelméletben ez tagadás)

A tagadás azt jelenti, hogy az eredeti logikai kifejezéshez hozzáadódik a NEM részecske vagy a FALSE szó, MI és ennek eredményeként azt kapjuk, hogy ha az eredeti kifejezés igaz, akkor az eredeti tagadása hamis lesz és fordítva, ha az eredeti kifejezés hamis, akkor a tagadása igaz lesz.

Jelölés: nem $A$, $\bar(A)$, $¬A$.

Igazságtáblázat az inverzióhoz

3. ábra.

A tagadás tulajdonságai:

A $¬¬A$ „kettős tagadása” az $A$ állítás következménye, vagyis a formális logikában tautológia, és magával az értékkel egyenlő a logikai logikában.

Következmény vagy logikai következmény

Az implikáció egy összetett logikai kifejezés, amely minden esetben igaz, kivéve ha az igazság követi a hamisságot. Vagyis ez a logikai művelet két egyszerű logikai kifejezést köt össze, amelyek közül az első egy feltétel ($A$), a második ($A$) pedig a feltétel következménye ($A$).

Jelölés: $\to$, $\Rightarrow$.

Igazságtáblázat az implikációhoz

4. ábra.

Az implikáció tulajdonságai:

1. $A \to B = ¬A \vee B$.
2. A $A \to B$ implikáció hamis, ha $A=1$ és $B=0$.
3. Ha $A=0$, akkor a $A \-B$ implikáció minden $B$ értékre igaz (igaz következhet a hamisból).

Egyenértékűség vagy logikai ekvivalencia

Az ekvivalencia egy összetett logikai kifejezés, amely igaz a $A$ és $B$ változók egyenlő értékeire.

Jelölés: $\leftrightarrow$, $\Leftrightarrow$, $\equiv$.

Igazságtáblázat az egyenértékűséghez

5. ábra.

Egyenértékűségi tulajdonságok:

1. Az ekvivalencia igaz a $A$ és $B$ változók egyenlő értékkészletére.
2. CNF $A \equiv B = (\bar(A) \vee B) \cdot (A \cdot \bar(B))$
3. DNF $A \equiv B = \bar(A) \cdot \bar(B) \vee A \cdot B$

Szigorú diszjunkció vagy összeadás modulo 2 (halmazelméletben ez két halmaz uniója metszéspontjuk nélkül)

A szigorú diszjunkció akkor igaz, ha az érvek értéke nem egyenlő.

Az elektronika esetében ez azt jelenti, hogy az áramkörök megvalósítása egyetlen szabványos elem használatával lehetséges (bár ez drága elem).

A logikai műveletek sorrendje összetett logikai kifejezésben

1. Inverzió(negáció);
2. Konjunkció (logikai szorzás);
3. Diszjunkció és szigorú diszjunkció (logikai összeadás);
4. Következmény (következmény);
5. Egyenértékűség (identitás).

A logikai műveletek megadott sorrendjének megváltoztatásához zárójeleket kell használnia.

Általános tulajdonságok

$n$ logikai változók halmazához pontosan $2^n$ különálló érték van. Az $n$ változóból álló logikai kifejezés igazságtáblázata $n+1$ oszlopot és $2^n$ sort tartalmaz.

Szakaszok: Számítástechnika

Jelenleg a számítástechnika felvételi vizsgáin sok feladat van a „logikai algebra” témában. Az óra célja, hogy megszilárdítsa a számítástechnikai egységes államvizsga-feladatok megoldási készségeit a logikai algebra elemeinek felhasználásával.

Az óra céljai:

• A megszerzett ismeretek gyakorlati alkalmazásának képességének kialakítása;
• Valóságtáblázatok adott képletek segítségével történő konstruálásának képességének fejlesztése;
• Szöveges feladatok megoldási képességének fejlesztése a logika törvényszerűségei segítségével.

