Tudo posicional sistemas numéricos são iguais, mas dependendo dos problemas que uma pessoa resolve usando números, ela pode usar sistemas numéricos com bases diferentes.

O sistema numérico mais comumente usado é o sistema numérico decimal, ou seja, um sistema numérico cujo alfabeto consiste em dez dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) e, portanto, a base é igual a dez. O uso generalizado deste sistema numérico é facilmente explicado.

Em primeiro lugar, escrever um número no sistema numérico decimal é bastante compacto e, em segundo lugar, o sistema numérico decimal tem sido usado pela humanidade há vários séculos. Durante esse tempo, as pessoas se acostumaram com os números, com a escrita dos números e com a pronúncia dos números no sistema numérico decimal, por exemplo, a entrada “15” é compreensível para qualquer pessoa e ela a lerá como quinze, mas o mesmo número escrito no sistema numérico binário “1111” causa pelo menos uma ligeira perplexidade sobre como ler esse número. E, no entanto, é inequívoco afirmar que o sistema numérico decimal é escolha ideal

a humanidade não pode trabalhar com números. Vamos provar isso com vários exemplos.

Todos vocês se lembram da tabuada e, claro, de quanto esforço tiveram que fazer para aprender essa tabuada. Não daremos aqui a tabuada no sistema de numeração decimal, mas para comparação daremos a tabuada no sistema de numeração binário:

Como você pode ver, a tabuada no sistema numérico binário parece muito mais simples do que no sistema numérico decimal.

A compacidade de escrever números no sistema numérico decimal também não é a maior em todos os sistemas numéricos com base maior que dez, os números serão escritos de forma mais compacta, por exemplo, o mesmo número “15” será escrito como “F” no sistema de numeração hexadecimal.

Conforme já mencionado no parágrafo 5, o sistema numérico binário é adotado para registrar números em um computador. Neste parágrafo devemos entender como os números são representados na memória do computador, para isso bastará entender as regras de conversão de números decimais para o sistema numérico binário;

1. Um número escrito em um sistema numérico com base dez é dividido com resto por dois (base novo sistema número), escrito em dígitos do sistema numérico de base dez (antigo sistema numérico), até que o quociente termine com 0.

2. Os restos obtidos da divisão, escritos em ordem inversa, formam um número no novo sistema numérico de base dois.

Esta regra é mais conveniente para converter números do sistema numérico decimal. Para converter de volta para o sistema numérico decimal, é mais conveniente usar o chamado Esquema de Horner.

1. Numerar as posições do número, da direita para a esquerda, começando do zero;

2. Componha uma série representando a soma dos produtos dos dígitos de um número pela base do antigo sistema numérico, escrita nos dígitos do novo sistema numérico, elevados a uma potência igual ao número da posição do dígito no número;

3. Encontre a soma da série.

Vejamos essas regras usando exemplos específicos.

Exemplo 1: Escreva o número decimal 121 no sistema numérico binário.

121 | 2 121 D = 1111001 B

120 60 | 2

1 60 30 | 2

0 30 15 | 2

0 14 7 | 2

1 6 3 | 2

A calculadora permite converter números inteiros e fracionários de um sistema numérico para outro. A base do sistema numérico não pode ser inferior a 2 e superior a 36 (afinal, 10 dígitos e 26 letras latinas). O comprimento dos números não deve exceder 30 caracteres. Para inserir números fracionários, use o símbolo. ou, . Para converter um número de um sistema para outro, insira o número original no primeiro campo, raiz sistema original número no segundo e na base do sistema numérico no qual você deseja converter o número no terceiro campo e clique no botão "Obter registro".

Número original escrito em 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ésimo sistema numérico.

Eu quero ter um número escrito em 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ésimo sistema numérico.

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Sistemas numéricos

Os sistemas numéricos são divididos em dois tipos: posicional E não posicional. Usamos o sistema árabe, é posicional, mas também existe o sistema romano - não é posicional. EM sistemas posicionais A posição de um dígito em um número determina exclusivamente o valor desse número. Isso é fácil de entender observando alguns números como exemplo.

Exemplo 1. Tomemos o número 5921 no sistema numérico decimal. Vamos numerar o número da direita para a esquerda começando do zero:

O número 5921 pode ser escrito da seguinte forma: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . O número 10 é uma característica que define o sistema numérico. Os valores da posição de um determinado número são considerados potências.

Exemplo 2. Considere o número decimal real 1234,567. Vamos numerá-lo começando da posição zero do número da vírgula para a esquerda e para a direita:

O número 1234,567 pode ser escrito da seguinte forma: 1234,567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .

Convertendo números de um sistema numérico para outro

Maioria de uma forma simples converter um número de um sistema numérico para outro é primeiro converter o número em um sistema numérico decimal e, em seguida, o resultado resultante no sistema numérico necessário.

Convertendo números de qualquer sistema numérico para o sistema numérico decimal

Para converter um número de qualquer sistema numérico para decimal, basta numerar seus dígitos, começando com zero (o dígito à esquerda da vírgula) de forma semelhante aos exemplos 1 ou 2. Vamos encontrar a soma dos produtos dos dígitos do número pela base do sistema numérico elevado à potência da posição deste dígito:

1. Converta o número 1001101.1101 2 para o sistema numérico decimal.
Solução: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Responder: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Converta o número E8F.2D 16 para o sistema numérico decimal.
Solução: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Responder: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10

Convertendo números do sistema numérico decimal para outro sistema numérico

Para converter números do sistema numérico decimal para outro sistema numérico, as partes inteiras e fracionárias do número devem ser convertidas separadamente.

Convertendo uma parte inteira de um número de um sistema numérico decimal para outro sistema numérico

Uma parte inteira é convertida de um sistema numérico decimal para outro sistema numérico dividindo sequencialmente a parte inteira de um número pela base do sistema numérico até obter um resto inteiro menor que a base do sistema numérico. O resultado da tradução será um registro do restante, começando pelo último.

3. Converta o número 273 10 para o sistema numérico octal.
Solução: 273/8 = 34 e resto 1. 34/8 = 4 e resto 2. 4 é menor que 8, então o cálculo está completo. O registro dos saldos ficará assim: 421
Exame: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, o resultado é o mesmo. Isso significa que a tradução foi feita corretamente.
Responder: 273 10 = 421 8

Considere a tradução de frações decimais adequadas em vários sistemas Acerto de contas.

Convertendo a parte fracionária de um número do sistema numérico decimal para outro sistema numérico

Lembre-se de que uma fração decimal própria é chamada número real com parte inteira zero. Para converter esse número em um sistema numérico com base N, você precisa multiplicar sequencialmente o número por N até que a parte fracionária chegue a zero ou o número necessário de dígitos seja obtido. Se durante a multiplicação for obtido um número com parte inteira diferente de zero, a parte inteira não será mais levada em consideração, pois é inserida sequencialmente no resultado.

4. Converta o número 0,125 10 para o sistema numérico binário.
Solução: 0,125·2 = 0,25 (0 é a parte inteira, que se tornará o primeiro dígito do resultado), 0,25·2 = 0,5 (0 é o segundo dígito do resultado), 0,5·2 = 1,0 (1 é o terceiro dígito do resultado, e como a parte fracionária é zero, a tradução está concluída).
Responder: 0.125 10 = 0.001 2

Objetivo do trabalho. Estudar métodos e desenvolver habilidades para converter números de um sistema numérico posicional para outro.

O número de dígitos diferentes usados ​​em um sistema posicional determina o nome do sistema numérico e é chamado base o sistema numérico.

Qualquer número N em um sistema numérico posicional com base pode ser representado como um polinômio da base :

Onde
- número, - dígitos do número (coeficientes em potências ),- base do sistema numérico ( >1).

Os números são escritos como uma sequência de números:

.
, um ponto na sequência separa a parte inteira do número da parte fracionária (coeficientes para potências não negativas, de coeficientes para potências negativas). O ponto é omitido se o número for um número inteiro (sem potências negativas).

Os sistemas de computador usam sistemas numéricos posicionais com base não decimal: binário, octal, hexadecimal.

O hardware do computador é baseado em elementos de duas posições que só podem estar em dois estados; um dos quais é designado 0 e o outro - 1. Portanto, o computador principal lógico-aritmético é o sistema numérico binário.

Sistema numérico binário. São usados ​​dois dígitos: 0 e 1. No sistema binário, qualquer número pode ser representado como:
.
, Onde 0 ou 1.

Esta entrada corresponde à soma das potências de 2 obtidas com os coeficientes indicados:

Sistema numérico octal. São utilizados oito dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Utilizados em computador como auxiliares para registro de informações de forma abreviada. Para representar um único dígito sistema octal três dígitos binários (tríade) são usados ​​(ver Tabela 1).

Sistema de numeração hexadecimal. 16 dígitos são usados ​​para representar números. Os primeiros dez dígitos deste sistema são designados por números de 0 a 9, e os seis dígitos superiores por letras latinas: A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15). O sistema hexadecimal, assim como o sistema octal, é usado para registrar informações de forma abreviada. Para representar um dígito do sistema numérico hexadecimal, são usados ​​quatro dígitos binários (tétrade) (ver Tabela 1).

Tabela 1.

