Tema: “Funksioni: koncepti, metodat e caktimit, karakteristikat kryesore. Funksioni i anasjelltë. Mbivendosje e funksioneve."

Epigrafi i mësimit:

“Studioni diçka dhe mos mendoni për të

i mësuar - absolutisht i padobishëm.

Të mendosh për diçka pa e studiuar atë

lënda paraprake e mendimit -

Konfuci.

Qëllimi dhe objektivat psikologjike e pedagogjike të orës së mësimit:

1) Qëllimi i përgjithshëm arsimor (normativ).: Rishikoni me nxënësit përkufizimin dhe vetitë e një funksioni. Prezantoni konceptin e mbivendosjes së funksioneve.

2) Objektivat e zhvillimit matematikor të nxënësve: përdorimi i materialit arsimor dhe matematikor jo standard për të vazhduar zhvillimin e përvojës mendore të studentëve, strukturën kuptimplotë njohëse të inteligjencës së tyre matematikore, duke përfshirë aftësitë për të menduarit logjik-deduktiv dhe induktiv, analitik dhe sintetik të kthyeshëm, të menduarit algjebrik dhe figurativ-grafik. , përgjithësim dhe konkretizim kuptimplotë, deri te reflektimi dhe pavarësia si aftësi metakognitive e nxënësve; për të vazhduar zhvillimin e kulturës së të folurit të shkruar dhe gojor si mekanizma psikologjikë të inteligjencës arsimore dhe matematikore.

3) Detyrat edukative: të vazhdojë edukimin personal te nxënësit me interes njohës për matematikën, përgjegjësinë, ndjenjën e detyrës, pavarësinë akademike, aftësinë komunikuese për të bashkëpunuar me grupin, mësuesin, shokët e klasës; aftësi autogogjike për veprimtari konkurruese edukative dhe matematikore, duke u përpjekur për rezultate të larta dhe më të larta (motivi akmeik).

Lloji i mësimit: mësimi i materialit të ri; sipas kriterit të përmbajtjes kryesore matematikore - një mësim praktik; sipas kriterit të llojit të ndërveprimit informativ ndërmjet nxënësve dhe mësuesit – mësim bashkëpunimi.

Pajisjet e mësimit:

1. Literatura edukative:

1) Kudryavtsev i analizës matematikore: Libër mësuesi. për studentët e universitetit dhe universitetit. Në 3 vëllime T. 3. – 2nd ed., revided. dhe shtesë - M.: Më e lartë. shkollë, 1989. – 352 f. : i sëmurë.

2) Probleme dhe ushtrime Demidovich në analizën matematikore. - botimi i 9-të. – M.: Shtëpia botuese “Nauka”, 1977.

2. Ilustrime.

Gjatë orëve të mësimit.

1. Shpallja e temës dhe qëllimit kryesor edukativ të orës së mësimit; stimulimi i ndjenjës së detyrës, përgjegjësisë dhe interesit njohës të studentëve në përgatitjen për sesionin.

2.Përsëritje e materialit bazuar në pyetje.

a) Përcaktoni një funksion.

Një nga konceptet themelore matematikore është koncepti i funksionit. Koncepti i një funksioni shoqërohet me vendosjen e një marrëdhënieje midis elementeve të dy grupeve.

Le të jepen dy grupe jo bosh. Një përputhje f që përputhet me çdo element me një dhe vetëm një element quhet funksionin dhe shkruan y = f(x). Ata gjithashtu thonë se funksioni f shfaq shumë mbi shumë.

https://pandia.ru/text/79/018/images/image003_18.gif" width="63" height="27">.gif" width="59" height="26"> quhet grup kuptimesh funksioni f dhe shënohet me E(f).

b) Funksionet numerike. Grafiku i funksionit. Metodat për specifikimin e funksioneve.

Le të jepet funksioni.

Nëse elementet e bashkësive dhe janë numra realë, atëherë thirret funksioni f funksioni numerik . Ndryshorja x quhet argument ose ndryshore e pavarur, dhe y – funksionin ose ndryshore e varur(nga x). Për sa i përket vetë sasive x dhe y, thuhet se janë në varësia funksionale.