Az óra céljai:

• Nevelési – kognitív érdeklődés, logikus gondolkodás fejlesztése.
• Nevelési– a matematikai logika alapjainak megismétlése, gyakorlati feladatok elvégzése.
• Fejlődési – a logikus gondolkodás, a figyelmesség fejlesztése.

Az órák alatt

1. Logikai műveletek és törvények ismétlése.
2. Logikai műveletek és törvények alkalmazása a gyakorlatban.
3. Házi feladat magyarázata.

Ma fejezzük be a „Logika alapjai” témát, és alapvető logikai műveleteket és transzformációs törvényeket alkalmazunk a számítástechnika egységes államvizsga-feladatainak megoldására.

A lecke az előadással párhuzamosan zajlik.<Приложение1>

1. Logikai műveletek és törvények ismétlése.

A logikai algebra a matematikai logika egyik ága, amely összetett logikai állítások szerkezetét és igazságuk algebrai módszerekkel történő megállapításának módszereit vizsgálja.

1. A formális logika megalapítója?

Arisztotelész.

2. A logika algebrájának megalapítója?

George Boole.

3. Sorolja fel a logikai műveleteket:

¬ tagadás (inverzió)
&, /\kötőszó („És”)
V diszjunkció („VAGY”)
logikai következmény (implikáció)
egyenértékűség (ekvivalencia)

4. Mit jelent a kettős tagadás törvénye?

A kettős negatív kiküszöböli a negatívot.

5. De Morgan törvényei (általános inverzió törvényei).

A diszjunkció tagadása tagadások konjunkciója:

¬(A V B) = ¬A /\ ¬B

Egy kötőszó tagadása a tagadások diszjunkciója:

¬(A /\B) = ¬A V ¬B

6. Az idempotencia (azonosság) törvénye.

7. Mit jelent a harmadik kizárási törvénye?

Az ugyanarról a dologról szóló két egymásnak ellentmondó állítás közül az egyik mindig igaz, a második hamis, a harmadik pedig nem adott:

8. Miről szól az ellentmondás törvénye?

Egy állítás és tagadása nem lehet egyszerre igaz:

9. Állandók kizárásának törvénye.

A logikai kiegészítéshez:

A V 1 = 1 A V 0 = A

Logikai szorzáshoz:

A /\ 1 = A A /\ 0 = 0

10. Hogyan fejezzünk ki implikációt diszjunkción keresztül?

A B = ¬A V B

2. Logikai műveletek és törvények alkalmazása a gyakorlatban.

1. példa. ( Task A11 demo verzió 2004)

Melyik névre igaz az állítás:

¬ (A név első betűje magánhangzó -> A név negyedik betűje mássalhangzó)?

Megoldás. Egy összetett állítás két egyszerű állításból áll:

A a név első betűje, magánhangzó,

A B a név negyedik betűje, mássalhangzó.

¬ (A B) = ¬ (¬A V B) = (¬ (¬A) /\ ¬B) = A /\ ¬B

Felhasznált képletek:

1. Implikáció az A diszjunkción keresztül? B = ¬A V B

2. De Morgan törvénye ¬(A V B) = ¬A /\ ¬B

3. A kettős tagadás törvénye.

(A név első betűje magánhangzó /\ A név negyedik betűje magánhangzó)

2. példa. ( Task A12 demo verzió 2004)

Melyik logikai kifejezés ekvivalens a ¬ (A \/ ¬B) kifejezéssel?

Megoldás. ¬ (A \/ ¬B) = ¬ A \/ ¬ (¬B) = ¬ A \/ B

Hozzon létre egy igazságtáblázatot a képlethez

¬ (B /\ C) V (A/\C B)

A logikai műveletek sorrendje:

¬ (B /\ C) V (A/\C B)

Hozz létre egy igazságtáblázatot.

