Στην τεχνολογία των υπολογιστών, οι πραγματικοί αριθμοί (σε αντίθεση με τους ακέραιους) είναι αριθμοί που έχουν κλασματικό μέρος.

Όταν τα γράφετε Αντί για κόμμα, συνηθίζεται να γράφεται τελεία. Έτσι, για παράδειγμα, ο αριθμός 5 είναι ακέραιος και οι αριθμοί 5.1 και 5.0 είναι πραγματικοί.

Για τη διευκόλυνση της εμφάνισης αριθμών που λαμβάνουν τιμές από ένα αρκετά μεγάλο εύρος (δηλαδή πολύ μικρό και πολύ μεγάλο), η μορφή γραφής αριθμών με σειρά βάσης του αριθμητικού συστήματος. Για παράδειγμα, ο δεκαδικός αριθμός 1.25 μπορεί να αναπαρασταθεί σε αυτή τη μορφή ως εξής:

1.25*10 0 = 0.125*10 1 = 0.0125*10 2 = ... ,
ή σαν αυτό:
12.5*10 -1 = 125.0*10 -2 = 1250.0*10 -3 = ... .

Αν η κινητή υποδιαστολή βρίσκεται στη μάντισσα πριν από την πρώτη σημαντικό ποσοστό, στη συνέχεια με έναν σταθερό αριθμό ψηφίων που εκχωρείται για τη μάντισσα, διασφαλίζεται η καταγραφή του μέγιστου αριθμού σημαντικών ψηφίων του αριθμού, δηλαδή η μέγιστη ακρίβεια της αναπαράστασης του αριθμού στο μηχάνημα. Από αυτό προκύπτει:

Αυτή είναι η πιο συμφέρουσα αναπαράσταση για έναν υπολογιστή. πραγματικούς αριθμούςκάλεσε κανονικοποιημένη.

Η μάντισσα και η σειρά ενός αριθμού q-ary συνήθως γράφονται στο σύστημα με τη βάση q και η ίδια η βάση γράφεται στο δεκαδικό σύστημα.

Παραδείγματα κανονικοποιημένης αναπαράστασης:

Δεκαδικό σύστημα Δυαδικό σύστημα

753,15 = 0,75315*10 3 ; -101,01 = -0,10101*2 11 (παραγγελία 11 2 = 3 10)

0,000034 = -0,34*10 -4 ; -0,000011 = 0,11*2 -100 (παραγγελία -100 2 = -410)

Οι πραγματικοί αριθμοί γράφονται διαφορετικά σε διαφορετικούς τύπους υπολογιστών. Σε αυτήν την περίπτωση, ο υπολογιστής δίνει συνήθως στον προγραμματιστή την ευκαιρία να επιλέξει από πολλές μορφές αριθμού την πιο κατάλληλη για μια συγκεκριμένη εργασία - χρησιμοποιώντας τέσσερα, έξι, οκτώ ή δέκα byte.

Για παράδειγμα, ακολουθούν τα χαρακτηριστικά των μορφών πραγματικών αριθμών που χρησιμοποιούνται από προσωπικούς υπολογιστές συμβατούς με την IBM:

Μορφές πραγματικών αριθμών	Μέγεθος σε byte	Κατά προσέγγιση εύρος απόλυτων τιμών	Αριθμός σημαντικών δεκαδικών ψηφίων
Μονόκλινο	4	10 -45 ... 10 38	7 ή 8
Πραγματικός	6	10 -39 ... 10 38	11 ή 12
Διπλό	8	10 -324 ... 10 308	15 ή 16
Προχωρημένος	10	10 -4932 ... 10 4932	19 ή 20

Από αυτόν τον πίνακα είναι σαφές ότι η μορφή αναπαράστασης αριθμών κινητής υποδιαστολής σας επιτρέπει να γράφετε αριθμούς με υψηλή ακρίβειακαι από ένα πολύ ευρύ φάσμα.

Κατά την αποθήκευση αριθμών κινητής υποδιαστολής, εκχωρούνται ψηφία για μάντισσα, εκθέτη, αριθμητικό σύμβολο και σύμβολο εκθέτη:

Ας δείξουμε με παραδείγματα πώς γράφονται ορισμένοι αριθμοί σε κανονικοποιημένη μορφή σε μορφή τεσσάρων byte με επτά bit για την καταγραφή της σειράς.

1. Αριθμός 6,25 10 = 110,01 2 = 0,11001

• 2 11:

2. Αριθμός -0,125 10 = -0,0012 = -0,1*2 -10 (η αρνητική σειρά γράφεται σε συμπλήρωμα δύο):

Θέμα: Αναπαράσταση αριθμών σε υπολογιστή. Μορφή σταθερής και κινητής υποδιαστολής. Άμεσος, αντίστροφος και συμπληρωματικός κώδικας.

Επανάληψη: Μετατροπή ακεραίων σε δυαδικό σύστημασημειογραφία:

13 10 = ΕΝΑ 2 Επίσης:

13 10 =1101 2

1345 10 =10101000001 2

Αναπαράσταση ακεραίων σε έναν υπολογιστή.

Όλες οι πληροφορίες που επεξεργάζονται οι υπολογιστές αποθηκεύονται σε δυαδική μορφή. Πώς γίνεται αυτή η αποθήκευση;

Οι πληροφορίες που εισάγονται στον υπολογιστή και δημιουργούνται κατά τη λειτουργία του αποθηκεύονται στη μνήμη του. Η μνήμη του υπολογιστή μπορεί να θεωρηθεί ως μεγάλη σελίδα, που αποτελείται από ξεχωριστές γραμμές. Κάθε τέτοια γραμμή ονομάζεται κύτταρο μνήμης .

Κύτταρο - Αυτό είναι ένα μέρος της μνήμης του υπολογιστή που περιέχει πληροφορίες διαθέσιμες για επεξεργασία ξεχωριστή ομάδα επεξεργαστή. Το ελάχιστο διευθυνσιοδοτήσιμο κελί μνήμης ονομάζεται byte - 8 δυαδικά ψηφία. Ο αριθμός ακολουθίας ενός byte ονομάζεται διεύθυνση .

κελί (8 bit = 1 byte)

λέξη μηχανής.

