Tēma: “Funkcija: jēdziens, piešķiršanas metodes, galvenie raksturlielumi. Apgrieztā funkcija. Funkciju superpozīcija."

Nodarbības epigrāfs:

"Studējiet kaut ko un nedomājiet par to

iemācījies - absolūti bezjēdzīgi.

Domāt par kaut ko, to nepētot

sākotnējais domu priekšmets -

Konfūcijs.

Stundas mērķis un psiholoģiskie un pedagoģiskie mērķi:

1) Vispārizglītojošais (normatīvais) mērķis: kopā ar studentiem pārskatiet funkcijas definīciju un īpašības. Ieviest funkciju superpozīcijas jēdzienu.

2) Skolēnu matemātiskās attīstības problēmas: izmantojot nestandarta izglītojošus un matemātiskos materiālus, lai turpinātu attīstīt skolēnu garīgo pieredzi, jēgpilnu matemātiskā intelekta kognitīvo struktūru, tai skaitā loģiski-deduktīvas un induktīvās, analītiskās un sintētiskās atgriezeniskās domāšanas, algebriskās un tēlaini grafiskās domāšanas spējas. , jēgpilna vispārināšana un konkretizācija, uz refleksiju un neatkarību kā skolēnu metakognitīvo spēju; turpināt rakstiskās un mutvārdu runas kultūras kā izglītības un matemātiskās inteliģences psiholoģisko mehānismu attīstību.

3) Izglītības uzdevumi: turpināt personīgo izglītību skolēnos izziņas intereses matemātikā, atbildību, pienākuma apziņu, akadēmisko patstāvību, komunikatīvās spējas sadarboties ar grupu, skolotāju, klasesbiedriem; autogoģiskās spējas konkurētspējīgai izglītojošai un matemātiskai darbībai, tiekšanās pēc augstiem un augstākiem rezultātiem (acmeic motīvs).

Nodarbības veids: jauna materiāla apguve; pēc matemātiskā satura vadīšanas kritērija - praktiskā nodarbība; atbilstoši skolēnu un skolotāja informācijas mijiedarbības veida kritērijam - sadarbības stunda.

Nodarbības aprīkojums:

1. Mācību literatūra:

1) Matemātiskās analīzes Kudrjavcevs: mācību grāmata. augstskolu un augstskolu studentiem. 3 sējumos T. 3. – 2. izd., pārstrādāts. un papildu – M.: Augstāk. skola, 1989. – 352 lpp. : slim.

2) Demidoviča uzdevumi un vingrinājumi matemātiskajā analīzē. – 9. izd. – M.: Izdevniecība “Nauka”, 1977.g.

2. Ilustrācijas.

Nodarbības progress.

1. Nodarbības tēmas un galvenā izglītības mērķa izziņošana; veicinot studentu pienākuma sajūtu, atbildību un kognitīvo interesi, gatavojoties sesijai.

2.Materiāla atkārtošana uz jautājumiem.

a) Definējiet funkciju.

Viens no matemātiskajiem pamatjēdzieniem ir funkcijas jēdziens. Funkcijas jēdziens ir saistīts ar attiecību nodibināšanu starp divu kopu elementiem.

Lai divas netukšas kopas un dotas. Tiek izsaukta atbilstība f, kas saskaņo katru elementu ar vienu un tikai vienu elementu funkciju un raksta y = f(x). Viņi arī saka, ka funkcija f displeji daudzi pēc daudziem.

https://pandia.ru/text/79/018/images/image003_18.gif" width="63" height="27">.gif" width="59" height="26"> tiek saukts nozīmju kopums funkcija f un tiek apzīmēta ar E(f).

b) Skaitliskās funkcijas. Funkciju grafiks. Funkciju noteikšanas metodes.

Lai funkcija ir dota.

Ja kopu un elementi ir reāli skaitļi, tad tiek izsaukta funkcija f skaitliskā funkcija . Mainīgais x tiek izsaukts arguments vai neatkarīgs mainīgais, un y – funkciju vai atkarīgais mainīgais(no x). Runājot par pašiem lielumiem x un y, tie ir iekšā funkcionālā atkarība.