Grafiku i funksionit y = f(x) është bashkësia e të gjitha pikave të planit Oxy, për secilën prej të cilave x është vlera e argumentit dhe y është vlera përkatëse e funksionit.

Për të specifikuar funksionin y = f(x), është e nevojshme të specifikohet një rregull që lejon, duke ditur x, të gjejë vlerën përkatëse të y.

Tre mënyrat më të zakonshme për të specifikuar një funksion janë: analitike, tabelare dhe grafike.

Metoda analitike: Një funksion specifikohet si një ose më shumë formula ose ekuacione.

Për shembull:

Nëse domeni i përkufizimit të funksionit y = f(x) nuk është specifikuar, atëherë supozohet se përkon me grupin e të gjitha vlerave të argumentit për të cilin formula përkatëse ka kuptim.

Metoda analitike e specifikimit të një funksioni është më e avancuara, pasi përfshin metoda të analizës matematikore që bëjnë të mundur studimin e plotë të funksionit y = f(x).

Metoda grafike: Vendos grafikun e funksionit.

Avantazhi i një detyre grafike është qartësia e saj, disavantazhi është pasaktësia e saj.

Metoda tabelare: Një funksion specifikohet nga një tabelë me një seri vlerash argumentesh dhe vlerash funksioni përkatës. Për shembull, tabela të njohura të vlerave të funksioneve trigonometrike, tabela logaritmike.

c) Karakteristikat kryesore të funksionit.

1. Thirret funksioni y = f(x), i përcaktuar në bashkësinë D madje , nëse plotësohen kushtet dhe f(-x) = f(x); i çuditshëm , nëse plotësohen kushtet dhe f(-x) = -f(x).

Grafiku i një funksioni çift është simetrik në lidhje me boshtin Oy, dhe një funksion tek është simetrik në lidhje me origjinën. Për shembull, – edhe funksionet; dhe y = sinx, https://pandia.ru/text/79/018/images/image014_3.gif" width="73" height="29"> - funksione të formës së përgjithshme, d.m.th., as çift, as tek.

2. Le të përcaktohet funksioni y = f(x) në bashkësinë D dhe le të . Nëse për ndonjë vlerë të argumenteve vijon pabarazia e mëposhtme: , atëherë thirret funksioni në rritje në set; Nëse , atëherë thirret funksioni jo në rënie në https://pandia.ru/text/79/018/images/image021_1.gif" width="117" height="28 src=">atëherë thirret funksioni. në rënie më ; - jo në rritje .

Funksionet rritëse, jo-rritëse, zvogëluese dhe moszvogëluese në grup https://pandia.ru/text/79/018/images/image023_0.gif" width="13" height="13">Vlera D (x +T)D dhe vlen barazia f(x+T) = f(x).

Për të vizatuar një grafik të një funksioni periodik të periudhës T, mjafton të vizatohet në çdo segment me gjatësi T dhe të vazhdojë periodikisht në të gjithë domenin e përkufizimit.

Le të vëmë re vetitë kryesore të një funksioni periodik.

1) Shuma algjebrike e funksioneve periodike që kanë të njëjtën periudhë T është një funksion periodik me periudhën T.

2) Nëse funksioni f(x) ka periudhë T, atëherë funksioni f(ax) ka periudhë T/a.

d) Funksioni i anasjelltë.

Le të jepet një funksion y = f(x) me një domen të përkufizimit D dhe një grup vlerash E..gif" width="48" height="22">, pastaj një funksion x = z(y) me një domen të përkufizimit E dhe një grup vlerash është përcaktuar D Një funksion i tillë z(y) quhet e kundërta në funksionin f(x) dhe shkruhet në formën e mëposhtme: . Funksionet y = f(x) dhe x = z(y) thuhet se janë reciprokisht të anasjellta. Për të gjetur funksionin x = z(y), inversin e funksionit y = f(x), mjafton të zgjidhet ekuacioni f(x) = y për x.