Ένα κύτταρο μνήμης αποτελείται από έναν ορισμένο αριθμό ομοιογενών στοιχείων. Κάθε στοιχείο μπορεί να βρίσκεται σε μία από τις δύο καταστάσεις και χρησιμεύει για να αντιπροσωπεύει ένα από τα ψηφία ενός αριθμού. Γι' αυτό καλείται κάθε στοιχείο κελιού εκπλήρωση . Η αρίθμηση των ψηφίων σε ένα κελί γίνεται συνήθως από τα δεξιά προς τα αριστερά, το δεξί ψηφίο έχει σειριακό αριθμό 0. Αυτό είναι το ψηφίο χαμηλής τάξης του κελιού μνήμης, το πιο σημαντικό ψηφίο έχει σειριακό αριθμό (n-1) στο ένα κελί μνήμης n-bit.

Τα περιεχόμενα οποιουδήποτε bit μπορεί να είναι είτε 0 είτε 1.

Τα περιεχόμενα ενός κελιού μνήμης ονομάζονται λέξη μηχανής. Το κελί μνήμης χωρίζεται σε ψηφία, καθένα από τα οποία αποθηκεύει ένα ψηφίο ενός αριθμού.

Για παράδειγμα, οι πιο σύγχρονοι προσωπικοί υπολογιστές είναι 64-bit, δηλαδή μια λέξη μηχανής και, κατά συνέπεια, μια κυψέλη μνήμης αποτελείται από 64 bit ή κομμάτια.

Κομμάτι - η ελάχιστη μονάδα μέτρησης πληροφοριών. Κάθε bit μπορεί να είναι 0 ή 1. Ρυθμός καλείται επίσης εκπλήρωση κελιά μνήμης υπολογιστή.

Το τυπικό μέγεθος του μικρότερου κελιού μνήμης είναι οκτώ bit, δηλαδή οκτώ δυαδικά ψηφία. Ένα σύνολο 8 bit είναι η βασική μονάδα αναπαράστασης δεδομένων - ένα byte.

Ψηφιόλεξη (από τα αγγλικά byte - συλλαβή) - μέρος μιας λέξης μηχανής, που αποτελείται από 8 bit, επεξεργασμένο σε έναν υπολογιστή ως ένα σύνολο. Στην οθόνη υπάρχει ένα κελί μνήμης που αποτελείται από 8 bit - αυτό είναι ένα byte. Το λιγότερο σημαντικό ψηφίο έχει αύξοντα αριθμό 0, το πιο σημαντικό ψηφίο έχει αύξοντα αριθμό 7.

8 bit = 1 byte

Δύο μορφές χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση αριθμών στη μνήμη του υπολογιστή: μορφή σταθερού σημείου Και μορφή κινητής υποδιαστολής . Αντιπροσωπεύεται σε μορφή σταθερού σημείου μόνο ακέραιοι , σε μορφή κινητής υποδιαστολής – πραγματικοί αριθμοί (κλασματικοί).

Στη συντριπτική πλειονότητα των προβλημάτων που επιλύονται με τη βοήθεια υπολογιστή, πολλές ενέργειες περιορίζονται σε πράξεις σε ακέραιους αριθμούς. Αυτό περιλαμβάνει προβλήματα οικονομικής φύσης, στα οποία τα δεδομένα είναι ο αριθμός των μετοχών, των εργαζομένων, των ανταλλακτικών, οχήματακαι τα λοιπά. Οι ακέραιοι αριθμοί χρησιμοποιούνται για να υποδείξουν ημερομηνίες και ώρες και για να αριθμήσουν διάφορα αντικείμενα: στοιχεία πίνακα, καταχωρήσεις βάσης δεδομένων, διευθύνσεις μηχανών κ.λπ.

Οι ακέραιοι αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν σε έναν υπολογιστή ως υπογεγραμμένοι ή μη (θετικοί ή αρνητικοί).

Ανυπόγραφοι ακέραιοι αριθμοί συνήθωςκαταλαμβάνουν ένα ή δύο byte στη μνήμηκαι δέχονται τιμές από 00000000 σε μορφή ενός byte 2 έως 11111111 2 και σε μορφή διπλού byte - από 00000000 00000000 2 στο 11111111 11111111 2 .

Υπογεγραμμένοι ακέραιοι αριθμοί συνήθως καταλαμβάνουν ένα, δύο ή τέσσερα byte στη μνήμη του υπολογιστή, με το πιο αριστερό (πιο σημαντικό) bit να περιέχει πληροφορίες σχετικά με το πρόσημο του αριθμού. Το σύμβολο συν κωδικοποιείται ως μηδέν και το σύμβολο μείον ως ένα.

1101 2 10101000001 2

Το ψηφίο που αντιστοιχεί στο σύμβολο

(σε αυτή την περίπτωση +)

Τα πιο σημαντικά bit που λείπουν από ολόκληρο το byte γεμίζονται με μηδενικά.

Στην τεχνολογία των υπολογιστών, χρησιμοποιούνται τρεις μορφές καταγραφής (κωδικοποίησης) προσημειωμένων ακεραίων:απευθείας κώδικας , πίσω κώδικας , επιπλέον κώδικας .

Απευθείας κωδικός είναι μια αναπαράσταση ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αριθμών, με το πρώτο ψηφίο να εκχωρείται στο πρόσημο του αριθμού. Εάν ο αριθμός είναι θετικός, τότε το πρώτο ψηφίο είναι 0, εάν ο αριθμός είναι αρνητικός, το πρώτο ψηφίο είναι ένα.

Στην πραγματικότητα, ο άμεσος κώδικας χρησιμοποιείται σχεδόν αποκλειστικά για θετικούς αριθμούς.Για να γράψετε έναν άμεσο αριθμό κωδικού χρειάζεστε:

Αναπαριστάτε έναν αριθμό σε δυαδικό σύστημα

Συμπληρώστε την εγγραφή αριθμού με μηδενικά μέχρι το προτελευταίο πιο σημαντικό ψηφίο ενός κελιού 8 bit ή 16 bit

Συμπληρώστε το πιο σημαντικό ψηφίο με μηδέν ή ένα ανάλογα με το πρόσημο του αριθμού.

