Tema: „Funkcija: pojam, metode zadavanja, glavne karakteristike. Inverzna funkcija. Superpozicija funkcija."

Epigraf lekcije:

“Proučite nešto i ne razmišljajte o tome

naučeno - apsolutno beskorisno.

Razmišljanje o nečemu bez proučavanja

preliminarni predmet razmišljanja -

Konfucije.

Svrha i psihološki i pedagoški ciljevi časa:

1) Opći obrazovni (normativni) cilj: Pregledajte sa učenicima definiciju i svojstva funkcije. Uvesti koncept superpozicije funkcija.

2) Ciljevi matematičkog razvoja učenika: korištenje nestandardnog nastavnog i matematičkog materijala za nastavak razvoja mentalnog iskustva učenika, smislene kognitivne strukture njihove matematičke inteligencije, uključujući sposobnosti logičko-deduktivnog i induktivnog, analitičkog i sintetičkog reverzibilnog mišljenja, algebarskog i figurativno-grafičkog mišljenja , smislena generalizacija i konkretizacija, do refleksije i osamostaljivanja kao metakognitivne sposobnosti učenika; nastaviti razvoj kulture pisanog i usmenog govora kao psiholoških mehanizama obrazovne i matematičke inteligencije.

3) Vaspitni zadaci: nastaviti lično obrazovanje učenika kognitivnog interesovanja za matematiku, odgovornosti, osjećaja dužnosti, akademske samostalnosti, komunikativne sposobnosti za saradnju sa grupom, nastavnikom, drugovima iz razreda; autogoška sposobnost za takmičarsku obrazovnu i matematičku aktivnost, težnja za visokim i najvišim rezultatima (akmeički motiv).

Vrsta lekcije: učenje novog gradiva; prema kriteriju vodećih matematičkih sadržaja - praktični čas; prema kriterijumu vrste informacione interakcije između učenika i nastavnika – čas saradnje.

Oprema za nastavu:

1. Obrazovna literatura:

1) Kudryavtsev matematičke analize: Udžbenik. za univerzitete i studente. U 3 toma T. 3. – 2. izd., revidirano. i dodatne – M.: Više. škola, 1989. – 352 str. : ill.

2) Demidovičevi problemi i vježbe iz matematičke analize. – 9. izd. – M.: Izdavačka kuća „Nauka“, 1977.

2. Ilustracije.

Tokom nastave.

1. Najava teme i osnovnog obrazovnog cilja časa; podsticanje osjećaja dužnosti, odgovornosti i kognitivnog interesa učenika u pripremi za sesiju.

2. Ponavljanje gradiva na osnovu pitanja.

a) Definirajte funkciju.

Jedan od osnovnih matematičkih pojmova je koncept funkcije. Koncept funkcije povezan je sa uspostavljanjem odnosa između elemenata dva skupa.

Neka su dva neprazna skupa i. Poziva se podudaranje f koje odgovara svakom elementu sa jednim i samo jednim elementom funkcija i piše y = f(x). Također kažu da je funkcija f displeji mnogo na mnogo.

https://pandia.ru/text/79/018/images/image003_18.gif" width="63" height="27">.gif" width="59" height="26"> se zove skup značenja funkcija f i označena je sa E(f).

b) Numeričke funkcije. Funkcijski graf. Metode za specificiranje funkcija.

Neka je funkcija data.

Ako su elementi skupova i realni brojevi, tada se poziva funkcija f numerička funkcija . Varijabla x se poziva argument ili nezavisna varijabla, i y – funkcija ili zavisna varijabla(od x). Što se tiče samih količina x i y, kaže se da su u funkcionalna zavisnost.

Funkcijski graf y = f(x) je skup svih tačaka Oxy ravni, za svaku od kojih je x vrijednost argumenta, a y odgovarajuća vrijednost funkcije.

Za specificiranje funkcije y = f(x), potrebno je specificirati pravilo koje dozvoljava, znajući x, da pronađe odgovarajuću vrijednost y.

Najčešća tri načina specificiranja funkcije su: analitički, tabelarni i grafički.