Shembuj:

1. Për funksionin y = 2x funksioni i anasjelltë është funksioni x = ½ y;

2. Për funksionin funksioni i anasjelltë është funksioni .

Nga përkufizimi i një funksioni të anasjelltë rezulton se funksioni y = f(x) ka një të anasjelltë nëse dhe vetëm nëse f(x) specifikon një korrespondencë një-për-një midis bashkësive D dhe E. Nga kjo rrjedh se çdo një funksion rreptësisht monoton ka një të anasjelltë . Për më tepër, nëse një funksion rritet (zvogëlohet), atëherë funksioni i anasjelltë gjithashtu rritet (zvogëlohet).

3. Studimi i materialit të ri.

Funksion kompleks.

Le të përcaktohet funksioni y = f(u) në bashkësinë D, dhe funksioni u = z(x) në bashkësinë dhe për vlerën përkatëse . Atëherë në bashkësinë përcaktohet funksioni u = f(z(x)), i cili thirret funksion kompleks nga x (ose mbivendosje funksionet e specifikuara, ose funksion nga funksioni ).

Thirret ndryshorja u = z(x). argument i ndërmjetëm funksion kompleks.

Për shembull, funksioni y = sin2x është një mbivendosje e dy funksioneve y = sinu dhe u = 2x. Një funksion kompleks mund të ketë disa argumente të ndërmjetme.

4. Zgjidhja e disa shembujve në tabelë.

5. Përfundimi i orës së mësimit.

1) rezultatet teorike dhe aplikative të mësimit praktik; vlerësim i diferencuar i nivelit të përvojës mendore të nxënësve; niveli i zotërimit të temës, kompetenca, cilësia e të folurit matematikor me gojë dhe me shkrim; niveli i kreativitetit të demonstruar; niveli i pavarësisë dhe reflektimit; niveli i iniciativës, interesi njohës për metodat individuale të të menduarit matematik; nivelet e bashkëpunimit, konkurrenca intelektuale, dëshira për nivele të larta të aktivitetit edukativo-matematikor etj.;

2) shpallja e notave të arsyetuara, pikët e mësimit.

Ndërtimi i funksionit

Ne ofrojmë në vëmendjen tuaj një shërbim për ndërtimin e grafikëve të funksioneve në internet, të gjitha të drejtat i përkasin kompanisë Desmos. Përdorni kolonën e majtë për të futur funksione. Mund të futni manualisht ose duke përdorur tastierën virtuale në fund të dritares. Për të zmadhuar dritaren me grafikun, mund të fshehni si kolonën e majtë ashtu edhe tastierën virtuale.

Përfitimet e hartimit në internet

• Shfaqja vizuale e funksioneve të futura
• Ndërtimi i grafikëve shumë kompleks
• Ndërtimi i grafikëve të specifikuar në mënyrë implicite (për shembull, elipsi x^2/9+y^2/16=1)
• Mundësia për të ruajtur grafikët dhe për të marrë një lidhje me to, e cila bëhet e disponueshme për të gjithë në internet
• Kontrolli i shkallës, ngjyra e linjës
• Mundësia e paraqitjes së grafikëve sipas pikave, duke përdorur konstante
• Hartimi i disa grafikëve të funksioneve në të njëjtën kohë
• Vizatimi në koordinata polare (përdor r dhe θ(\theta))

Me ne është e lehtë të ndërtosh në internet tabela me kompleksitet të ndryshëm. Ndërtimi bëhet në çast. Shërbimi është i kërkuar për gjetjen e pikave të kryqëzimit të funksioneve, për paraqitjen e grafikëve për lëvizjen e tyre të mëtejshme në Dokument Word si ilustrime gjatë zgjidhjes së problemeve, për të analizuar veçoritë e sjelljes së grafikëve të funksioneve. Shfletuesi optimal për të punuar me grafikët në këtë faqe të faqes është Google Chrome. Funksionimi i duhur nuk garantohet kur përdorni shfletues të tjerë.