Παράδειγμα:αριθμός 3 10 ίντσες άμεσος κωδικόςΗ μορφή ενός byte θα παρουσιαστεί ως:

ηislo -3 10 σε άμεσο κώδικα μορφής ενός byte μοιάζει με:

Κωδικός επιστροφής για έναν θετικό αριθμό στο δυαδικό σύστημα αριθμών συμπίπτει με τον άμεσο κωδικό. Για έναν αρνητικό αριθμό, όλα τα ψηφία του αριθμού αντικαθίστανται με τα αντίθετά τους (1 επί 0, 0 επί 1)αντιστρέφω, και εισάγεται ένα στο ψηφίο του πρόσημου.

Για αρνητικούς αριθμούς, χρησιμοποιείται ο λεγόμενος κώδικας συμπληρώματος. Αυτό οφείλεται στην ευκολία εκτέλεσης πράξεων σε αριθμούς με τεχνολογία υπολογιστών.

Πρόσθετος κωδικός χρησιμοποιείται κυρίως για την αναπαράσταση αρνητικών αριθμών σε έναν υπολογιστή. Αυτός ο κώδικας κάνει αριθμητικές πράξειςπιο βολικό για την εφαρμογή τους από την τεχνολογία υπολογιστών.

Στον συμπληρωματικό κωδικό, καθώς και στον άμεσο κωδικό, το πρώτο ψηφίο εκχωρείται για να αντιπροσωπεύει το πρόσημο του αριθμού. Οι άμεσοι και οι συμπληρωματικοί κωδικοί για τους θετικούς αριθμούς είναι οι ίδιοι. Δεδομένου ότι ο άμεσος κωδικός χρησιμοποιείται σχεδόν αποκλειστικά για την αναπαράσταση θετικών αριθμών και ο κωδικός συμπληρώματος χρησιμοποιείται για αρνητικούς αριθμούς, τότε σχεδόν πάντα, εάν υπάρχει 1 στο πρώτο ψηφίο, τότε έχουμε να κάνουμε με έναν κωδικό συμπληρώματος. (Το μηδέν δηλώνει έναν θετικό αριθμό και το ένα δηλώνει έναν αρνητικό αριθμό).

Αλγόριθμος για τη λήψη του συμπληρωματικού κώδικα για έναν αρνητικό αριθμό:

1. Βρείτε τον άμεσο κωδικό του αριθμού (μετατρέψτε τον αριθμό στο δυαδικό σύστημα αριθμών, έναν ανυπόγραφο αριθμό)

2. Λάβετε έναν κωδικό επιστροφής. Αλλάξτε κάθε μηδέν σε ένα και κάθε ένα σε μηδέν (αντιτρέψτε τον αριθμό)

3. Προσθέστε 1 στον αντίστροφο κωδικό

Παράδειγμα: Ας βρούμε τον πρόσθετο κωδικό του δεκαδικού αριθμού - 47 σε μορφή 16-bit.

Ας βρούμε τη δυαδική αναπαράσταση του αριθμού 47 (άμεσος κωδικός).

2. Αντιστρέψτε αυτόν τον αριθμό (αντίστροφος κωδικός). 3. Προσθέστε 1 στον αντίστροφο κωδικό και λάβετε μια εγγραφή αυτού του αριθμού στη μνήμη RAM.

Σπουδαίος!

Για θετικούς αριθμούς, οι άμεσοι, αντίστροφοι και συμπληρωματικοί κωδικοί είναι το ίδιο πράγμα, δηλ. άμεσος κωδικός. Δεν χρειάζεται να αντιστρέφετε θετικούς αριθμούς για να τους αναπαραστήσετε σε έναν υπολογιστή!

Γιατί χρησιμοποιείται;πρόσθετος κωδικός που αντιπροσωπεύει έναν αρνητικό αριθμό;

Αυτό διευκολύνει την εκτέλεση μαθηματικών πράξεων. Για παράδειγμα, έχουμε δύο αριθμούς που αντιπροσωπεύονται σε άμεσο κώδικα. Ο ένας αριθμός είναι θετικός, ο άλλος είναι αρνητικός και αυτοί οι αριθμοί πρέπει να προστεθούν. Ωστόσο, δεν μπορείτε απλά να τα διπλώσετε. Πρώτα ο υπολογιστής πρέπει να καταλάβει ποιοι είναι οι αριθμοί. Αφού ανακαλύψει ότι ένας αριθμός είναι αρνητικός, θα πρέπει να αντικαταστήσει την πράξη πρόσθεσης με την πράξη αφαίρεσης. Στη συνέχεια, το μηχάνημα πρέπει να καθορίσει ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος σε απόλυτη τιμή για να βρει το πρόσημο του αποτελέσματος και να αποφασίσει τι θα αφαιρέσει από τι. Το αποτέλεσμα είναι ένας πολύπλοκος αλγόριθμος. Είναι πολύ πιο εύκολο να προσθέσετε αριθμούς εάν οι αρνητικοί αριθμοί μετατραπούν σε συμπλήρωμα δύο.

Πρακτική εργασία:

Εργασία 1. Καταγράψτε τους κωδικούς εμπρός, πίσω και συμπληρωματικού των παρακάτω δεκαδικών αριθμών χρησιμοποιώντας8-bitκύτταρο:

64 10, - 120 10

Εργασία 2. Γράψτε τους κωδικούς εμπρός, ανάστροφου και συμπληρωματικού των παρακάτω δεκαδικών αριθμών σε ένα πλέγμα 16 bit

57 10 - 117 10 - 200 10

Τα αριθμητικά δεδομένα επεξεργάζονται σε υπολογιστή χρησιμοποιώντας το δυαδικό σύστημα αριθμών. Οι αριθμοί αποθηκεύονται στη μνήμη του υπολογιστή σε δυαδικό κώδικα, δηλαδή ως ακολουθία μηδενικών και μονάδων, και μπορούν να αναπαρασταθούν σε μορφή σταθερής ή κινητής υποδιαστολής.