Analitička metoda: Funkcija je specificirana kao jedna ili više formula ili jednačina.

Na primjer:

Ako domena definicije funkcije y = f(x) nije navedena, onda se pretpostavlja da se poklapa sa skupom svih vrijednosti argumenta za koje odgovarajuća formula ima smisla.

Analitička metoda specificiranja funkcije je najnaprednija, jer uključuje metode matematičke analize koje omogućavaju potpuno proučavanje funkcije y = f(x).

Grafička metoda: Postavlja grafikon funkcije.

Prednost grafičkog zadatka je njegova jasnoća, a nedostatak je njegova nepreciznost.

Tabelarni metod: Funkcija je određena tablicom niza vrijednosti argumenata i odgovarajućih vrijednosti funkcije. Na primjer, dobro poznate tablice vrijednosti trigonometrijskih funkcija, logaritamske tablice.

c) Glavne karakteristike funkcije.

1. Poziva se funkcija y = f(x), definirana na skupu D čak , ako su ispunjeni uslovi i f(-x) = f(x); odd , ako su ispunjeni uslovi i f(-x) = -f(x).

Graf parne funkcije je simetričan oko ose Oy, a neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište. Na primjer, – parne funkcije; i y = sinx, https://pandia.ru/text/79/018/images/image014_3.gif" width="73" height="29"> – funkcije opšteg oblika, tj. ni parne ni neparne .

2. Neka je funkcija y = f(x) definirana na skupu D i neka je . Ako za bilo koju vrijednost argumenata slijedi sljedeća nejednakost: , tada se poziva funkcija povećanje na setu; Ako , tada se poziva funkcija neopadajući na https://pandia.ru/text/79/018/images/image021_1.gif" width="117" height="28 src="> tada se poziva funkcija. opadajući na ; - bez povećanja .

Povećajuće, nerastuće, opadajuće i neopadajuće funkcije na skupu https://pandia.ru/text/79/018/images/image023_0.gif" width="13" height="13">D vrijednost (x +T)D i vrijedi jednakost f(x+T) = f(x).

Da bi se nacrtao graf periodične funkcije perioda T, dovoljno ga je nacrtati na bilo kom segmentu dužine T i periodično ga nastaviti kroz čitav domen definicije.

Zapazimo glavna svojstva periodične funkcije.

1) Algebarski zbir periodičnih funkcija koje imaju isti period T je periodična funkcija s periodom T.

2) Ako funkcija f(x) ima period T, onda funkcija f(ax) ima period T/a.

d) Inverzna funkcija.

Neka je data funkcija y = f(x) sa domenom definicije D i skupom vrijednosti E..gif" width="48" height="22">, tada je funkcija x = z(y) sa domenom definicije E i definiranim skupom vrijednosti D. Takva funkcija z(y) se zove obrnuto na funkciju f(x) i zapisuje se u sljedećem obliku: . Kaže se da su funkcije y = f(x) i x = z(y) međusobno inverzne. Da bismo pronašli funkciju x = z(y), inverznu funkciji y = f(x), dovoljno je riješiti jednačinu f(x) = y za x.

Primjeri:

1. Za funkciju y = 2x inverzna funkcija je funkcija x = ½ y;

2. Za funkciju inverzna funkcija je funkcija .

Iz definicije inverzne funkcije slijedi da funkcija y = f(x) ima inverznu ako i samo ako f(x) specificira korespondenciju jedan prema jedan između skupova D i E. Slijedi da bilo koji striktno monotona funkcija ima inverznu . Štaviše, ako se funkcija povećava (smanjuje), tada se i inverzna funkcija također povećava (smanjuje).

3. Proučavanje novog gradiva.

Kompleksna funkcija.

Neka je funkcija y = f(u) definirana na skupu D, a funkcija u = z(x) na skupu i za odgovarajuću vrijednost . Tada je funkcija u = f(z(x)) definirana na skupu, koji se poziva složena funkcija od x (ili superpozicija specificirane funkcije, ili funkcija od funkcije ).

Poziva se varijabla u = z(x). međuargument složena funkcija.