Funkciju grafiks y = f(x) ir visu Oxy plaknes punktu kopa, katram no kuriem x ir argumenta vērtība, bet y ir atbilstošā funkcijas vērtība.

Lai norādītu funkciju y = f(x), nepieciešams norādīt noteikumu, kas ļauj, zinot x, atrast atbilstošo y vērtību.

Visizplatītākie trīs funkcijas norādīšanas veidi ir: analītisks, tabulas un grafisks.

Analītiskā metode: funkcija ir norādīta kā viena vai vairākas formulas vai vienādojumi.

Piemēram:

Ja funkcijas y = f(x) definīcijas apgabals nav norādīts, tad tiek pieņemts, ka tas sakrīt ar visu argumenta vērtību kopu, kurai ir jēga atbilstošajai formulai.

Funkcijas noteikšanas analītiskā metode ir vismodernākā, jo tai ir pievienotas matemātiskās analīzes metodes, kas ļauj pilnībā izpētīt funkciju y = f(x).

Grafiskā metode: iestata funkcijas grafiku.

Grafiskā uzdevuma priekšrocība ir tā skaidrība, trūkums ir tā neprecizitāte.

Tabulas metode: Funkciju norāda argumentu vērtību un atbilstošo funkciju vērtību sērijas tabula. Piemēram, labi zināmas trigonometrisko funkciju vērtību tabulas, logaritmiskās tabulas.

c) Funkcijas galvenie raksturlielumi.

1. Tiek izsaukta funkcija y = f(x), kas definēta kopā D pat , ja ir izpildīti nosacījumi un f(-x) = f(x); nepāra , ja ir izpildīti nosacījumi un f(-x) = -f(x).

Pāra funkcijas grafiks ir simetrisks pret Oy asi, un nepāra funkcija ir simetrisks pret izcelsmi. Piemēram, – pat funkcijas; un y = sinx, https://pandia.ru/text/79/018/images/image014_3.gif" width="73" height="29"> – vispārīgas formas funkcijas, t.i., ne pāra, ne nepāra .

2. Lai funkcija y = f(x) ir definēta uz kopas D un pieņemsim . Ja jebkurai argumentu vērtībai seko šāda nevienlīdzība: , tad funkcija tiek izsaukta pieaug filmēšanas laukumā; Ja , tad funkcija tiek izsaukta nesamazinās vietnē https://pandia.ru/text/79/018/images/image021_1.gif" width="117" height="28 src=">, tad funkcija tiek izsaukta. samazinās ieslēgts ; - nepalielinošs .

Palielinošās, nepalielinošās, samazinošās un nesamazināmās funkcijas komplektā https://pandia.ru/text/79/018/images/image023_0.gif" width="13" height="13">D vērtība (x +T)D un vienādība f(x+T) = f(x) ir spēkā.

Lai attēlotu perioda T periodiskas funkcijas grafiku, pietiek ar to attēlot jebkurā T garuma segmentā un periodiski turpināt visā definīcijas jomā.

Atzīmēsim periodiskas funkcijas galvenās īpašības.

1) Periodisku funkciju algebriskā summa ar vienādu periodu T ir periodiska funkcija ar periodu T.

2) Ja funkcijai f(x) ir periods T, tad funkcijai f(ax) ir periods T/a.

d) Apgrieztā funkcija.

Dota funkcija y = f(x) ar definīcijas D domēnu un vērtību kopu E..gif" width="48" height="22">, tad funkcija x = z(y) ar definīcijas domēnu E un vērtību kopu D ir definēta Šāda funkcija z(y) tiek izsaukta otrādi uz funkciju f(x) un ir uzrakstīts šādā formā: . Tiek uzskatīts, ka funkcijas y = f(x) un x = z(y) ir savstarpēji apgrieztas. Lai atrastu funkciju x = z(y), kas ir apgriezta funkcijai y = f(x), pietiek ar x atrisināt vienādojumu f(x) = y.