Οι ακέραιοι αριθμοί αποθηκεύονται στη μνήμη σε μορφή σταθερού σημείου. Με αυτήν τη μορφή για την αναπαράσταση αριθμών, ένας καταχωρητής μνήμης που αποτελείται από οκτώ κελιά μνήμης (8 bit) εκχωρείται για την αποθήκευση μη αρνητικών ακεραίων αριθμών. Κάθε ψηφίο ενός κελιού μνήμης αντιστοιχεί πάντα στο ίδιο ψηφίο του αριθμού και το κόμμα βρίσκεται δεξιά μετά το λιγότερο σημαντικό ψηφίο και έξω από το πλέγμα ψηφίων. Για παράδειγμα, ο αριθμός 110011012 θα αποθηκευτεί σε έναν καταχωρητή μνήμης ως εξής:

Πίνακας 4

Η μέγιστη τιμή ενός μη αρνητικού ακέραιου αριθμού που μπορεί να αποθηκευτεί σε έναν καταχωρητή σε μορφή σταθερού σημείου μπορεί να προσδιοριστεί από τον τύπο: 2n – 1, όπου n είναι ο αριθμός των ψηφίων του αριθμού. Ο μέγιστος αριθμός θα είναι ίσος με 28 - 1 = 25510 = 111111112 και ο ελάχιστος 010 = 000000002. Έτσι, το εύρος των αλλαγών στους μη αρνητικούς ακέραιους θα είναι από 0 έως 25510.

Σε αντίθεση με το δεκαδικό σύστημα, το δυαδικό σύστημα αριθμών στην αναπαράσταση υπολογιστή ενός δυαδικού αριθμού δεν έχει σύμβολα που υποδεικνύουν το πρόσημο του αριθμού: θετικό (+) ή αρνητικό (-), επομένως, για την αναπαράσταση προσημειωμένων ακεραίων στο δυαδικό σύστημα, δύο Χρησιμοποιούνται μορφές αναπαράστασης αριθμών: μορφή τιμής αριθμού υπογεγραμμένη και μορφή συμπληρώματος δύο. Στην πρώτη περίπτωση, εκχωρούνται δύο καταχωρητές μνήμης (16 bit) για την αποθήκευση προσημειωμένων ακεραίων και το πιο σημαντικό ψηφίο (το πιο αριστερό) χρησιμοποιείται ως πρόσημο του αριθμού: εάν ο αριθμός είναι θετικός, τότε γράφεται το 0 στο bit πρόσημου. , εάν ο αριθμός είναι αρνητικός, τότε 1. Για παράδειγμα, ο αριθμός 53610 = 00000010000110002 θα αναπαρασταθεί στους καταχωρητές μνήμης με την ακόλουθη μορφή:

Πίνακας 5

και αρνητικός αριθμός -53610 = 10000010000110002 με τη μορφή:

Πίνακας 6

Ο μέγιστος θετικός αριθμός ή ο ελάχιστος αρνητικός αριθμός σε μορφή τιμής υπογεγραμμένου αριθμού (λαμβάνοντας υπόψη την αναπαράσταση ενός ψηφίου ανά πρόσημο) είναι 2n-1 – 1 = 216-1 – 1 = 215 – 1 = 3276710 = 11111111111111112 και το εύρος των αριθμών θα είναι από - 3276710 έως 32767.

Τις περισσότερες φορές, για την αναπαράσταση υπογεγραμμένων ακεραίων στο δυαδικό σύστημα, χρησιμοποιείται η μορφή κώδικα συμπληρώματος των δύο, η οποία σας επιτρέπει να αντικαταστήσετε την αριθμητική λειτουργία της αφαίρεσης σε έναν υπολογιστή με μια πράξη πρόσθεσης, η οποία απλοποιεί σημαντικά τη δομή του μικροεπεξεργαστή και αυξάνει την απόδοσή του .

Για να αναπαραστήσουμε αρνητικούς ακέραιους αριθμούς σε αυτήν τη μορφή, χρησιμοποιείται ο κώδικας συμπληρώματος του ενός, ο οποίος είναι ο συντελεστής του συμπληρώματος ενός αρνητικού αριθμού στο μηδέν. Η μετατροπή ενός αρνητικού ακέραιου σε συμπλήρωμα δύο πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες πράξεις:

1) γράψτε τη μονάδα του αριθμού σε άμεσο κωδικό σε n (n = 16) δυαδικά ψηφία.

2) λάβετε τον αντίστροφο κωδικό του αριθμού (αντιτρέψτε όλα τα ψηφία του αριθμού, δηλαδή αντικαταστήστε όλα τα ψηφία με μηδενικά και τα μηδενικά με ένα).

3) προσθέστε ένα στο λιγότερο σημαντικό ψηφίο στον αντίστροφο κωδικό που προκύπτει.

Για παράδειγμα, για τον αριθμό -53610 σε αυτήν τη μορφή, ο συντελεστής θα είναι 00000010000110002, ο αμοιβαίος κωδικός θα είναι 1111110111100111 και ο πρόσθετος κωδικός θα είναι 1111110111101000.

Πρέπει να θυμόμαστε ότι το συμπλήρωμα ενός θετικού αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός.

Για αποθήκευση υπογεγραμμένων ακεραίων διαφορετικών από την αναπαράσταση υπολογιστή 16-bit όταν χρησιμοποιείται δύο καταχωρητές μνήμης(αυτή η μορφή αριθμών ονομάζεται επίσης μορφή ακέραιου αριθμού με σύντομη υπογραφή), χρησιμοποιούνται οι μορφές ακέραιου αριθμού μεσαίας και μεγάλης υπογραφής. Για την αναπαράσταση αριθμών στη μορφή μεσαίου αριθμού, χρησιμοποιούνται τέσσερις καταχωρητές (4 x 8 = 32 bit) και για την αναπαράσταση αριθμών σε μορφή μεγάλου αριθμού, χρησιμοποιούνται οκτώ καταχωρητές (8 x 8 = 64 bit). Τα εύρη τιμών για τις μορφές μεσαίου και μεγάλου αριθμού θα είναι αντίστοιχα: -(231 – 1) ... + 231 – 1 και -(263-1) ... + 263 – 1.

Η αναπαράσταση αριθμών από υπολογιστή σε μορφή σταθερού σημείου έχει τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματά της. ΝΑ οφέληπεριλαμβάνει την απλότητα της αναπαράστασης αριθμών και αλγορίθμων για την υλοποίηση αριθμητικών πράξεων, τα μειονεκτήματα είναι το πεπερασμένο εύρος αναπαράστασης των αριθμών, το οποίο μπορεί να είναι ανεπαρκές για την επίλυση πολλών προβλημάτων πρακτικής φύσης (μαθηματικά, οικονομικά, φυσικά κ.λπ.).