Na primjer, funkcija y = sin2x je superpozicija dvije funkcije y = sinu i u = 2x. Kompleksna funkcija može imati nekoliko međuargumenata.

4. Rješavanje nekoliko primjera na tabli.

5. Zaključak lekcije.

1) teorijski i primenjeni rezultati praktičnog časa; diferencirana procjena nivoa mentalnog iskustva učenika; stepen ovladavanja temom, kompetencija, kvalitet usmenog i pismenog matematičkog govora; pokazani nivo kreativnosti; nivo nezavisnosti i refleksije; nivo inicijative, kognitivni interes za pojedinačne metode matematičkog mišljenja; nivoe saradnje, intelektualnog nadmetanja, želje za visokim nivoom obrazovne i matematičke aktivnosti itd.;

2) objavljivanje obrazloženih ocjena, nastavnih bodova.

Funkcija izgradnje

Nudimo Vašoj pažnji uslugu za konstruisanje funkcionalnih grafova online, na koju sva prava pripadaju kompaniji Desmos. Koristite lijevu kolonu za unos funkcija. Možete unijeti ručno ili koristeći virtuelnu tastaturu na dnu prozora. Da biste povećali prozor sa grafikonom, možete sakriti i lijevu kolonu i virtuelnu tastaturu.

Prednosti online crtanja

• Vizualni prikaz unesenih funkcija
• Izrada veoma složenih grafova
• Konstrukcija grafova specificiranih implicitno (na primjer, elipsa x^2/9+y^2/16=1)
• Mogućnost spremanja grafikona i primanja veze do njih, koja postaje dostupna svima na Internetu
• Kontrola skale i boje linije
• Mogućnost iscrtavanja grafikona po tačkama, korišćenjem konstanti
• Iscrtavanje nekoliko grafova funkcija istovremeno
• Iscrtavanje u polarnim koordinatama (koristite r i θ(\theta))

Sa nama je lako napraviti grafikone različite složenosti na mreži. Izgradnja se obavlja trenutno. Usluga je tražena za pronalaženje tačaka preseka funkcija, za prikazivanje grafova za njihovo dalje pomeranje Word dokument kao ilustracije pri rješavanju problema, analizirati karakteristike ponašanja funkcijskih grafova. Optimalni pretraživač za rad sa grafikonima na ovoj stranici sajta je google chrome. Ispravan rad nije zagarantovan kada koristite druge pretraživače.

Jednociklični (ne sadrže memorijske elemente) diskretni logički uređaji implementiraju na izlazu određeni skup funkcija logičke algebre `F m =(F 1 ,F 2 ,…,F m), koji u svakom trenutku vremena zavise samo od stanja ulaza uređaja `x n =(x 1 ,x 2 ,…,x n): `F m = `F m(`x n). U praksi se takvi uređaji projektiraju i proizvode od zasebnih nedjeljivih elemenata koji implementiraju određeni skup (sistem) ( f) elementarne funkcije algebre povezivanjem izlaza jednih elemenata sa ulazima drugih.

Prilikom dizajniranja logičkih uređaja relevantna su sljedeća pitanja.

1. Dat je sistem elementarnih funkcija ( f). Koje su izlazne funkcije? F i može se dobiti pomoću funkcija iz ( f}?

2. Skup izlaznih Booleovih funkcija ( F) (posebno jednako cijelom skupu funkcija algebre logike R 2). Kakav bi trebao biti početni sistem elementarnih funkcija ( f), pružajući mogućnost dobivanja na izlazu bilo koje funkcije skupa ( F}?

Da bi se dao razuman odgovor na ova pitanja, koriste se koncepti superpozicije, zatvorenosti i potpunosti sistema funkcija.

Definicija. Razmotrimo skup logičkih konekcija ( F), što odgovara nekom sistemu funkcija ( f} . Superpozicija gotova{f) je bilo koja funkcija j koja se može realizirati formulom preko ( F}.

U praksi, superpozicija se može predstaviti kao rezultat zamjene funkcija iz ( f) kao argumente funkciji iz istog skupa.