Piemēri:

1. Funkcijai y = 2x apgrieztā funkcija ir funkcija x = ½ y;

2. Funkcijai apgrieztā funkcija ir funkcija .

No apgrieztās funkcijas definīcijas izriet, ka funkcijai y = f(x) ir inverss tad un tikai tad, ja f(x) norāda vienlīdzīgu atbilstību starp kopām D un E. No tā izriet, ka jebkura stingri monotonai funkcijai ir apgriezta funkcija . Turklāt, ja funkcija palielinās (samazinās), tad arī apgrieztā funkcija palielinās (samazinās).

3. Jauna materiāla apguve.

Sarežģīta funkcija.

Lai funkcija y = f(u) ir definēta uz kopas D un funkcija u = z(x) uz kopas un atbilstošajai vērtībai . Tad kopā tiek definēta funkcija u = f(z(x)), kuru izsauc sarežģīta funkcija no x (vai superpozīcija noteiktas funkcijas, vai funkcija no funkcijas ).

Tiek izsaukts mainīgais u = z(x). starpposma arguments sarežģīta funkcija.

Piemēram, funkcija y = sin2x ir divu funkciju y = sinusa un u = 2x superpozīcija. Sarežģītai funkcijai var būt vairāki starpargumenti.

4. Vairāku piemēru risināšana pie tāfeles.

5. Nodarbības noslēgums.

1) praktiskās nodarbības teorētiskie un lietišķie rezultāti; diferencēts skolēnu garīgās pieredzes līmeņa novērtējums; viņu tēmas apguves līmenis, kompetence, mutiskās un rakstiskās matemātiskās runas kvalitāte; demonstrēts radošuma līmenis; neatkarības un pārdomu līmenis; iniciatīvas līmenis, izziņas interese par individuālajām matemātiskās domāšanas metodēm; sadarbības līmeņi, intelektuālā konkurence, vēlme pēc augsta līmeņa izglītības un matemātiskās aktivitātes utt.;

2) argumentētu vērtējumu, stundu punktu paziņošana.

Veidošanas funkcija

Jūsu uzmanībai piedāvājam funkciju grafiku konstruēšanas pakalpojumu tiešsaistē, uz kuru visas tiesības pieder uzņēmumam Desmos. Izmantojiet kreiso kolonnu, lai ievadītu funkcijas. Varat ievadīt manuāli vai izmantojot virtuālo tastatūru loga apakšā. Lai palielinātu logu ar grafiku, varat paslēpt gan kreiso kolonnu, gan virtuālo tastatūru.

Tiešsaistes diagrammu veidošanas priekšrocības

• Vizuāls ievadīto funkciju displejs
• Ļoti sarežģītu grafiku veidošana
• Netieši norādīto grafiku konstruēšana (piemēram, elipse x^2/9+y^2/16=1)
• Iespēja saglabāt diagrammas un saņemt saiti uz tām, kas kļūst pieejama ikvienam internetā
• Mēroga un līniju krāsas kontrole
• Iespēja attēlot grafikus pa punktiem, izmantojot konstantes
• Vairāku funkciju grafiku zīmēšana vienlaikus
• Uzzīmējiet polāros koordinātos (izmantojiet r un θ(\theta))

Ar mums tiešsaistē ir viegli izveidot dažādas sarežģītības diagrammas. Būvniecība tiek veikta uzreiz. Pakalpojums ir pieprasīts funkciju krustpunktu atrašanai, grafiku attēlošanai to tālākai pārvietošanai Word dokuments kā ilustrācijas problēmu risināšanā, lai analizētu funkciju grafiku uzvedības iezīmes. Optimālā pārlūkprogramma darbam ar diagrammām šajā vietnes lapā ir Google Chrome. Pareiza darbība netiek garantēta, izmantojot citas pārlūkprogrammas.