Οι πραγματικοί αριθμοί (πεπερασμένα και άπειρα δεκαδικά) επεξεργάζονται και αποθηκεύονται σε υπολογιστή σε μορφή κινητής υποδιαστολής. Με αυτήν τη μορφή αναπαράστασης αριθμού, η θέση της υποδιαστολής στην καταχώριση μπορεί να αλλάξει. Οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός K σε μορφή κινητής υποδιαστολής μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

όπου Α είναι η μάντισσα του αριθμού. h – βάση του συστήματος αριθμών. p – σειρά αριθμών.

Η έκφραση (2.7) για το δεκαδικό σύστημα αριθμών θα έχει τη μορφή:

για δυαδικό -

για οκταδικό -

για δεκαεξαδικό -

Αυτή η μορφή αναπαράστασης αριθμών ονομάζεται επίσης κανονικός . Με μια αλλαγή στη σειρά, το κόμμα στον αριθμό μετατοπίζεται, δηλαδή φαίνεται να επιπλέει προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά. Επομένως, ονομάζεται η κανονική μορφή αναπαράστασης αριθμών μορφή κινητής υποδιαστολής. Ο δεκαδικός αριθμός 15.5, για παράδειγμα, σε μορφή κινητής υποδιαστολής μπορεί να αναπαρασταθεί ως: 0.155 102; 1,55 101; 15,5 100; 155,0 10-1; 1550,0 10-2 κ.λπ. Αυτή η μορφή δεκαδικού κινητής υποδιαστολής 15,5 δεν χρησιμοποιείται κατά τη σύνταξη προγράμματα υπολογιστώνκαι την εισαγωγή τους στον υπολογιστή (οι συσκευές εισόδου υπολογιστή αντιλαμβάνονται μόνο γραμμική εγγραφή δεδομένων). Με βάση αυτό, η έκφραση (2.7) για την αναπαράσταση δεκαδικών αριθμών και την εισαγωγή τους στον υπολογιστή μετατρέπεται στη μορφή

όπου P είναι η σειρά του αριθμού,

δηλ. αντί για τη βάση του αριθμητικού συστήματος 10 γράφουν το γράμμα Ε, αντί για κόμμα, τελεία και δεν τοποθετείται το σύμβολο του πολλαπλασιασμού. Έτσι, ο αριθμός 15.5 σε κινητή υποδιαστολή και γραμμική μορφή (αναπαράσταση υπολογιστή) θα γραφτεί ως: 0.155E2; 1.55E1; 15,5E0; 155.0E-1; 1550.0E-2, κ.λπ.

Ανεξάρτητα από το σύστημα αριθμών, οποιοσδήποτε αριθμός σε μορφή κινητής υποδιαστολής μπορεί να αναπαρασταθεί από έναν άπειρο αριθμό αριθμών. Αυτή η μορφή εγγραφής ονομάζεται μη κανονική . Για μια σαφή αναπαράσταση αριθμών κινητής υποδιαστολής, χρησιμοποιείται μια κανονικοποιημένη μορφή γραφής ενός αριθμού, στην οποία η μάντισσα του αριθμού πρέπει να πληροί την συνθήκη

όπου |A| - η απόλυτη τιμή της μάντισσας του αριθμού.

Η συνθήκη (2.9) σημαίνει ότι η μάντισσα πρέπει να είναι σωστό κλάσμα και να έχει ένα μη μηδενικό ψηφίο μετά την υποδιαστολή, ή, με άλλα λόγια, εάν η μάντισσα δεν έχει μηδέν μετά την υποδιαστολή, τότε ο αριθμός ονομάζεται κανονικοποιημένος . Έτσι, ο αριθμός 15,5 σε κανονικοποιημένη μορφή (κανονικοποιημένη μάντισσα) σε μορφή κινητής υποδιαστολής θα μοιάζει με αυτό: 0,155 102, δηλαδή η κανονικοποιημένη μάντισσα θα είναι A = 0,155 και τάξη P = 2, ή στην αναπαράσταση υπολογιστή του αριθμού 0,155E2 .

Οι αριθμοί κινητής υποδιαστολής έχουν σταθερή μορφή και καταλαμβάνουν τέσσερα (32 bit) ή οκτώ byte (64 bit) μνήμης υπολογιστή. Εάν ένας αριθμός καταλαμβάνει 32 bit στη μνήμη του υπολογιστή, τότε είναι ένας αριθμός κανονικής ακρίβειας, εάν είναι 64 bit, τότε είναι αριθμός διπλής ακρίβειας. Όταν γράφετε έναν αριθμό κινητής υποδιαστολής, εκχωρούνται bits για την αποθήκευση του πρόσημου της μάντισσας, του πρόσημου του εκθέτη, της μάντισσας και του εκθέτη. Ο αριθμός των ψηφίων που εκχωρούνται στη σειρά του αριθμού καθορίζει το εύρος της παραλλαγής των αριθμών και ο αριθμός των ψηφίων που εκχωρούνται για την αποθήκευση της μάντισσας καθορίζει την ακρίβεια με την οποία καθορίζεται ο αριθμός.

Κατά την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων (πρόσθεση και αφαίρεση) σε αριθμούς που παρουσιάζονται σε μορφή κινητής υποδιαστολής, εφαρμόζεται η ακόλουθη διαδικασία (αλγόριθμος):

1) η σειρά των αριθμών στους οποίους εκτελούνται οι αριθμητικές πράξεις είναι ευθυγραμμισμένη (η σειρά του μικρότερου αριθμού σε απόλυτη τιμή αυξάνεται προς τη σειρά του μεγαλύτερου αριθμού σε απόλυτη τιμή, η μάντισσα μειώνεται κατά τον ίδιο αριθμό φορών).

2) οι αριθμητικές πράξεις εκτελούνται στις μάντισσες των αριθμών.

3) το αποτέλεσμα που προκύπτει κανονικοποιείται.

Πρακτικό μέρος

Σκοπός της υπηρεσίας. Η ηλεκτρονική αριθμομηχανή έχει σχεδιαστεί για να αναπαριστά πραγματικούς αριθμούς σε μορφή κινητής υποδιαστολής.