Primjer 1. Razmotrimo sistem funkcija ( f} = {f 1 (X) =`x, f 2 (x,y)= X&y, f 3 (x,y)=XÚ y). Zamjena u funkciju f 3 (x,y) umjesto prvog argumenta X funkcija f 1 (X), umjesto drugog - f 2 (x,y), dobijamo superpoziciju h(x,y)=f 3 (f 1 (X),f 2 (x,y))=`xÚ X& at. Fizička implementacija zamjene data je na slici 1.18.

Definicija. Neka M-određeni skup funkcija logičke algebre ( P 2). Skup svih superpozicija je završen M pozvao kratki spoj setovi M i označen je sa [ M]. Primanje [ M] prema originalnom setu M pozvao operacija zatvaranja. Gomila M pozvao funkcionalno zatvorena klasa, Ako [ M] = M. Podset mÍ M pozvao funkcionalno kompletan sistem u M, Ako [ m] = M.

Zatvaranje [ M] predstavlja cijeli skup funkcija iz kojih se može dobiti M primjenom operacije superpozicije, tj. sve moguće zamjene.

Bilješke. 1. Očigledno, svaki sistem funkcija ( f) je sam po sebi funkcionalno kompletan.

2 . Bez gubitka općenitosti, možemo pretpostaviti da funkcija identiteta f(X)=x, koji ne mijenja istinite vrijednosti varijabli, u početku je dio bilo kojeg sistema funkcija.

Primjer 2. Za sisteme funkcija o kojima se govori u nastavku ( f) uradite sljedeće:

1) pronađite zatvaranje [ f],

2) saznati da li sistem ( f) zatvoren razred,

3) pronaći funkcionalno kompletne sisteme u ( f}.

Rješenje.

I. ( f}={0} . Prilikom zamjene funkcije ( fº 0) primamo ga u sebe, tj. nisu kreirane nove funkcije. To podrazumijeva: [ f] = {f). Razmatrani sistem je funkcionalno zatvorena klasa. Funkcionalno kompletan sistem u njemu je jedan i jednak celini ( f}.

II. ( f} = {0,Ø } . Zamjena Ø (Ø X)daje identičnu funkciju koja formalno ne proširuje originalni sistem. Međutim, zamjenom Ø (0) dobijamo identičnu jedinicu - nova funkcija, što nije bilo u originalnom sistemu: Ø (0)=1 . Primjena svih ostalih zamjena ne dovodi do pojave novih funkcija, na primjer: ØØ 0 = 0, 0(Ø X)=0.

Stoga je korištenje operacije superpozicije omogućilo dobivanje šireg skupa funkcija od originalnog [ f]=(0,Ø ,1). Ovo podrazumijeva strogi unos: ( f} Ì [ f]. Izvorni sistem {f) nije funkcionalno zatvorena klasa. Pored samog sistema ( f)druge funkcionalno kompletni sistemi nije, jer u slučaju njegovog sužavanja sa jedne funkcije f= 0 se ne može negirati zamjenom, a identična nula se ne može dobiti samo iz funkcije negacije.

III. ( f) = (& ,Ú ,Ø ). Zatvaranje ovog sistema je čitav skup funkcija algebre logike P 2, budući da se formula bilo kojeg od njih može predstaviti kao DNF ili CNF, koji koristi elementarne funkcije ( f) = (& ,Ú ,Ø). Ova činjenica je konstruktivan dokaz kompletnosti razmatranog sistema funkcija u P 2: [f]=P 2 .

Od u P 2 sadrži beskonačan broj drugih funkcija osim ( f) = (& ,Ú ,Ø ), onda ovo implicira striktnu pojavu: ( f}Ì[ f]. Razmatrani sistem nije funkcionalno zatvorena klasa.

Pored samog sistema, podsistemi će biti funkcionalno kompletni ( f) 1 = (& ,Ø ) i ( f) 2 = (Ú ,Ø ). Ovo proizilazi iz činjenice da se, koristeći De Morganova pravila, funkcija logičkog sabiranja Ú može izraziti kroz (& , Ø), a funkcija logičkog množenja & kroz (Ú, Ø):

(X & at) = Ø (` XÚ` at), (X Ú at) = Ø ( X &`at).