Viena cikla (bez atmiņas elementiem) diskrētās loģikas ierīces izejā realizē noteiktu loģiskās algebras funkciju kopu `F m =(F 1 ,F 2 ,…,F m), kas katrā laika brīdī ir atkarīgi tikai no ierīces ieeju stāvokļa `x n =(x 1 ,x 2 ,…,x n): `F m = `F m(`x n). Praksē šādas ierīces tiek projektētas un izgatavotas no atsevišķiem nedalāmiem elementiem, kas realizē noteiktu komplektu (sistēmu) ( f) algebras elementārās funkcijas, savienojot dažu elementu izejas ar citu ieejām.

Izstrādājot loģiskās ierīces, ir svarīgi šādi jautājumi.

1. Dota elementāru funkciju sistēma ( f). Kādas ir izvades funkcijas? F i var iegūt, izmantojot funkcijas no ( f}?

2. Izvades Būla funkciju kopa ( F) (jo īpaši, vienāds ar visu loģikas algebras funkciju kopumu R 2). Kādai jābūt sākotnējai elementāro funkciju sistēmai ( f), nodrošinot iespēju izejā iegūt kādu no komplekta funkcijām ( F}?

Lai sniegtu pamatotu atbildi uz šiem jautājumiem, tiek izmantoti funkciju sistēmu superpozīcijas, noslēgtības un pilnības jēdzieni.

Definīcija. Apskatīsim loģisko savienojumu kopu ( F), kas atbilst kādai funkciju sistēmai ( f} . Superpozīcija beigusies{f) ir jebkura funkcija j, ko var realizēt ar formulu virs ( F}.

Praksē superpozīciju var attēlot kā rezultātu aizstāšanas funkcijas no ( f) kā argumentus funkcijai no tās pašas kopas.

1. piemērs. Apsveriet funkciju sistēmu ( f} = {f 1 (X) =`x, f 2 (x,y)= X&y, f 3 (x,y)=XÚ y). Aizstāšana ar funkciju f 3 (x,y) pirmā argumenta vietā X funkciju f 1 (X), otrā vietā - f 2 (x,y), mēs iegūstam superpozīciju h(x,y)=f 3 (f 1 (X),f 2 (x,y))=`xÚ X& plkst. Aizstāšanas fiziskā realizācija parādīta 1.18. attēlā.

Definīcija.Ļaujiet M- noteikta loģiskās algebras funkciju kopa ( P 2). Visu superpozīciju kopums beidzies M sauca īssavienojums komplekti M un tiek apzīmēts ar [ M]. Saņem [ M]pēc oriģinālā komplekta M sauca slēgšanas operācija. Daudzi M sauca funkcionāli slēgta klase, Ja [ M] = M. Apakškopa mÍ M sauca funkcionāli pilnīga sistēma M, Ja [ m] = M.

Slēgšana [ M] apzīmē visu funkciju kopu, no kurām var iegūt M pielietojot superpozīcijas operāciju, t.i. visas iespējamās aizstāšanas.

Piezīmes. 1. Acīmredzot jebkura funkciju sistēma ( f) pats par sevi ir funkcionāli pilnīgs.

2 . Nezaudējot vispārīgumu, mēs varam pieņemt, ka identitātes funkcija f(X)=x, kas nemaina mainīgo patiesības vērtības, sākotnēji ir daļa no jebkuras funkciju sistēmas.

2. piemērs. Tālāk aplūkotajām funkciju sistēmām ( f) rīkojieties šādi:

1) atrast slēgšanu [ f],

2) noskaidrot, vai sistēma ( f) slēgta klase,

3) atrast funkcionāli pilnīgas sistēmas ( f}.

Risinājums.

I. ( f}={0} . Aizstājot funkciju ( fº 0) mēs to uzņemam sevī, t.i. jaunas funkcijas netiek izveidotas. No tā izriet: [ f] = {f). Aplūkotā sistēma ir funkcionāli slēgta klase. Funkcionāli pilnīga sistēma tajā ir viena un vienāda ar visu ( f}.