Κανόνες για την εισαγωγή αριθμών

1. Οι αριθμοί στο δεκαδικό σύστημα αριθμών μπορούν να εισαχθούν είτε χωρίς κλασματικό μέρος είτε με κλασματικό μέρος (234234.455).
2. Οι αριθμοί στο δυαδικό σύστημα αριθμών αποτελούνται μόνο από τα ψηφία 0 και 1 (10100.01).
3. Οι αριθμοί στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών αποτελούνται από τα ψηφία 0...9 και τα γράμματα A...F.
4. Μπορείτε επίσης να λάβετε την αντίστροφη αναπαράσταση του κώδικα (από δεκαεξαδικό σύστημαδεκαδικός υπολογισμός, 40B00000)

Παράδειγμα Νο. 1. Αντιπροσωπεύστε τον αριθμό 133.54 σε μορφή κινητής υποδιαστολής.
Διάλυμα. Ας αναπαραστήσουμε τον αριθμό 133.54 σε κανονικοποιημένη εκθετική μορφή:
1,3354*10 2 = 1,3354*exp 10 2
Ο αριθμός 1,3354*exp 10 2 αποτελείται από δύο μέρη: το mantissa M=1,3354 και τον εκθέτη exp 10 =2
Εάν η μάντισσα είναι στην περιοχή 1 ≤ M Αναπαριστά έναν αριθμό σε αποκανονική εκθετική μορφή.
Εάν η μάντισσα είναι στην περιοχή 0,1 ≤ M Ας αναπαραστήσουμε τον αριθμό σε αποκανονική εκθετική μορφή: 0,13354*exp 10 3

Παράδειγμα Νο. 2. Αντιπροσωπεύστε τον δυαδικό αριθμό 101.10 2 σε κανονικοποιημένη μορφή, γραμμένο στο πρότυπο IEEE754 32 bit.
Διάλυμα.
Αναπαράσταση ενός δυαδικού αριθμού κινητής υποδιαστολής σε εκθετική κανονικοποιημένη μορφή.
Ας μετατοπίσουμε τα 2 ψηφία προς τα δεξιά. Ως αποτέλεσμα, λάβαμε τα κύρια στοιχεία ενός εκθετικά κανονικοποιημένου δυαδικού αριθμού:
Μάντισσα Μ=1,011
Εκθέτης exp 2 =2
Μετατροπή δυαδικού κανονικοποιημένου αριθμού σε μορφή IEEE 754 32-bit.
Το πρώτο bit εκχωρείται για να υποδείξει το πρόσημο του αριθμού. Δεδομένου ότι ο αριθμός είναι θετικός, το πρώτο bit είναι 0
Τα επόμενα 8 bit (2ο έως 9ο) δεσμεύονται για τον εκθέτη.
Για να προσδιορίσετε το πρόσημο του εκθέτη, ώστε να μην εισάγετε άλλο bit πρόσημου, προσθέστε μια μετατόπιση στον εκθέτη μισού byte +127. Άρα ο εκθέτης μας είναι: 2 + 127 = 129
Ας μετατρέψουμε τον εκθέτη σε δυαδική αναπαράσταση.
Τα υπόλοιπα 23 bit είναι δεσμευμένα για τη μάντισσα. Σε μια κανονικοποιημένη δυαδική μάντισσα, το πρώτο bit είναι πάντα ίσο με 1, καθώς ο αριθμός βρίσκεται στο εύρος 1 ≤ M Για να μετατρέψετε το ακέραιο μέρος, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το ψηφίο του αριθμού με την αντίστοιχη ψηφιακή ισχύ.
01100000000000000000000 = 2 22 *0 + 2 21 *1 + 2 20 *1 + 2 19 *0 + 2 18 *0 + 2 17 *0 + 2 16 *0 + 2 15 *0 + 2 14 *0 + 2 13 *0 + 2 12 *0 + 2 11 *0 + 2 10 *0 + 2 9 *0 + 2 8 *0 + 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *0 + 2 0 *0 = 0 + 2097152 + 1048576 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 3145728
Σε δεκαδικό κωδικό, η μάντισσα εκφράζεται ως 3145728
Ως αποτέλεσμα, ο αριθμός 101.10 που αντιπροσωπεύεται στο IEEE 754 με απλή ακρίβεια είναι ίσος με.
Ας μετατρέψουμε σε δεκαεξαδική αναπαράσταση.
Ας χωρίσουμε πηγαίος κώδικαςσε ομάδες των 4 κατηγοριών.
2 = 0100 0000 1011 0000 0000 0000 0000 0000 2
Παίρνουμε τον αριθμό:
0100 0000 1011 0000 0000 0000 0000 0000 2 = 40B00000 16

Όποιος έχει σκεφτεί ποτέ να γίνει «ειδικός πληροφορικής» ή διαχειριστής συστήματος, και απλά να συνδέσετε τη μοίρα κάποιου με τη γνώση του τρόπου με τον οποίο αναπαρίστανται οι αριθμοί είναι απολύτως απαραίτητο. Άλλωστε, σε αυτό βασίζονται οι γλώσσες προγραμματισμού. χαμηλό επίπεδο, όπως το Assembler. Επομένως, σήμερα θα εξετάσουμε την αναπαράσταση των αριθμών σε έναν υπολογιστή και την τοποθέτησή τους σε κελιά μνήμης.

Σημειογραφία

Αν διαβάζετε αυτό το άρθρο, πιθανότατα το γνωρίζετε ήδη, αλλά αξίζει να το επαναλάβετε. Όλα τα δεδομένα σε προσωπικός υπολογιστήςαποθηκευμένο σε δυαδικό σύστημα Αυτό σημαίνει ότι οποιοσδήποτε αριθμός πρέπει να αναπαρασταθεί με την κατάλληλη μορφή, δηλαδή να αποτελείται από μηδενικά και μονάδες.

Για να μετατρέψετε τους γνωστούς σε εμάς δεκαδικούς αριθμούς σε μορφή κατανοητή από υπολογιστή, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον αλγόριθμο που περιγράφεται παρακάτω. Υπάρχουν επίσης εξειδικευμένες αριθμομηχανές.