Pajisjet logjike diskrete me një cikël (që nuk përmbajnë elementë memorie) zbatojnë në dalje një grup të caktuar funksionesh algjebër logjike `F m =(F 1 , F 2 ,…,F m), të cilat në çdo moment të kohës varen vetëm nga gjendja e hyrjeve të pajisjes `x n =(x 1 , x 2 ,…,x n): `F m = `F m(`x n). Në praktikë, pajisje të tilla janë projektuar dhe prodhuar nga elementë të veçantë të pandashëm që zbatojnë një grup (sistem) të caktuar ( f) funksionet elementare të algjebrës duke lidhur daljet e disa elementeve me hyrjet e të tjerëve.

Kur dizajnoni pajisje logjike, pyetjet e mëposhtme janë të rëndësishme.

1. Jepet një sistem funksionesh elementare ( f). Cilat janë funksionet e daljes F i mund të merret duke përdorur funksionet nga ( f}?

2. Një grup funksionesh logjike dalëse ( F) (në veçanti, e barabartë me të gjithë grupin e funksioneve të algjebrës së logjikës R 2). Cili duhet të jetë sistemi fillestar i funksioneve elementare ( f), duke siguruar mundësinë e marrjes në dalje të ndonjë prej funksioneve të grupit ( F}?

Për të dhënë një përgjigje të arsyeshme për këto pyetje, përdoren konceptet e mbivendosjes, mbylljes dhe plotësisë së sistemeve të funksioneve.

Përkufizimi. Le të shqyrtojmë një grup lidhjesh logjike ( F), që korrespondon me disa sisteme funksionesh ( f} . Mbivendosje{f) është çdo funksion j që mund të realizohet nga një formulë mbi ( F}.

Në praktikë, mbivendosja mund të përfaqësohet si rezultat i zëvendësimit të funksioneve nga ( f) si argumente për një funksion nga i njëjti grup.

Shembulli 1. Konsideroni një sistem funksionesh ( f} = {f 1 (X) =`x, f 2 (x, y)= X&y, f 3 (x, y)=XÚ y). Zëvendësimi në funksion f 3 (x, y) në vend të argumentit të parë X funksionin f 1 (X), në vend të të dytës - f 2 (x, y), marrim mbivendosjen h(x, y)=f 3 (f 1 (X), f 2 (x, y))=`xÚ X& në. Zbatimi fizik i zëvendësimit është dhënë në Fig. 1.18.

Përkufizimi. Le M- grup i caktuar i funksioneve logjike të algjebrës ( P 2). Përfundoi grupi i të gjitha mbivendosjeve M thirrur qark i shkurtër grupe M dhe shënohet me [ M]. Duke marrë [ M]nga grupi origjinal M thirrur operacioni i mbylljes. Një tufë me M thirrur klasë e mbyllur funksionalisht, Nëse [ M] = M. Nëngrupi mÍ M thirrur sistemi funksionalisht i plotë në M, Nëse [ m] = M.

Mbyllja [ M] përfaqëson të gjithë grupin e funksioneve që mund të merren nga M duke zbatuar veprimin e mbivendosjes, d.m.th. të gjitha zëvendësimet e mundshme.

Shënime. 1. Natyrisht, çdo sistem funksionesh ( f) është funksionalisht i plotë në vetvete.

2 . Pa humbur përgjithësinë, mund të supozojmë se funksioni i identitetit f(X)=x, i cili nuk ndryshon vlerat e vërtetësisë së variablave, fillimisht është pjesë e çdo sistemi funksionesh.

Shembulli 2. Për sistemet e funksioneve të diskutuara më poshtë ( f) bëni sa më poshtë:

1) gjeni mbylljen [ f],

2) zbuloni nëse sistemi ( f) klasa e mbyllur,

3) gjeni sisteme funksionalisht të plota në ( f}.

Zgjidhje.

I. ( f}={0} . Kur zëvendësoni funksionin ( fº 0) e marrim në vetvete, d.m.th. nuk krijohen funksione të reja. Kjo nënkupton: [ f] = {f). Sistemi i konsideruar është një klasë e mbyllur funksionalisht. Sistemi funksionalisht i plotë në të është një dhe i barabartë me të gjithë ( f}.