II. ( f} = {0,Ø } . Aizstāšana Ø (Ø X)piešķir identisku funkciju, kas formāli nepaplašina sākotnējo sistēmu. Tomēr, aizstājot Ø (0), mēs iegūstam identisku vienību - jauna funkcija, kas nebija sākotnējā sistēmā: Ø (0)=1 . Visu citu aizstāšanu izmantošana neizraisa jaunu funkciju parādīšanos, piemēram: ØØ 0 = 0, 0(Ø X)=0.

Tādējādi superpozīcijas operācijas izmantošana ļāva iegūt plašāku funkciju kopumu nekā sākotnējā [ f]=(0,Ø ,1). Tas nozīmē stingru ierakstu: ( f} Ì [ f]. Avotu sistēma {f) nav funkcionāli slēgta klase. Papildus pašai sistēmai ( f)citi funkcionāli pilnīgas sistēmas tā nav, jo tās sašaurināšanās gadījumā no vienas funkcijas f= 0 nevar noliegt ar aizstāšanu, un identisku nulli nevar iegūt tikai no noliegšanas funkcijas.

III. ( f) = (& ,Ú ,Ø ).Šīs sistēmas noslēgums ir viss loģikas algebras funkciju kopums. P 2, jo jebkuras no tām formulu var attēlot kā DNF vai CNF, kas izmanto elementāras funkcijas ( f) = (& ,Ú ,Ø). Šis fakts ir konstruktīvs pierādījums aplūkotās funkciju sistēmas pilnīgumam P 2: [f]=P 2 .

Kopš gada P 2 satur bezgalīgu skaitu citu funkciju, izņemot ( f) = (& ,Ú ,Ø ), tad tas nozīmē stingru notikumu: ( f}Ì[ f]. Aplūkotā sistēma nav funkcionāli slēgta klase.

Papildus pašai sistēmai apakšsistēmas būs funkcionāli pilnīgas ( f) 1 = (& ,Ø ) un ( f) 2 = (Ú ,Ø ). Tas izriet no tā, ka, izmantojot De Morgana noteikumus, loģiskās saskaitīšanas funkciju Ú var izteikt ar (& , Ø) un loģiskās reizināšanas funkciju & caur (Ú, Ø):

(X & plkst) = Ø (` XÚ` plkst), (X Ú plkst) = Ø ( X &`plkst).

Citas funkcionāli pilnīgas apakšsistēmas iekš ( f) Nē.

Funkciju apakšsistēmas pilnīguma pārbaude ( f) 1 М ( f)visā sistēmā ( f)var ražot, apvienojot ( f) 1 uz citu, acīmredzami aizpilda ( f) sistēma.

Apakšsistēmas nepilnīgums ( f) 1 in ( f)var pārbaudīt, pierādot stingru [ f 1 ] М [ f].

Definīcija. Apakškopa mÍ M sauca funkcionālais pamats(pamats)sistēmas M, Ja [ m] = M, un pēc jebkuras funkcijas izslēgšanas no tā atlikušo funkciju kopa nav pilnīga M .

komentēt. Funkciju sistēmas pamati (f) ir visas tās funkcionāli pilnīgas apakšsistēmas (f) 1, ko nevar samazināt, nezaudējot pilnīgumu (f).

3. piemērs. Visām sistēmām, kas aplūkotas 2. piemērā, atrodiet bāzes.

Risinājums. 1. un 2. gadījumā funkcionāli ir pilnīgas tikai pašas sistēmas un tās nav iespējams sašaurināt. Līdz ar to tās ir arī bāzes.

3. gadījumā ir divi funkcionāli pabeigti ( f)apakšsistēmas ( f) 1 = (&,Ø ) un ( f) 2 =(Ú,Ø ), ko nevar samazināt, nezaudējot pilnīgumu. Tie būs sistēmas pamati ( f} = {&,Ú,Ø}.