Hány sor lesz a táblázatodban? 3 változó: A, B, C; 2 3 =8

Hány oszlop? 5 művelet + 3 változó = 8

A	B	C	(IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT)	¬(B/\C)	A/\C	(A/\C ? B)	¬ (B/\C) V (A/\CB)
0	0	0	0	1	0	1	1
0	0	1	0	1	0	1	1
0	1	0	0	1	0	1	1
0	1	1	1	0	0	1	1
1	0	0	0	1	0	0	1
1	0	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	1	0	0	1
1	1	1	1	0	1	1	1

Milyen válaszokat kaptál az utolsó rovatban?

ugyanúgy igaz, ha 1 értéket vesz fel a benne szereplő összes egyszerű állításhalmazon. Azonosan igaz képleteket nevezzük tautológiák.

Oldjuk meg ezt a példát az analitikai módszerrel:

egyszerűsítse a kifejezést

¬ (B /\ C) V (A/\C B)= (alkalmazza a képletet az implikációhoz)

¬ (B /\ C) V ¬ (A /\ C) V B = (alkalmazza 1 és 2 de Morgan törvényét)

(¬B V ¬C) V (¬A V ¬C) V B = (a zárójelek eltávolítása)

¬B V ¬C V ¬A V ¬C V B= (alkalmazza a kommutatív törvényt)

¬B V B V ¬C V ¬C V ¬A = (közép kizárásának törvénye, idempotencia törvénye)

1 V ¬С V ¬A = 1 V ¬A = 1 (az állandók kizárásának törvénye)

Válasz: 1 , azt jelenti, hogy a képlet azonosan igaz, vagy tautológia.

A logikai kifejezést ún egyformán hamis, ha 0 értéket vesz fel a benne szereplő összes egyszerű utasításhalmazon.

(3. házi feladat)

A táblázat a keresőkiszolgálóhoz intézett lekérdezéseket mutatja. Rendezd a lekérdezés megjelöléseit növekvő sorrendbe aszerint, hogy hány oldalt talál a keresőmotor az egyes lekérdezésekhez.

Az I szimbólum a „VAGY” logikai műveletet jelöli egy lekérdezésben, a & szimbólum pedig az „ÉS” logikai műveletet.

Az első módszer érvelésen alapul. Logikailag okoskodva azt látjuk, hogy a legtöbb oldal a G lekérdezésnél lesz megtalálható, mivel annak végrehajtása során a „törvények”, illetve a „fizika” szót tartalmazó oldalak, illetve a „biológia” szót tartalmazó oldalak lesznek megtalált. A legkevesebb oldalt a B lekérdezés fogja megtalálni, mivel ez tartalmazza mind a négy szó jelenlétét a keresett oldalon. Marad az A és B lekérdezések összehasonlítása. A B lekérdezés megtalálja az A lekérdezésnek megfelelő összes oldalt (mivel az utóbbi szükségszerűen tartalmazza a „törvények”) szót, valamint a „fizika” és „biológia” szavakat egyaránt tartalmazó oldalakat. Ezért a B lekérdezésnél több oldal található, mint az A lekérdezésnél. Tehát, ha a lekérdezéseket az oldalak növekvő sorrendjében rendezzük, azt kapjuk VABG.

Válasz: VABG.

A második módszer a halmazokon végzett műveletek grafikus ábrázolását foglalja magában. (lásd az előadást)

5. példa. ( Task A16 demo verzió 2006)

Az alábbiakban táblázatos formában a tanulói tesztelési eredmények adatbázisának egy részlete látható (száz pontos skálát használunk)

Vezetéknév	Padló	Matematika	orosz nyelv	Kémia	Számítástechnika	Biológia
Aganyan	és	82	56	46	32	70
Voronin	m	43	62	45	74	23
Grigorcsuk	m	54	74	68	75	83
Rodnina	és	71	63	56	82	79
Sergeenko	és	33	25	74	38	46
Cserepanova	és	18	92	83	28	61

Ebben a töredékben hány rekord felel meg a feltételnek

„Nem=’m’ VAGY kémia>biológia”?

Kiválasztjuk a bejegyzéseket: Fiúk (kettő) és Kémia>Biológia (három, de egy fiú, már 1 alkalommal vették). Ennek eredményeként 4 rekord felel meg a feltételnek.