II. ( f} = {0,Ø } . Zëvendësimi Ø (Ø X) jep një funksion identik që nuk e zgjeron zyrtarisht sistemin origjinal. Megjithatë, kur zëvendësojmë Ø (0) marrim njësinë identike - veçori e re, i cili nuk ishte në sistemin origjinal: Ø (0)=1 . Zbatimi i të gjitha zëvendësimeve të tjera nuk çon në shfaqjen e funksioneve të reja, për shembull: ØØ 0 = 0, 0 (Ø X)=0.

Kështu, përdorimi i operacionit të mbivendosjes bëri të mundur marrjen e një grupi më të gjerë funksionesh sesa ai origjinal [ f]=(0,Ø ,1). Kjo nënkupton një hyrje të rreptë: ( f} Ì [ f]. Sistemi burimor {f) nuk është një klasë e mbyllur funksionalisht. Përveç vetë sistemit ( f) të tjera funksionalisht sisteme të plota nuk e bën, sepse në rastin e ngushtimit të tij nga një funksion f= 0 nuk mund të mohohet me zëvendësim dhe zero identike nuk mund të merret vetëm nga funksioni i mohimit.

III. ( f) = (& ,Ú ,Ø ).Mbyllja e këtij sistemi është tërësia e funksioneve të algjebrës së logjikës P 2, pasi formula e secilit prej tyre mund të përfaqësohet si DNF ose CNF, e cila përdor funksione elementare ( f) = (& ,Ú ,Ø). Ky fakt është një provë konstruktive e tërësisë së sistemit të konsideruar të funksioneve në P 2: [f]=P 2 .

Që në P 2 përmban një numër të pafund funksionesh të tjera përveç ( f) = (& ,Ú ,Ø ), atëherë kjo nënkupton një dukuri strikte: ( f}Ì[ f]. Sistemi i konsideruar nuk është një klasë e mbyllur funksionalisht.

Përveç vetë sistemit, nënsistemet do të jenë funksionalisht të kompletuara ( f) 1 = (& ,Ø ) dhe ( f) 2 = (Ú ,Ø ). Kjo rrjedh nga fakti se, duke përdorur rregullat e De Morgan, funksioni i mbledhjes logjike Ú mund të shprehet përmes (& , Ø), dhe funksioni i shumëzimit logjik & përmes (Ú, Ø):

(X & në) = Ø (` XÚ` në), (X Ú në) = Ø ( X &`në).

Nënsisteme të tjera të kompletuara funksionalisht në ( f) Nr.

Kontrollimi i plotësisë së nënsistemit të funksionit ( f) 1 M ( f) në të gjithë sistemin ( f)mund të prodhohet duke përzier ( f) 1 në një tjetër, padyshim i plotë në ( f) sistemi.

Paplotësia e nënsistemit ( f) 1 in ( f)mund të verifikohet duke vërtetuar shfaqjen strikte të [ f 1 ] M [ f].

Përkufizimi. Nëngrupi mÍ M thirrur bazë funksionale(bazë)sistemet M, Nëse [ m] = M, dhe pas eliminimit të ndonjë funksioni prej tij, grupi i atyre që mbeten nuk është i plotë M .

Koment. Bazat e sistemit të funksioneve (f) janë të gjitha nënsistemet e tij funksionalisht të plota (f) 1, i cili nuk mund të reduktohet pa humbur plotësinë në (f).

Shembulli 3. Për të gjitha sistemet e konsideruara në shembullin 2, gjeni bazat.

Zgjidhje.Në rastet 1 dhe 2, vetëm vetë sistemet janë të plota funksionalisht dhe është e pamundur t'i ngushtosh ato. Rrjedhimisht, ato janë edhe baza.

Në rastin 3 ka dy të plota funksionalisht në ( f)nënsistemet ( f) 1 = (&,Ø ) dhe ( f) 2 =(Ú,Ø ), e cila nuk mund të reduktohet pa humbur plotësinë. Ato do të jenë bazat e sistemit ( f} = {&,Ú,Ø}.