Definīcija.Ļaujiet sistēmai ( f) ir slēgta klase. Tās apakškopa ( f) 1 М ( f) tiek saukti junioru klasē{f), ja ( f) 1 nav pabeigts ( f} ([f 1 ] М [ f]), un jebkurai funkcijai j no sistēmas ( f), nav iekļauts ( f) 1 (jО( f} \ {f) 1) taisnība: [ jÈ { f} 1 ] = [f], t.i. pievienojot jк ( f) 1 padara to pabeigtu ( f} .

Uzdevumi

1. Pārbaudiet funkciju kopu slēgtību:

a) (Ø); b) (1, Ø ); c) ((0111); (10));d) ((11101110); (0110));d) ((0001); (00000001); (0000000000000001); … ).

2. Pārbaudiet funkciju sistēmu pilnīgumu P 2:

a) (0,Ø); b) ((0101) , (1010) ); V); d) ((0001) , (1010) ).

3. Atrast funkciju sistēmas noslēgumu un tās pamatu:

a) (0, 1, Ø); b) ((1000) , (1010), (0101) ); c) ((0001) , (1110), (10) ); d) ((1010) , (0001), (0111) ).

1.10.2. Funkcijas, kas saglabā konstantes. T 0 un T 1 klases

Definīcija. Funkcija f(`x n) ietaupa 0 ja f(0,..., 0) = 0. Funkcija f(`x n) ietaupa 1 ja f(1, ... , 1) = 1.

Daudz funkciju n tiek apzīmēti mainīgie, kas saglabā 0 un 1, T 0 n Un T 1 n. Visas loģiskās algebras funkciju kopas, kas saglabā 0 un 1 , apzīmēt T 0 Un T 1. Katrs no komplektiem T 0 un T 1 ir slēgta priekšpabeigtā klase R 2 .

No elementārām funkcijām līdz T 0 un T 1 ir vienlaikus iekļauti, piemēram, & un Ú. Jebkuras funkcijas piederība klasēm T 0 , T 1 var pārbaudīt pēc tā vērtību vektora pirmās un pēdējās vērtības patiesības tabulā vai, analītiski norādot funkciju, formulā tieši aizstājot nulles un vieniniekus.

Definīcija.Dublikāts ir aizstāšana, kurā viens un tas pats mainīgais vairāku neatkarīgu mainīgo vietā tiek aizstāts ar funkciju. Šajā gadījumā mainīgo vērtības kopās, kas iepriekš ieguva vērtības neatkarīgi viena no otras, vienmēr būs vienādas.

UZDEVUMI

1. Pārbaudiet dalību klasē T 0 Un T 1 funkcijas:

a) vispārināta saskaitīšana, b) vispārināta reizināšana, c) konstantes, d) xyÚ yz, d) X® plkst® xy, e) XÅ plkst, un)( X 1 Å … Å X n) ® ( y 1 Å … Å y m) plkst n,mÎ N.

2. Pierādi katras klases noslēgtību T 0 Un T 1 .

3. Pierādiet, ja f(`x n) Ï T 0, tad no tā, dublējot aizstāšanu, var iegūt konstanti 1 jeb noliegumu.

4. Pierādiet, ja f(`x n) Ï T 1 , tad no tā, dublējot aizstāšanu, var iegūt konstanti 0 vai noliegumu.

5. Pierādiet katras klases priekšpilnīgumu T 0 Un T 1 (piemēram, samazinot paplašināto sistēmu līdz ( f} = {& ,Ú ,Ø }).

6. Atrodi klašu spēku T 0 n Un T 1 n.

Iepazīsimies ar funkciju superpozīcijas (vai uzlikšanas) jēdzienu, kas sastāv no funkcijas aizstāšanas ar citu argumentu, nevis dotās funkcijas argumentu. Piemēram, funkciju superpozīcija dod funkciju, un funkcijas tiek iegūtas līdzīgi

IN vispārējs skats, pieņemsim, ka funkcija ir definēta noteiktā domēnā un funkcija ir definēta domēnā un visas tās vērtības ir ietvertas domēnā, tad mainīgais z, kā saka, caur y, pats par sevi ir funkcija