Ostali funkcionalno kompletni podsistemi u ( f) Ne.

Provjera kompletnosti podsistema funkcija ( f) 1 M ( f)u cijelom sistemu ( f)može se proizvesti kombinovanjem ( f) 1 drugom, očito kompletno u ( f)sistem.

Nepotpunost podsistema ( f) 1 in ( f)može se potvrditi dokazivanjem striktne pojave [ f 1 ] M [ f].

Definicija. Podset mÍ M pozvao funkcionalnu osnovu(osnovu)sistemi M, Ako [ m] = M, a nakon isključivanja bilo koje funkcije iz njega, skup preostalih nije potpun M .

Komentar. Osnove sistema funkcija (f) su svi njeni funkcionalno kompletni podsistemi (f) 1, koji se ne može smanjiti bez gubitka kompletnosti u (f).

Primjer 3. Za sve sisteme razmatrane u primjeru 2, pronađite baze.

Rješenje.U slučajevima 1 i 2 samo su sami sistemi funkcionalno kompletni i nemoguće ih je suziti. Shodno tome, oni su i baze.

U slučaju 3 postoje dva funkcionalno kompletna u ( f)podsistemi ( f) 1 = (&,Ø ) i ( f) 2 =(Ú,Ø ), koji se ne može smanjiti bez gubitka kompletnosti. Oni će biti osnove sistema ( f} = {&,Ú,Ø}.

Definicija. Neka sistem ( f) je zatvorena klasa. Njegov podskup ( f) 1 M ( f) su pozvani junior razred u{f), Ako ( f) 1 nije kompletan u ( f} ([f 1 ] M [ f]), i za bilo koju funkciju j iz sistema ( f), nije uključeno u ( f) 1 (jO( f} \ {f) 1) istina: [ jÈ { f} 1 ] = [f], tj. dodavanje jk ( f) 1 ga čini kompletnim u ( f} .

Zadaci

1. Provjerite zatvorenost skupova funkcija:

a) (Ø); b) (1, Ø ); c) ((0111); (10));d) ((11101110); (0110));d) ((0001); (00000001); (0000000000000001); … ).

2. Provjerite kompletnost sistema funkcija u P 2:

a) (0,Ø); b) ((0101) , (1010) ); V ); d) ((0001) , (1010) ).

3. Naći zatvorenost sistema funkcija i njegovu osnovu:

a) (0, 1, Ø); b) ((1000) , (1010), (0101) ); c) ((0001) , (1110), (10) ); d) ((1010) , (0001), (0111) ).

1.10.2 Funkcije koje čuvaju konstante. Klase T 0 i T 1

Definicija. Funkcija f(`x n) štedi 0 ako f(0,..., 0) = 0. Funkcija f(`x n) štedi 1 ako f(1, ... , 1) = 1.

Puno mogućnosti n varijable koje pohranjuju 0 i 1 su označene, respektivno, T 0 n I T 1 n. Svi skupovi funkcija logičke algebre koji čuvaju 0 i 1 , označiti T 0 I T 1 . Svaki od setova T 0 i T 1 je zatvorena predkompletna klasa u R 2 .

Od elementarnih funkcija do T 0 i T 1 su istovremeno uključeni, na primjer, & i Ú. Pripadnost bilo koje funkcije klasama T 0 , T 1 se može provjeriti prvom i posljednjom vrijednošću njegovog vektora vrijednosti u tablici istinitosti ili direktnom zamjenom nula i jedinica u formulu prilikom analitičkog specificiranja funkcije.

Definicija.Duplikat je zamjena u kojoj se ista varijabla zamjenjuje u funkciju umjesto nekoliko nezavisnih varijabli. U ovom slučaju, vrijednosti varijabli u skupovima koji su prethodno uzimali vrijednosti neovisno jedna o drugoj uvijek će biti iste.

ZADACI

1.Provjerite članstvo u razredu T 0 I T 1 funkcije:

a) generalizirano sabiranje, b) generalizirano množenje, c) konstante, d) xyÚ yz, d) X® at® xy, e) XÅ at, i)( X 1 Å … Å X n) ® ( y 1 Å … Å y m) u n,mÎ N.