Përkufizimi. Lëreni sistemin ( f) është një klasë e mbyllur. Nëngrupi i saj ( f) 1 M ( f) quhen klasa e vogël në{f), nëse ( f) 1 nuk është i plotë në ( f} ([f 1 ] M [ f]), dhe për çdo funksion j nga sistemi( f), nuk përfshihet në ( f) 1 (jO( f} \ {f) 1) e vërtetë: [ jÈ { f} 1 ] = [f], d.m.th. duke shtuar jk ( f) 1 e bën të plotë në ( f} .

Detyrat

1. Kontrolloni mbylljen e grupeve të funksioneve:

a) (Ø); b) (1, Ø ); c) ((0111); (10));d) ((11101110); (0110));d) ((0001); (00000001); (00000000000000001); ...).

2. Kontrolloni plotësinë e sistemeve të funksionit në P 2:

a) (0,Ø); b) ((0101) , (1010) ); V); d) ((0001) , (1010) ).

3. Gjeni mbylljen e sistemit të funksioneve dhe bazën e tij:

a) (0, 1, Ø); b) ((1000) , (1010), (0101) ); c) ((0001) , (1110), (10) ); d) ((1010) , (0001), (0111) ).

1.10.2 Funksionet që ruajnë konstante. Klasat T 0 dhe T 1

Përkufizimi. Funksioni f(`x n) kursen 0 nëse f(0,..., 0) = 0. Funksioni f(`x n) kursen 1 nëse f(1, ... , 1) = 1.

Shumë veçori n variablat që ruajnë 0 dhe 1 shënohen, përkatësisht, T 0 n Dhe T 1 n. Të gjitha grupet e funksioneve të algjebrës logjike që ruajnë 0 dhe 1 , tregojnë T 0 Dhe T 1 . Secili nga grupet T 0 dhe T 1 është një klasë e mbyllur paraplotësuar në R 2 .

Nga funksionet elementare në T 0 dhe T 1 përfshihen njëkohësisht, për shembull, & dhe Ú. Përkatësia e çdo funksioni në klasa T 0 , T 1 mund të kontrollohet nga vlera e parë dhe e fundit e vektorit të tij të vlerave në tabelën e së vërtetës ose duke zëvendësuar drejtpërdrejt zero dhe njësh në formulë kur specifikoni funksionin në mënyrë analitike.

Përkufizimi.Dublikatëështë një zëvendësim në të cilin e njëjta ndryshore zëvendësohet në një funksion në vend të disa ndryshoreve të pavarura. Në këtë rast, vlerat e variablave në grupe që më parë merrnin vlera në mënyrë të pavarur nga njëra-tjetra do të jenë gjithmonë të njëjta.

DETYRAT

1.Kontrollo anëtarësimin në klasë T 0 Dhe T 1 funksione:

a) mbledhje e përgjithësuar, b) shumëzim i përgjithësuar, c) konstante, d) xyÚ yz, d) X® në® xy, e) XÅ në, dhe)( X 1 Å … Å X n) ® ( y 1 Å … Å y m) në n,mÎ N.

2. Vërtetoni mbylljen e secilës klasë T 0 Dhe T 1 .

3. Vërtetoni se nëse f(`x n) Ï T 0, pastaj prej tij, duke dubluar zëvendësimin, mund të merrni konstanten 1 ose mohimin.

4. Vërtetoni se nëse f(`x n) Ï T 1 , pastaj prej tij, duke dubluar zëvendësimin, mund të merrni konstanten 0 ose mohimin.

5. Vërtetoni paraplotësimin e secilës prej klasave T 0 Dhe T 1 (për shembull, duke reduktuar sistemin e shtuar në ( f} = {& ,Ú ,Ø }).

6. Gjeni fuqinë e klasave T 0 n Dhe T 1 n.

Le të njihemi me konceptin e mbivendosjes (ose imponimit) të funksioneve, i cili konsiston në zëvendësimin e një funksioni nga një argument tjetër në vend të argumentit të një funksioni të caktuar. Për shembull, një mbivendosje e funksioneve jep një funksion dhe funksionet fitohen në mënyrë të ngjashme

NË pamje e përgjithshme, supozojmë se funksioni është përcaktuar në një domen të caktuar dhe funksioni është përcaktuar në domen dhe vlerat e tij përmbahen të gjitha në domen, atëherë ndryshorja z, siç thonë ata, përmes y, është vetë një funksion i