Alfabetos de sistemas numéricos posicionais (ss)

SS binário (Base 2)	octal ss (Base 8)		SS decimais (Base 10)	SS hexadecimal (Base 16)
		Binário			Tétrades binárias

Tarefa 1. Converta números dos sistemas numéricos fornecidos para o sistema decimal.

Instruções metódicas.

A conversão dos números para o sistema decimal é realizada através da compilação da soma de uma série de potências com a base do sistema a partir do qual o número está sendo convertido. O valor desse valor é então calculado.

Exemplos.

a) Traduzir s.s. 

.

b) Traduzir
s.s.

c) Traduzir
s.s.

Tarefa 2. Converta números inteiros de decimal para octal, hexadecimal e binário.

Instruções metódicas.

A conversão de números decimais inteiros em sistemas octais, hexadecimais e binários é realizada dividindo sequencialmente o número decimal pela base do sistema em que é convertido até obter o quociente igual a zero. O número no novo sistema é escrito como restos de divisão, começando pelo último.

Exemplos.

a) Traduzir
s.s.

181: 8 = 22 (restante 5)

22: 8 = 2 (restante 6)

2: 8 = 0 (restante 2)

Responder:
.

b) Traduzir
s.s.

A tabela mostra a divisão:

622: 16 = 38 (restante 14 10 = E 16)

38: 16 = 2 (restante 6)

2: 16 = 0 (restante 2)

Responder:
.

Tarefa 3. Converta decimais regulares de decimal para octal, hexadecimal e binário.

Usando esta calculadora online você pode converter números inteiros e fracionários de um sistema numérico para outro. Uma solução detalhada com explicações é fornecida. Para traduzir, insira o número original, especifique a base do sistema numérico do número original, especifique a base do sistema numérico para o qual deseja converter o número e clique no botão "Traduzir". Veja a parte teórica e exemplos numéricos abaixo.

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Convertendo inteiros e frações de um sistema numérico para qualquer outro - teoria, exemplos e soluções

Existem sistemas numéricos posicionais e não posicionais. O sistema de numeração árabe, que usamos na vida cotidiana, é posicional, mas o sistema de numeração romano não. Nos sistemas numéricos posicionais, a posição de um número determina exclusivamente a magnitude do número. Vamos considerar isso usando o exemplo do número 6372 no sistema numérico decimal. Vamos numerar esse número da direita para a esquerda começando do zero:

Então o número 6372 pode ser representado da seguinte forma:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

O número 10 determina o sistema numérico (neste caso é 10). Os valores da posição de um determinado número são considerados potências.

Considere o número decimal real 1287,923. Vamos numerá-lo começando da posição zero do número da vírgula para a esquerda e para a direita:

Então o número 1287.923 pode ser representado como:

1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.

Em geral, a fórmula pode ser representada da seguinte forma:

C n é n+Cn-1 · é n-1 +...+C 1 · é 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

onde C n é um número inteiro na posição n, D-k- número fracionário na posição (-k), é- sistema numérico.

Algumas palavras sobre sistemas numéricos Um número no sistema numérico decimal consiste em muitos dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), no sistema numérico octal consiste em muitos dígitos. (0,1, 2,3,4,5,6,7), no sistema numérico binário - de um conjunto de dígitos (0,1), no sistema numérico hexadecimal - de um conjunto de dígitos (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), onde A,B,C,D,E,F correspondem aos números 10,11, 12,13,14,15. Na tabela Tab.1 os números são apresentados em. sistemas diferentes Acerto de contas.

Tabela 1
Notação
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	UM
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Convertendo números de um sistema numérico para outro

Para converter números de um sistema numérico para outro, a maneira mais fácil é primeiro converter o número para o sistema numérico decimal e, em seguida, converter do sistema numérico decimal para o sistema numérico necessário.

Convertendo números de qualquer sistema numérico para o sistema numérico decimal

Usando a fórmula (1), você pode converter números de qualquer sistema numérico para o sistema numérico decimal.

Exemplo 1. Converta o número 1011101.001 do sistema numérico binário (SS) para SS decimal. Solução:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125

Exemplo2. Converta o número 1011101.001 do sistema numérico octal (SS) para SS decimal. Solução:

Exemplo 3 . Converta o número AB572.CDF do sistema numérico hexadecimal para SS decimal. Solução:

Aqui UM-substituído por 10, B- às 11, C- às 12, F- às 15.

Convertendo números do sistema numérico decimal para outro sistema numérico

Para converter números do sistema numérico decimal para outro sistema numérico, você precisa converter a parte inteira do número e a parte fracionária do número separadamente.

A parte inteira de um número é convertida de SS decimal para outro sistema numérico dividindo sequencialmente a parte inteira do número pela base do sistema numérico (para SS binário - por 2, para SS 8-ário - por 8, para 16 -ary SS - por 16, etc. ) até obter um resíduo inteiro, menor que o CC base.