2. Dokazati zatvorenost svake klase T 0 I T 1 .

3. Dokažite da ako f(`x n) Ï T 0, onda iz njega, dupliranjem zamjene, možete dobiti konstantu 1 ili negaciju.

4. Dokažite da ako f(`x n) Ï T 1 , onda iz njega, dupliranjem zamjene, možete dobiti konstantu 0 ili negaciju.

5. Dokazati predkompletnost svakog od razreda T 0 I T 1 (na primjer, smanjenjem proširenog sistema na ( f} = {& ,Ú ,Ø }).

6. Pronađite snagu klasa T 0 n I T 1 n.

Upoznajmo se s konceptom superpozicije (ili nametanja) funkcija, koji se sastoji od zamjene funkcije drugim argumentom umjesto argumenta date funkcije. Na primjer, superpozicija funkcija daje funkciju, a funkcije se dobijaju na sličan način

IN opšti pogled, pretpostavimo da je funkcija definirana u određenoj domeni i da je funkcija definirana u domeni i da su sve njene vrijednosti sadržane u domeni, tada je varijabla z, kako kažu, kroz y, sama funkcija

Zadatu vrijednost prvo pronalaze vrijednost y koja joj odgovara (prema pravilu označenom znakom), a zatim postavlja odgovarajuću vrijednost y (prema pravilu

karakteriziran znakom, smatra se da njegova vrijednost odgovara odabranom x. Rezultirajuća funkcija iz funkcije ili kompleksne funkcije rezultat je superpozicije funkcija

Pretpostavka da vrijednosti funkcije ne prelaze granice područja Y u kojem je funkcija definirana je vrlo značajna: ako se izostavi, može doći do apsurda. Na primjer, pod pretpostavkom možemo uzeti u obzir samo one vrijednosti x za koje inače izraz ne bi imao smisla.

Smatramo korisnim ovdje naglasiti da karakterizacija funkcije kao kompleksne nije povezana s prirodom funkcionalne ovisnosti z od x, već samo s načinom na koji je ta zavisnost specificirana. Na primjer, neka za y bude za Then

Ovdje se pokazalo da je funkcija specificirana kao složena funkcija.

Sada kada je koncept superpozicije funkcija potpuno shvaćen, možemo precizno okarakterizirati najjednostavniju od onih klasa funkcija koje se proučavaju u analizi: to su, prije svega, elementarne funkcije gore navedene, a zatim sve one koje se iz njih dobivaju. koristeći četiri aritmetičke operacije i superpozicije, sukcesivno primijenjene konačan broj puta. Za njih se kaže da se izražavaju kroz elementarno u svom konačnom obliku; ponekad se nazivaju i elementarnim.

Nakon toga, savladavši složeniji analitički aparat (beskonačni nizovi, integrali), upoznaćemo se s drugim funkcijama koje također igraju važnu ulogu u analizi, ali već nadilaze klasu elementarnih funkcija.

Neka postoje 2 funkcije:

: A→B i g: D→F

Neka je domen definicije D funkcije g uključen u domen vrijednosti funkcije f (DB). Tada možete definirati novu funkciju - superpozicija (kompozicija, kompleksna funkcija) funkcije f i g: z= g( (x)).

Primjeri. f(x)=x 2 , g(x)=e x . f:R→R, g:R→R .

(g(x))=e 2x , g((x))=.

Definicija

Neka postoje dvije funkcije. Tada je njihov sastav funkcija definirana jednakošću:

Svojstva kompozicije

Kompozicija je asocijativna:

Ako F= id X- identično mapiranje X, to je

.

Ako G= id Y- identično mapiranje Y, to je

.

Dodatne nekretnine

Prebrojivi i nebrojivi skupovi.

Dva konačna skupa sastoje se od jednakog broja elemenata ako se između ovih skupova može uspostaviti korespondencija jedan-na-jedan. Broj elemenata konačnog skupa je kardinalnost skupa.

Za beskonačan skup, može se uspostaviti korespondencija jedan-na-jedan između cijelog skupa i njegovog dijela.