Duke pasur një vlerë të dhënë, ata së pari gjejnë vlerën y që i korrespondon asaj (sipas rregullit të karakterizuar nga një shenjë), dhe më pas vendosin vlerën përkatëse y (sipas rregullit

e karakterizuar nga një shenjë, vlera e saj konsiderohet se korrespondon me x-in e zgjedhur. Funksioni që rezulton nga një funksion ose një funksion kompleks është rezultat i një mbivendosjeje të funksioneve

Supozimi se vlerat e funksionit nuk shkojnë përtej kufijve të rajonit Y në të cilin është përcaktuar funksioni është shumë domethënës: nëse ai hiqet, atëherë mund të rezultojë absurditet. Për shembull, duke supozuar se mund të konsiderojmë vetëm ato vlera të x për të cilat përndryshe shprehja nuk do të kishte kuptim.

Ne e konsiderojmë të dobishme të theksojmë këtu se karakterizimi i një funksioni si kompleks nuk lidhet me natyrën e varësisë funksionale të z nga x, por vetëm me mënyrën se si specifikohet kjo varësi. Për shembull, le për y në për Pastaj

Këtu funksioni doli të specifikohej si një funksion kompleks.

Tani që koncepti i mbivendosjes së funksioneve është kuptuar plotësisht, ne mund të karakterizojmë me saktësi më të thjeshtat nga ato klasa funksionesh që studiohen në analizë: këto janë, para së gjithash, funksionet elementare të renditura më sipër dhe më pas të gjitha ato që përftohen prej tyre. duke përdorur katër operacione aritmetike dhe mbivendosje, aplikuar në mënyrë të njëpasnjëshme një numër të kufizuar herë. Thuhet se ato shprehen përmes elementit në formën e tyre përfundimtare; ndonjëherë quhen edhe elementare.

Më pas, pasi kemi zotëruar një aparat analitik më kompleks (seritë e pafundme, integrale), do të njihemi me funksione të tjera që luajnë gjithashtu një rol të rëndësishëm në analizë, por tashmë shkojnë përtej klasës së funksioneve elementare.

Le të ketë 2 funksione:

: A→B dhe g: D→F

Le të përfshihet fusha e përkufizimit D të funksionit g në domenin e vlerave të funksionit f (DB). Pastaj mund të përcaktoni një funksion të ri - mbivendosje (përbërje, funksion kompleks) funksionet f dhe g: z= g( (x)).

Shembuj. f(x)=x 2, g(x)=e x. f:R→R, g:R→R .

(g(x))=e 2x , g((x))=.

Përkufizimi

Le të ketë dy funksione. Atëherë përbërja e tyre është funksioni i përcaktuar nga barazia:

Vetitë e përbërjes

Përbërja është shoqëruese:

Nëse F= id X- hartë identike me X, kjo eshte

.

Nëse G= id Y- hartë identike me Y, kjo eshte

.

Vetitë shtesë

Komplete të numërueshme dhe të panumërueshme.

Dy grupe të fundme përbëhen nga një numër i barabartë elementesh nëse mund të krijohet një korrespondencë një me një midis këtyre grupeve. Numri i elementeve të një grupi të fundëm është kardinaliteti i grupit.

Për një grup të pafund, mund të vendoset një korrespondencë një-për-një midis të gjithë grupit dhe pjesës së tij.

Më e thjeshta nga bashkësitë e pafundme është bashkësia N.

Përkufizimi. Bashkësitë A dhe B quhen ekuivalente(AB), nëse ndërmjet tyre mund të krijohet një korrespondencë një me një.

Nëse dy grupe të fundme janë ekuivalente, atëherë ato përbëhen nga i njëjti numër elementesh.

Nëse grupet A dhe B që janë ekuivalente me njëra-tjetrën janë arbitrare, atëherë ata thonë se A dhe B kanë të njëjtën pushtet. (fuqi = ekuivalencë).

Për grupet e fundme, koncepti i kardinalitetit përkon me konceptin e numrit të elementeve të grupit.