Ņemot vērā doto vērtību, viņi vispirms atrod tai atbilstošo vērtību y (saskaņā ar noteikumu, ko raksturo zīme), un pēc tam iestata atbilstošo vērtību y (saskaņā ar noteikumu

ko raksturo zīme, tās vērtība tiek uzskatīta par atbilstošu izvēlētajam x. Funkcijas vai sarežģītas funkcijas rezultātā iegūtā funkcija ir funkciju superpozīcijas rezultāts

Pieņēmums, ka funkcijas vērtības nepārsniedz apgabala Y robežas, kurā funkcija ir definēta, ir ļoti nozīmīgs: ja tas tiek izlaists, var rasties absurds. Piemēram, pieņemot, ka mēs varam ņemt vērā tikai tās x vērtības, kurām pretējā gadījumā izteiksmei nebūtu jēgas.

Mēs uzskatām, ka ir lietderīgi šeit uzsvērt, ka funkcijas kā kompleksa raksturojums nav saistīts ar z funkcionālās atkarības raksturu no x, bet tikai ar veidu, kā šī atkarība ir norādīta. Piemēram, ielaidiet y par Tad

Šeit funkcija izrādījās norādīta kā sarežģīta funkcija.

Tagad, kad funkciju superpozīcijas jēdziens ir pilnībā izprasts, mēs varam precīzi raksturot vienkāršāko no tām funkciju klasēm, kuras tiek pētītas analīzē: tās, pirmkārt, ir iepriekš uzskaitītās elementārās funkcijas un pēc tam visas no tām iegūtās funkcijas. izmantojot četras aritmētiskās darbības un superpozīcijas , secīgi piemērotas ierobežotu skaitu reižu. Saka, ka tie izteikti caur elementāru to galīgajā formā; dažreiz tos sauc arī par elementāriem.

Pēc tam, apgūstot sarežģītāku analītisko aparātu (bezgalīgas rindas, integrāļi), mēs iepazīsimies ar citām funkcijām, kurām arī ir svarīga loma analīzē, bet kas jau pārsniedz elementāro funkciju klasi.

Lai ir 2 funkcijas:

: A→B un g: D→F

Funkcijas g definīcijas D domēns tiks iekļauts funkcijas f vērtību apgabalā (DB). Tad mēs varam definēt jaunu funkciju - superpozīcija (kompozīcija, sarežģīta funkcija) funkcijas f un g: z= g( (x)).

Piemēri. f(x)=x2, g(x)=ex. f:R→R, g:R→R .

(g(x))=e 2x , g((x))=.

Definīcija

Lai ir divas funkcijas. Tad to sastāvs ir funkcija, ko nosaka vienādība:

Sastāva īpašības

Sastāvs ir asociatīvs:

Ja F= id X- identiska kartēšana ar X, tas ir

.

Ja G= id Y- identiska kartēšana ar Y, tas ir

.

Papildu īpašības

Saskaitāmas un nesaskaitāmas kopas.

Divas galīgas kopas sastāv no vienāda elementu skaita, ja starp šīm kopām var noteikt atbilstību viens pret vienu. Galīgas kopas elementu skaits ir kopas kardinalitāte.

Bezgalīgai kopai var izveidot savstarpēju atbilstību starp visu kopu un tās daļu.

Vienkāršākā no bezgalīgajām kopām ir kopa N.

Definīcija. Tiek izsauktas kopas A un B ekvivalents(AB), ja starp tām var izveidot savstarpēju atbilstību.

Ja divas galīgas kopas ir līdzvērtīgas, tad tās sastāv no vienāda elementu skaita.

Ja kopas A un B, kas ir līdzvērtīgas viena otrai, ir patvaļīgas, tad tās saka, ka A un B ir vienādas jauda. (jauda = ekvivalence).

Galīgām kopām kardinalitātes jēdziens sakrīt ar kopas elementu skaita jēdzienu.