Najjednostavniji od beskonačnih skupova je skup N.

Definicija. Skupovi A i B se nazivaju ekvivalentno(AB), ako se između njih može uspostaviti korespondencija jedan-na-jedan.

Ako su dva konačna skupa ekvivalentna, onda se sastoje od istog broja elemenata.

Ako su skupovi A i B koji su ekvivalentni jedan drugom proizvoljni, onda kažu da A i B imaju isto moć. (snaga = ekvivalencija).

Za konačne skupove, koncept kardinalnosti se poklapa sa konceptom broja elemenata skupa.

Definicija. Skup se zove countable, ako je moguće uspostaviti korespondenciju jedan prema jedan između njega i skupa prirodnih brojeva. (To jest, prebrojiv skup je beskonačan, ekvivalentan skupu N).

(To jest, svi elementi prebrojivog skupa mogu biti numerisani).

Svojstva jednakih odnosa moći.

1) AA - refleksivnost.

2) AB, zatim BA – simetrija.

3) AB i BC, tada je AC tranzitivnost.

Primjeri.

1) n→2n, 2,4,6,… - parni prirodni

2) n→2n-1, 1,3,5,… - neparni prirodni.

Svojstva prebrojivih skupova.

1. Beskonačni podskupovi prebrojivog skupa su prebrojivi.

Dokaz. Jer A je prebrojivo, tada je A: x 1, x 2,... - preslikano A u N.

VA, V: →1,→2,… - dodjeljuje svakom elementu B prirodni broj, tj. preslikava B u N. Stoga je B prebrojivo. itd.

2. Unija konačnog (prebrojivog) sistema prebrojivih skupova je prebrojiva.

Primjeri.

1. Skup cijelih brojeva Z je prebrojiv, jer skup Z se može predstaviti kao unija prebrojivih skupova A i B, gdje je A: 0,1,2,.. i B: -1,-2,-3,...

2. Lots naredio parovi ((m,n): m,nZ) (tj. (1,3)≠(3,1)).

3 (!) . Skup racionalnih brojeva je prebrojiv.

Q=. Može se uspostaviti korespondencija jedan prema jedan između skupa nesvodljivih razlomaka Q i skupa uređenih parova:

To. skup Q je ekvivalentan skupu ((p,q))((m,n)).

Skup ((m,n)) – skup svih uređenih parova – je prebrojiv. Prema tome, skup ((p,q)) je prebrojiv, pa je stoga Q prebrojiv.

Definicija. Iracionalan broj je proizvoljna beskonačna decimala neperiodični razlomak, tj.  0 , 1  2 …

Skup svih decimalnih razlomaka čini skup realni (realni) brojevi.

Skup iracionalnih brojeva je nebrojiv.

Teorema 1. Gomila realni brojevi iz intervala (0,1) je nebrojiv skup.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, tj. da se svi brojevi u intervalu (0,1) mogu numerisati. Zatim, zapisujući ove brojeve u obliku beskonačnih decimalnih razlomaka, dobijamo niz:

x 1 =0,a 11 a 12 ...a 1n ...

x 2 =0,a 21 a 22 …a 2n …

…………………..

x n =0,a n 1 a n 2 …a nn …

……………………

Razmotrimo sada realni broj x=0,b 1 b 2 …b n…, gdje je b 1 bilo koji broj različit od a 11, (0 i 9), b 2 je bilo koji broj različit od a 22, (0 i 9 ) ,…, b n - bilo koji broj različit od a nn, (0 i 9).

To. x(0,1), ali xx i (i=1,…,n) jer inače, b i =a ii . Došli smo do kontradikcije. itd.

Teorema 2. Svaki interval realne ose je nebrojiv skup.

Teorema 3. Skup realnih brojeva je nebrojiv.

Za svaki skup jednak skupu realnih brojeva kaže se da jeste kontinualna snaga(lat. continuum – kontinuiran, kontinuiran).

Primjer. Pokažimo da interval ima snagu kontinuuma.

Funkcija y=tg x: →R prikazuje interval na cijeloj brojevnoj pravoj (grafikon).