Έτσι, για να μετατρέψουμε έναν αριθμό στο δυαδικό σύστημα αριθμών, πρέπει να πάρουμε την τιμή που επιλέξαμε και να τη διαιρέσουμε με το 2. Μετά από αυτό, θα πάρουμε το αποτέλεσμα και το υπόλοιπο (0 ή 1). Διαιρούμε ξανά το αποτέλεσμα με το 2 και θυμόμαστε το υπόλοιπο. Αυτή η διαδικασίαπρέπει να επαναλάβουμε μέχρι το τελικό αποτέλεσμα να είναι επίσης 0 ή 1. Στη συνέχεια σημειώνουμε την τελική τιμή και τα υπόλοιπα με την αντίστροφη σειρά όπως τα παραλάβαμε.

Αυτός είναι ακριβώς ο τρόπος με τον οποίο αναπαρίστανται οι αριθμοί σε έναν υπολογιστή. Οποιοσδήποτε αριθμός γράφεται σε δυαδική μορφή και στη συνέχεια καταλαμβάνει ένα κελί μνήμης.

Μνήμη

Όπως θα πρέπει ήδη να γνωρίζετε, η μικρότερη μονάδα πληροφοριών είναι 1 bit. Όπως έχουμε ήδη ανακαλύψει, οι αριθμοί αναπαρίστανται σε έναν υπολογιστή σε δυαδική μορφή. Έτσι, κάθε bit μνήμης θα καταλαμβάνεται από μία τιμή - 1 ή 0.

Τα κύτταρα χρησιμοποιούνται για αποθήκευση. Κάθε τέτοια μονάδα περιέχει έως και 8 bit πληροφοριών. Επομένως, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η ελάχιστη τιμή σε κάθε τμήμα μνήμης μπορεί να είναι 1 byte ή να είναι ένας οκταψήφιος δυαδικός αριθμός.

Ολόκληρο

Τέλος, ερχόμαστε στην άμεση τοποθέτηση δεδομένων στον υπολογιστή. Όπως ήδη αναφέρθηκε, ο επεξεργαστής πρώτα μετατρέπει τις πληροφορίες σε δυαδική μορφή και μόνο στη συνέχεια τις τοποθετεί στη μνήμη.

Θα ξεκινήσουμε με την απλούστερη επιλογή, που είναι η αναπαράσταση ακεραίων σε έναν υπολογιστή. Η μνήμη του υπολογιστή διαθέτει έναν γελοία μικρό αριθμό κελιών για αυτήν τη διαδικασία - μόνο ένα. Έτσι, το πολύ ένα slot μπορεί να περιέχει τιμές από 0 έως 11111111. Ας μετατρέψουμε τον μέγιστο αριθμό στη φόρμα σημειογραφίας που γνωρίζουμε.
X = 1 × 2 7 + 1 × 2 6 + 1 × 2 5 + 1 × 2 4 + 1 × 2 3 + 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 1 × 2 8 - 1 = 255 .

Τώρα βλέπουμε ότι ένα κελί μνήμης μπορεί να περιέχει μια τιμή από 0 έως 255. Ωστόσο, αυτό ισχύει αποκλειστικά για μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς. Εάν ο υπολογιστής χρειαστεί να γράψει μια αρνητική τιμή, όλα θα λειτουργήσουν λίγο διαφορετικά.

Αρνητικοί αριθμοί

Τώρα ας δούμε πώς αναπαρίστανται οι αριθμοί σε έναν υπολογιστή εάν είναι αρνητικοί. Για την προσαρμογή μιας τιμής μικρότερης από το μηδέν, εκχωρούνται δύο κελιά μνήμης ή 16 bit πληροφοριών. Σε αυτήν την περίπτωση, το 15 πηγαίνει κάτω από τον ίδιο τον αριθμό και το πρώτο (αριστερό) bit πηγαίνει κάτω από το αντίστοιχο σύμβολο.

Εάν ο αριθμός είναι αρνητικός, τότε γράφεται "1", εάν θετικός, τότε "0". Για να είναι πιο εύκολο να θυμόμαστε, μπορούμε να σχεδιάσουμε την ακόλουθη αναλογία: αν υπάρχει σημάδι, τότε βάζουμε 1, αν δεν είναι εκεί, τότε τίποτα (0).

Τα υπόλοιπα 15 bit πληροφοριών κατανέμονται στον αριθμό. Παρόμοια με την προηγούμενη περίπτωση, μπορούν να φιλοξενήσουν το πολύ δεκαπέντε μονάδες. Αξίζει να σημειωθεί ότι η καταγραφή αρνητικών και θετικών αριθμών διαφέρει σημαντικά μεταξύ τους.

Για να τοποθετηθεί μια τιμή μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν σε 2 κελιά μνήμης, χρησιμοποιείται ο λεγόμενος άμεσος κώδικας. Αυτή η λειτουργία εκτελείται με τον ίδιο τρόπο όπως περιγράφηκε, και το μέγιστο A = 32766, θα ήθελα αμέσως να σημειώσω ότι σε αυτήν την περίπτωση το "0" αναφέρεται σε θετικά.

Παραδείγματα

Η αναπαράσταση ακεραίων στη μνήμη του υπολογιστή δεν είναι τόσο δύσκολη υπόθεση. Αν και γίνεται λίγο πιο περίπλοκο αν μιλάμε για αρνητική τιμή. Για να γράψετε έναν αριθμό που είναι μικρότερος από το μηδέν, χρησιμοποιείται ο κώδικας του συμπληρώματος δύο.

Για να το αποκτήσει, το μηχάνημα εκτελεί μια σειρά από βοηθητικές λειτουργίες.

1. Αρχικά, γράφεται ο συντελεστής ενός αρνητικού αριθμού δυάδικος αριθμός. Δηλαδή, ο υπολογιστής θυμάται μια παρόμοια, αλλά θετική τιμή.
2. Στη συνέχεια, κάθε bit μνήμης αναστρέφεται. Για να γίνει αυτό, όλα αντικαθίστανται από μηδενικά και αντίστροφα.
3. Προσθέστε «1» στο αποτέλεσμα. Αυτός θα είναι ο πρόσθετος κωδικός.

Ας δώσουμε ένα ξεκάθαρο παράδειγμα. Ας έχουμε έναν αριθμό X = - 131. Αρχικά παίρνουμε το μέτρο του |X|= 131. Στη συνέχεια τον μετατρέπουμε στο δυαδικό σύστημα και τον γράφουμε σε 16 κελιά. Παίρνουμε Χ = 0000000010000011. Μετά την αντιστροφή, Χ = 1111111101111100. Προσθέτουμε το "1" σε αυτό και παίρνουμε τον κωδικό επιστροφής X=1111111101111101. Για εγγραφή σε ένα κελί μνήμης 16-bit, ο ελάχιστος αριθμός είναι X = - (2 15) = - 32767.