6. feladat. ( Task B4 demo verzió 2007)

Az iskolai asztalitenisz bajnokságban a legjobb négy közé a lányok kerültek: Natasha, Masha, Lyuda és Rita. A leglelkesebb szurkolók megfogalmazták feltételezéseiket a további versenyeken a helyek elosztásáról.

Az ember azt hiszi, hogy Natasha lesz az első, Mása pedig a második.

Egy másik rajongó Ludának jósolja a második helyet, Rita pedig véleménye szerint a negyedik helyet foglalja el.

Egy harmadik teniszrajongó nem értett egyet velük. Úgy véli, hogy Rita a harmadik helyet foglalja el, Natasha pedig a második.

Milyen helyet foglalt el Natasha, Masha, Lyuda, Rita a bajnokságon?

(Válaszában, szóköz nélkül sorolja fel a lányok helyének megfelelő számokat a megadott névsorrendben.)

Jelöljük az állításokat:

H1 = „Natasha lesz az első”;

M2 = „Mása lesz a második”;

L2 = „Luda lesz a második”;

P4 = „Rita negyedik lesz”;

P3 = „Rita lesz a harmadik”;

H2 = "Natasha lesz a második."

Feltétel szerint:

1 rajongó állításaiból az következik, hogy a H1VM2 igaz;

a rajongó kijelentéseiből2 az következik, hogy az A2VP4 igaz;

a 3. fan állításaiból következik, hogy a P3VH2 igaz.

Ezért a kötőszó is igaz

(H1VM2) /\ (L2VP4) /\ (Р3VН2) = 1.

A zárójeleket kinyitva a következőket kapjuk:

(Н1VM2) /\ (Л2VP4) /\ (Р3VН2) = (Н1/\Л2V Н1/\Р4 V М2/\Л2 V М2/\Р4) /\ (Р3VН2)=

Н1/\Л2/\Р3 V Н1/\Р4/\Р3 V М2/\Л2/\Р3 V М2/\Р4/\Р3 V Н1/\Л2/\Н2 V Н1/\Р4/\Н2 V М2/ \Л2/\Н2 V М2/\Р4/\Н2 =Н1/\ Л2/\Р3 V 0 V 0 V 0 V 0 V 0 V 0 V= Н1/\ Л2/\Р3

Natasa-1, Ljuda-2, Rita-3 és Mása-4.

Válasz: 1423

3. Házi feladat magyarázata.

1. Feladat. ( Task B8 demo verzió 2007)

A táblázat a keresőkiszolgálóhoz intézett lekérdezéseket mutatja. Rendezd a lekérdezési szimbólumokat növekvő sorrendbe a keresőmotor által az egyes lekérdezésekhez talált oldalak számának megfelelően.

Az „OR” logikai művelet jelölésére a lekérdezésben használja a | szimbólumot, az „ÉS” – & logikai művelet jelölésére.

2. feladat ( Task B4 demo verzió 2008)

A Négyek tornájának kezdete előtt a rajongók a következő feltételezéseket fogalmazták meg bálványaikkal kapcsolatban:

A) Max nyer, Bill lesz a második;

B) Bill a harmadik. Nick az első;

C) Max az utolsó, az első pedig John.

Amikor a verseny véget ért, kiderült, hogy mindegyik rajongónak csak egy jóslatában volt igaza.

Milyen helyet foglalt el John, Nick, Bill, Max a versenyen?

(Válaszában a résztvevők helyét szóközök nélkül, a megadott névsorrendben sorolja fel sorban.)

A LOGIKAI MŰVELETEK TULAJDONSÁGAI

1. Megnevezések

1.1. Jelölések logikai összeköttetésekhez (műveletek):

a) tagadás(inverzió, logikai NEM) jelölése ¬ (például ¬A);

b) kötőszó(logikai szorzás, logikai ÉS) jelölése /\
(például A /\ B) vagy & (például A & B);

c) diszjunkció(logikai összeadás, logikai VAGY) jelölése \/
(például A \/ B);

d) következő(implikáció) jelölése → (például A → B);

e) identitás≡-val jelöljük (például A ≡ B). Az A ≡ B kifejezés akkor és csak akkor igaz, ha A és B értéke megegyezik (vagy mindkettő igaz, vagy mindkettő hamis);

f) az 1-es szimbólumot az igazság (igaz állítás) jelölésére használjuk; szimbólum 0 – hazugság jelzésére (hamis állítás).