Përkufizimi. Kompleti quhet të numërueshme, nëse është e mundur të vendoset një korrespodencë një-për-një ndërmjet tij dhe grupit të numrave natyrorë. (D.m.th., një bashkësi e numërueshme është e pafundme, ekuivalente me bashkësinë N).

(D.m.th., të gjithë elementët e një grupi të numërueshëm mund të numërohen).

Vetitë e marrëdhënieve të barabarta të fuqisë.

1) AA - refleksiviteti.

2) AB, pastaj BA – simetri.

3) AB dhe BC, atëherë AC është kalimtar.

Shembuj.

1) n→2n, 2,4,6,… - edhe natyrale

2) n→2n-1, 1,3,5,… - të çuditshme natyrore.

Vetitë e bashkësive të numërueshme.

1. Nënbashkësi të pafundme të një bashkësie të numërueshme janë të numërueshme.

Dëshmi. Sepse A është e numërueshme, pastaj A: x 1, x 2,... - hartuar nga A në N.

ВА, В: →1,→2,… - i caktoi secilit element të B një numri natyror, d.m.th. hartuar B në N. Prandaj B është i numërueshëm. etj.

2. Bashkimi i një sistemi të fundëm (të numërueshëm) të bashkësive të numërueshme është i numërueshëm.

Shembuj.

1. Bashkësia e numrave të plotë Z është e numërueshme, sepse grupi Z mund të përfaqësohet si një bashkim i bashkësive të numërueshme A dhe B, ku A: 0,1,2,.. dhe B: -1,-2,-3,...

2. Shumë porositurçifte ((m,n): m,nZ) (d.m.th. (1,3)≠(3,1)).

3 (!) . Bashkësia e numrave racionalë është e numërueshme.

Q=. Mund të vendoset një korrespondencë një-për-një midis grupit të thyesave të pakalueshme Q dhe grupit të çifteve të renditura:

Se. bashkësia Q është ekuivalente me bashkësinë ((p,q))((m,n)).

Bashkësia ((m,n)) - bashkësia e të gjitha çifteve të renditura - është e numërueshme. Rrjedhimisht, bashkësia ((p,q)) është e numërueshme, dhe për rrjedhojë Q është e numërueshme.

Përkufizimi. Një numër irracional është një dhjetor arbitrar i pafund jo periodike fraksion, d.m.th.  0 , 1  2…

Bashkësia e të gjitha thyesave dhjetore formojnë bashkësinë numra realë (realë).

Bashkësia e numrave irracionalë është e panumërueshme.

Teorema 1. Një tufë me numra realë nga intervali (0,1) është një grup i panumërueshëm.

Dëshmi. Le të supozojmë të kundërtën, d.m.th. se të gjithë numrat në intervalin (0,1) mund të numërohen. Pastaj, duke i shkruar këta numra në formën e thyesave dhjetore të pafundme, marrim sekuencën:

x 1 = 0, a 11 a 12 ...a 1n ...

x 2 =0,a 21 a 22 …a 2n…

…………………..

x n =0,a n 1 a n 2 …a nn…

……………………

Le të shqyrtojmë tani numrin real x=0,b 1 b 2 …b n…, ku b 1 është çdo numër i ndryshëm nga një 11, (0 dhe 9), b 2 është çdo numër i ndryshëm nga një 22, (0 dhe 9 ) ,…, b n - çdo numër i ndryshëm nga një nn, (0 dhe 9).

Se. x(0,1), por xx i (i=1,…,n) sepse përndryshe, b i =a ii . Kemi arritur në një kontradiktë. etj.

Teorema 2.Çdo interval i boshtit real është një grup i panumërueshëm.

Teorema 3. Bashkësia e numrave realë është e panumërueshme.

Rreth çdo bashkësie ekuivalente me bashkësinë e numrave realë thuhet se është fuqia e vazhdueshme(latin kontinuum - i vazhdueshëm, i vazhdueshëm).

Shembull. Le të tregojmë se intervali ka fuqinë e një vazhdimësie.

Funksioni y=tg x: →R shfaq intervalin në të gjithë vijën numerike (grafikun).