Μακριοί ακέραιοι αριθμοί

Όπως μπορείτε να δείτε, η αναπαράσταση πραγματικών αριθμών σε έναν υπολογιστή δεν είναι τόσο δύσκολη. Ωστόσο, το εξεταζόμενο εύρος ενδέχεται να μην επαρκεί για τις περισσότερες λειτουργίες. Επομένως, για να τοποθετήσετε μεγάλους αριθμούς, ο υπολογιστής εκχωρεί 4 κελιά, ή 32 bit, από τη μνήμη.

Η διαδικασία εγγραφής δεν διαφέρει απολύτως από αυτή που παρουσιάστηκε παραπάνω. Έτσι, θα δώσουμε απλώς το εύρος των αριθμών που μπορούν να αποθηκευτούν σε αυτόν τον τύπο.

X max =2.147.483.647.

X min = - 2 147 483 648.

Στις περισσότερες περιπτώσεις, αυτές οι τιμές είναι επαρκείς για την καταγραφή και την εκτέλεση λειτουργιών με δεδομένα.

Η αναπαράσταση πραγματικών αριθμών σε έναν υπολογιστή έχει τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματά της. Από τη μια πλευρά, αυτή η τεχνικήδιευκολύνει την εκτέλεση πράξεων μεταξύ ακεραίων τιμών, γεγονός που επιταχύνει σημαντικά τον επεξεργαστή. Από την άλλη, αυτό το εύρος δεν επαρκεί για να λύσει τα περισσότερα προβλήματα στα οικονομικά, τη φυσική, την αριθμητική και άλλες επιστήμες. Επομένως, τώρα θα εξετάσουμε μια άλλη τεχνική για υπερ-μεγέθη.

κινητής υποδιαστολής

Αυτό είναι το τελευταίο πράγμα που πρέπει να γνωρίζετε για την αναπαράσταση αριθμών σε έναν υπολογιστή. Δεδομένου ότι όταν γράφετε κλάσματα υπάρχει πρόβλημα προσδιορισμού της θέσης της υποδιαστολής σε αυτά, χρησιμοποιείται επιστημονική σημειογραφία για την τοποθέτηση τέτοιων ψηφίων στον υπολογιστή.

Οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί με την ακόλουθη μορφή X = m * p n Όπου m είναι το mantissa του αριθμού, το p είναι η βάση του συστήματος αριθμών και το n ο εκθέτης του αριθμού.

Για την τυποποίηση της καταγραφής αριθμών κινητής υποδιαστολής, χρησιμοποιείται η ακόλουθη συνθήκη, σύμφωνα με την οποία ο συντελεστής της μάντισσας πρέπει να είναι μεγαλύτερος ή ίσος με 1/n και μικρότερος από 1.

Ας μας δοθεί ο αριθμός 666,66. Ας το βάλουμε σε εκθετική μορφή. Αποδεικνύεται X = 0,66666 * 10 3. P = 10 και n = 3.

Οι τιμές κινητής υποδιαστολής συνήθως εκχωρούνται 4 ή 8 byte (32 ή 64 bit). Στην πρώτη περίπτωση ονομάζεται αριθμός κανονικής ακρίβειας, και στη δεύτερη περίπτωση ονομάζεται αριθμός διπλής ακρίβειας.

Από τα 4 byte που διατίθενται για την αποθήκευση ψηφίων, το 1 (8 bit) εκχωρείται για δεδομένα σχετικά με τη σειρά και το πρόσημο της και 3 byte (24 bit) χρησιμοποιούνται για την αποθήκευση της μάντισσας και του πρόσημου της σύμφωνα με τις ίδιες αρχές όπως για τις ακέραιες τιμές . Γνωρίζοντας αυτό, μπορούμε να κάνουμε απλούς υπολογισμούς.

Μέγιστη τιμή n = 1111111 2 = 127 10. Με βάση αυτό, μπορούμε να πάρουμε το μέγιστο μέγεθος ενός αριθμού που μπορεί να αποθηκευτεί στη μνήμη του υπολογιστή. Χ=2 127 . Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε τη μέγιστη δυνατή μάντισσα. Θα είναι ίσο με 2 23 - 1 ≥ 2 23 = 2 (10 × 2,3) ≥ 1000 2,3 = 10 (3 × 2,3) ≥ 10 7. Ως αποτέλεσμα, λάβαμε μια κατά προσέγγιση τιμή.

Αν τώρα συνδυάσουμε και τους δύο υπολογισμούς, παίρνουμε μια τιμή που μπορεί να γραφτεί χωρίς απώλεια σε 4 byte μνήμης. Θα είναι ίσο με X = 1,701411 * 10 38. Οι υπόλοιποι αριθμοί απορρίφθηκαν, αφού αυτή ακριβώς είναι η ακρίβεια που μας επιτρέπει να έχουμε αυτή τη μέθοδοεγγραφές.

Διπλή ακρίβεια

Δεδομένου ότι όλοι οι υπολογισμοί περιγράφηκαν και εξηγήθηκαν στην προηγούμενη παράγραφο, εδώ θα τα πούμε όλα πολύ σύντομα. Για αριθμούς διπλής ακρίβειας, υπάρχουν συνήθως 11 bit για τον εκθέτη και το πρόσημο του, καθώς και 53 bit για το mantissa.

P = 1111111111 2 = 1023 10.

M = 2 52 -1 = 2 (10*5,2) = 1000 5,2 = 10 15,6. Στρογγυλοποιούμε και παίρνουμε τον μέγιστο αριθμό X = 2 1023 με ακρίβεια στο πλησιέστερο «m».

Ελπίζουμε ότι οι πληροφορίες που δώσαμε σχετικά με την αναπαράσταση ακεραίων και πραγματικών αριθμών σε έναν υπολογιστή θα σας φανούν χρήσιμες στις σπουδές σας και θα είναι τουλάχιστον λίγο πιο σαφείς από ό,τι συνήθως γράφεται στα σχολικά βιβλία.