Exemplo 4 . Vamos converter o número 159 de SS decimal em SS binário:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

Como pode ser visto na Fig. 1, o número 159 quando dividido por 2 dá o quociente 79 e o resto 1. Além disso, o número 79 quando dividido por 2 dá o quociente 39 e o resto 1, etc. Como resultado, construindo um número a partir dos restos da divisão (da direita para a esquerda), obtemos um número em SS binário: 10011111 . Portanto podemos escrever:

159 10 =10011111 2 .

Exemplo 5 . Vamos converter o número 615 de SS decimal em SS octal.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

Ao converter um número de SS decimal em SS octal, você precisa dividir sequencialmente o número por 8 até obter um resto inteiro menor que 8. Como resultado, construindo um número a partir dos restos da divisão (da direita para a esquerda), obtemos um número em SS octal: 1147 (ver Fig. 2). Portanto podemos escrever:

615 10 =1147 8 .

Exemplo 6 . Vamos converter o número 19673 do sistema numérico decimal para SS hexadecimal.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

Como pode ser visto na Figura 3, ao dividir sucessivamente o número 19673 por 16, os restos são 4, 12, 13, 9. No sistema numérico hexadecimal, o número 12 corresponde a C, o número 13 a D. Portanto, nosso o número hexadecimal é 4CD9.

Para converter frações decimais regulares (um número real com parte inteira zero) em um sistema numérico com base s, é necessário multiplicar sucessivamente esse número por s até que a parte fracionária contenha um zero puro, ou obtenhamos o número necessário de dígitos . Se durante a multiplicação for obtido um número com parte inteira diferente de zero, essa parte inteira não é levada em consideração (elas são incluídas sequencialmente no resultado).

Vejamos o acima com exemplos.

Exemplo 7 . Vamos converter o número 0,214 do sistema numérico decimal para SS binário.

		0.214
	x	2
0		0.428
	x	2
0		0.856
	x	2
1		0.712
	x	2
1		0.424
	x	2
0		0.848
	x	2
1		0.696
	x	2
1		0.392

4, o número 0,214 é multiplicado sequencialmente por 2. Se o resultado da multiplicação for um número com uma parte inteira diferente de zero, então a parte inteira é escrita separadamente (à esquerda do número), e o número é escrito com uma parte inteira zero. Se a multiplicação resultar em um número com parte inteira zero, um zero será escrito à esquerda dele. O processo de multiplicação continua até que a parte fracionária atinja um zero puro ou obtenhamos o número necessário de dígitos. Escrevendo números em negrito (Fig. 4) de cima para baixo, obtemos o número necessário no sistema numérico binário: 0. 0011011 .

Portanto podemos escrever:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Exemplo 8 . Vamos converter o número 0,125 do sistema numérico decimal para SS binário.

		0.125
	x	2
0		0.25
	x	2
0		0.5
	x	2
1		0.0

Para converter o número 0,125 de SS decimal para binário, esse número é multiplicado sequencialmente por 2. Na terceira etapa, o resultado é 0. Consequentemente, obtém-se o seguinte resultado:

0.125 10 =0.001 2 .

Exemplo 9 . Vamos converter o número 0,214 do sistema numérico decimal para SS hexadecimal.

		0.214
	x	16
3		0.424
	x	16
6		0.784
	x	16
12		0.544
	x	16
8		0.704
	x	16
11		0.264
	x	16
4		0.224

Seguindo os exemplos 4 e 5, obtemos os números 3, 6, 12, 8, 11, 4. Mas em SS hexadecimal, os números 12 e 11 correspondem aos números C e B. Portanto, temos:

0,214 10 =0,36C8B4 16 .

Exemplo 10 . Vamos converter o número 0,512 do sistema numérico decimal para SS octal.

		0.512
	x	8
4		0.096
	x	8
0		0.768
	x	8
6		0.144
	x	8
1		0.152
	x	8
1		0.216
	x	8
1		0.728

Recebido:

0.512 10 =0.406111 8 .

Exemplo 11 . Vamos converter o número 159.125 do sistema numérico decimal para SS binário. Para fazer isso, traduzimos separadamente a parte inteira do número (Exemplo 4) e a parte fracionária do número (Exemplo 8). Combinando ainda mais esses resultados, obtemos:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Exemplo 12 . Vamos converter o número 19673.214 do sistema numérico decimal para SS hexadecimal. Para fazer isso, traduzimos separadamente a parte inteira do número (Exemplo 6) e a parte fracionária do número (Exemplo 9). Além disso, combinando esses resultados, obtemos.