1.2. Két változókat tartalmazó logikai kifejezést hívunk meg egyenértékű (egyenértékű), ha ezen kifejezések értékei egybeesnek a változók bármely értékével. Így az A → B és (¬A) \/ B kifejezések ekvivalensek, de A /\ B és A \/ B nem (a kifejezések jelentése eltérő, pl. ha A = 1, B = 0 ).

1.3. A logikai műveletek prioritásai: inverzió (negáció), konjunkció (logikai szorzás), diszjunkció (logikai összeadás), implikáció (követés), azonosság. Így a ¬A \/ B \/ C \/ D ugyanazt jelenti, mint

((¬A) \/ B) \/ (C \/ D).

Az (A \/ B) \/ C helyett írható A \/ B \/ C. Ugyanez vonatkozik a kötőszóra is: lehet írni A /\ B /\ C helyett (A /\ B) ) /\ C.

2. Tulajdonságok

Az alábbi lista NEM teljes, de remélhetőleg elég reprezentatív.

2.1. Általános tulajdonságok

1. Egy készlethez n pontosan vannak logikai változók 2 n különböző jelentések. Igazságtáblázat a logikai kifejezésekhez innen n változók tartalmazzák n+1 oszlop és 2 n vonalak.

2.2.Disjunkció

1. Ha legalább egy részkifejezés, amelyre a diszjunkciót alkalmazzák, igaz a változók bizonyos értékkészletére, akkor a teljes diszjunkció igaz erre az értékkészletre.
2. Ha egy bizonyos listából minden kifejezés igaz egy bizonyos változóérték-halmazra, akkor ezeknek a kifejezéseknek a diszjunkciója is igaz.
3. Ha egy bizonyos listából minden kifejezés hamis a változóértékek bizonyos halmazán, akkor ezeknek a kifejezéseknek a diszjunkciója is hamis.
4. A diszjunkció jelentése nem függ azon részkifejezések írási sorrendjétől, amelyekre alkalmazzák.

2.3. Konjunkció

1. Ha a kötőszót alkalmazó részkifejezések közül legalább egy hamis a változóértékek egy halmazán, akkor az egész kötőszó hamis ennél az értékkészletnél.
2. Ha egy bizonyos listából minden kifejezés igaz egy bizonyos változóérték-halmazra, akkor ezeknek a kifejezéseknek a konjunkciója is igaz.
3. Ha egy bizonyos listából minden kifejezés hamis a változóértékek bizonyos halmazán, akkor ezeknek a kifejezéseknek a konjunkciója is hamis.
4. A kötőszó jelentése nem függ azon részkifejezések írási sorrendjétől, amelyekre alkalmazzák.

2.4. Egyszerű diszjunkciók és kötőszavak

Nevezzük (az egyszerűség kedvéért) a kötőszót egyszerű, ha a részkifejezések, amelyekre a kötőszót alkalmazzák, különböző változók vagy tagadásaik. Hasonlóképpen a diszjunkciót nevezzük egyszerű, ha a részkifejezések, amelyekre a diszjunkciót alkalmazzák, különböző változók vagy tagadásaik.

1. Egy egyszerű kötőszó 1-re (igazra) számít pontosan egy változóérték-készletre.
2. Egy egyszerű diszjunkció pontosan egy változóérték-készleten 0-ra (hamisra) ad kiértékelést.

2.5. Következmény

1. Következmény A →B egyenlő a diszjunkcióval (¬ A) \/ B. Ezt a diszjunkciót a következőképpen is felírhatjuk: ¬ A\/B.
2. Következmény A →B csak akkor veszi fel a 0 (hamis) értéket A=1És B=0. Ha A=0, akkor az implikáció A →B minden értékre igaz B.