Definīcija. Komplektu sauc saskaitāms, ja starp to un naturālo skaitļu kopu ir iespējams noteikt atbilstību viens pret vienu. (Tas ir, saskaitāma kopa ir bezgalīga, līdzvērtīga kopai N).

(Tas ir, visus saskaitāmās kopas elementus var numurēt).

Vienlīdzīgu varas attiecību īpašības.

1) AA - refleksivitāte.

2) AB, tad BA – simetrija.

3) AB un BC, tad AC ir tranzitivitāte.

Piemēri.

1) n→2n, 2,4,6,… - pat naturālie

2) n→2n-1, 1,3,5,… - nepāra naturālie.

Saskaitāmo kopu īpašības.

1. Saskaitāmas kopas bezgalīgas apakškopas ir saskaitāmas.

Pierādījums. Jo A ir saskaitāms, tad A: x 1, x 2,... - kartē A uz N.

ВА, В: →1,→2,… - katram B elementam piešķirts naturāls skaitlis, t.i. kartēts B uz N. Tāpēc B ir saskaitāms. utt.

2. Galīgas (skaitāmas) saskaitāmu kopu sistēmas savienība ir saskaitāma.

Piemēri.

1. Veselo skaitļu kopa Z ir saskaitāma, jo kopu Z var attēlot kā saskaitāmu kopu A un B savienību, kur A: 0,1,2,.. un B: -1,-2,-3,...

2. Daudz pasūtīts pāri ((m,n): m,nZ) (t.i., (1,3)≠(3,1)).

3 (!) . Racionālo skaitļu kopa ir saskaitāma.

Q=. Starp nereducējamo daļskaitļu kopu Q un sakārtoto pāru kopu var noteikt vienlīdzīgu atbilstību:

Tas. kopa Q ir ekvivalenta kopai ((p,q))((m,n)).

Kopa ((m,n)) – visu sakārtoto pāru kopa – ir saskaitāma. Līdz ar to kopa ((p,q)) ir saskaitāma, un tāpēc Q ir saskaitāma.

Definīcija. Iracionāls skaitlis ir patvaļīgs bezgalīgs decimālskaitlis neperiodisks frakcija, t.i.  0 , 1  2 …

Visu decimāldaļu kopa veido kopu reāli (reāli) skaitļi.

Iracionālo skaitļu kopa ir nesaskaitāma.

1. teorēma. Daudzi reāli skaitļi no intervāla (0,1) ir nesaskaitāma kopa.

Pierādījums. Pieņemsim pretējo, t.i. ka visus skaitļus intervālā (0,1) var numurēt. Tad, rakstot šos skaitļus bezgalīgu decimāldaļskaitļu veidā, mēs iegūstam secību:

x 1 = 0,a 11 a 12 ...a 1n ...

x 2 =0,a 21 a 22 …a 2n …

…………………..

x n =0,a n 1 a n 2 …a nn …

……………………

Tagad aplūkosim reālo skaitli x=0,b 1 b 2 …b n…, kur b 1 ir jebkurš skaitlis, kas atšķiras no a 11, (0 un 9), b 2 ir jebkurš skaitlis, kas atšķiras no a 22, (0 un 9 ) ,…, b n - jebkurš skaitlis, kas atšķiras no a nn, (0 un 9).

Tas. x(0,1), bet xx i (i=1,…,n), jo pretējā gadījumā b i =a ii . Mēs esam nonākuši pie pretrunas. utt.

2. teorēma. Jebkurš reālās ass intervāls ir neskaitāma kopa.

3. teorēma. Reālo skaitļu kopa ir nesaskaitāma.

Par jebkuru kopu, kas līdzvērtīga reālo skaitļu kopai, tiek teikts, ka tā ir nepārtrauktības jauda(latīņu kontinuums – nepārtraukts, nepārtraukts).

Piemērs. Parādīsim, ka intervālam ir kontinuuma spēks.

Funkcija y=tg x: →R parāda intervālu visā skaitļu rindā (grafikā).