Mert gyors keresés az interneten található információkat a keresési lekérdezések használják fel. A keresési lekérdezés egy halmaz kulcsszavakat, amelyet logikai műveletek előjelei kapcsolnak össze ÉS, VAGY, NEM.

A műveletek prioritása, ha nincsenek speciálisan elhelyezett zárójelek, a következő: először NEM, majd ÉS, majd VAGY.

Meg kell értenie, hogy az ÉS művelet (feltételek egyidejű teljesítése) csökkenti a kapott eredmény mennyiségét, az VAGY művelet (legalább egy feltétel teljesítése) pedig éppen ellenkezőleg, növeli a hangerőt.

Ha a kérés idézőjelben tartalmaz egy kifejezést, a rendszer pontosan ezt a kifejezést keresi meg teljes egészében.

1. Lekérdezések rendezése növekvő (csökkenő) sorrendben

Az „ÉS” (&) művelet a kulcsszavak egyidejű jelenlétét jelzi a keresett dokumentumokban, és ezáltal csökkenti a talált információ mennyiségét. Minél több kulcsszót kapcsol össze az „ÉS” művelettel, annál kevesebb információ található. Ezzel szemben az „OR” (|) művelet legalább egy kulcsszó jelenlétét jelzi a keresett dokumentumokban, és ezáltal növeli a talált információk mennyiségét.

1. példa

A táblázat a keresőkiszolgálóhoz intézett lekérdezéseket mutatja. Rendezd a lekérdezési szimbólumokat növekvő sorrendbe a keresőmotor által az egyes lekérdezésekhez talált oldalak számának megfelelően.

A) absztrakt | matematika | Gauss
B) absztrakt | matematika | Gauss | módszer
B) absztrakt | matematika
D) absztrakt és matematika és Gauss

Megoldás:

A legkevesebb oldalszám kerül kiválasztásra a kérés alapján a legnagyobb számban„ÉS” műveletek (D lekérdezés), A legtöbb oldal lesz kiválasztva a legtöbb „VAGY” művelettel rendelkező kéréshez (B lekérdezés). Több oldal lesz kiválasztva az A lekérdezéshez, mint a B lekérdezéshez, mert Az A lekérdezés több VAGY kulcsszót tartalmaz.

Válasz: GWAB

2. Kérésre talált oldalak számlálása

Az ilyen típusú problémákat általában egyenletrendszerrel oldják meg. Javasolok egy vizuálisabb és egyszerűbb módot.

Az információ keresési lekérdezések alapján történő kiválasztásának elvét jól szemlélteti az Euler-Venn diagram (Euler-körök). Az ábrán a halmazokat egymást metsző körök ábrázolják. Az ÉS művelet (&) a körök metszéspontja, az VAGY művelet (|) pedig a körök egyesítése.

Például jelöljük körökkel az Alma, Körte, Banán halmazokat. Az Alma, körte és banán lekérdezés mindhárom kör metszéspontját (közös részét) választja ki:

Kérésre Alma | A körtéket két kör kombinálásával választjuk ki:

2. példa

A táblázat azokat a lekérdezéseket és oldalak számát mutatja, amelyeket a keresőmotor ezekre a lekérdezésekre talált az internet egy bizonyos szegmensében:

Hány oldal (ezerben) található a sakk lekérdezéshez?

Megoldás:

Rajzoljunk egy Euler-Venn diagramot. A probléma megoldásának módja az, hogy megszámoljuk az egyes sorokkal határolt területekhez tartozó oldalak számát:

A sakk és tenisz lekérdezés a középső területnek (1000 ezer oldal), a tenisz lekérdezés pedig a teljes jobb körnek (5500 ezer oldal) felel meg.

Ekkor a jobb oldali „vágott kör” 5500-1000=4500:

Sakk kérése | tenisz mindkét kör megfelel (7770), akkor a bal oldali „vágott kör” 7770-5500=2270