ელექტრული დიაგრამა, შექმნილია გარკვეული ლოგიკური ოპერაციის შესასრულებლად შეყვანის მონაცემებით, ეწოდება ლოგიკური ელემენტი. შეყვანის მონაცემები აქ წარმოდგენილია სხვადასხვა დონის ძაბვის სახით, ხოლო გამოსავალზე ლოგიკური მოქმედების შედეგი ასევე მიღებულია გარკვეული დონის ძაბვის სახით.

ამ შემთხვევაში, ოპერანდები მიეწოდება - სიგნალები მაღალი ან დაბალი დონის ძაბვის სახით მიიღება ლოგიკური ელემენტის შეყვანისას, რომლებიც არსებითად ემსახურება როგორც შეყვანის მონაცემებს. ამრიგად, მაღალი დონის ძაბვა - ლოგიკა 1 - მიუთითებს ოპერანდის ნამდვილ მნიშვნელობაზე, ხოლო დაბალი დონის ძაბვა 0 - ცრუ მნიშვნელობაზე. 1 - მართალი, 0 - მცდარი.

ლოგიკური ელემენტი- ელემენტი, რომელიც ახორციელებს გარკვეულ ლოგიკურ კავშირებს შემავალ და გამომავალ სიგნალებს შორის. ლოგიკური ელემენტები ჩვეულებრივ გამოიყენება კომპიუტერების ლოგიკური სქემების და დისკრეტული ავტომატური მონიტორინგისა და კონტროლის სქემების შესაქმნელად. ყველა ტიპის ლოგიკური ელემენტი, მიუხედავად მათი ფიზიკური ხასიათისა, ხასიათდება შეყვანისა და გამომავალი სიგნალების დისკრეტული მნიშვნელობებით.

ლოგიკურ ელემენტებს აქვთ ერთი ან მეტი შეყვანა და ერთი ან ორი (ჩვეულებრივ, ერთმანეთის შებრუნებული) გამოსავალი. ლოგიკური ელემენტების გამომავალი სიგნალების "ნულების" და "ერთების" მნიშვნელობები განისაზღვრება ლოგიკური ფუნქციით, რომელსაც ასრულებს ელემენტი და შემავალი სიგნალების "ნულების" და "ერთის" მნიშვნელობები, რომლებიც თამაშობენ. დამოუკიდებელი ცვლადების როლი. არის ძირითადი ლოგიკური ფუნქციები, საიდანაც შეიძლება შედგეს ნებისმიერი რთული ლოგიკური ფუნქცია.

ელემენტის მიკროსქემის დიზაინის მიხედვით, მის ელექტრული პარამეტრები, ლოგიკური დონეები (მაღალი და დაბალი დონეებიძაბვებს) შეყვანა და გამომავალი აქვს იგივე მნიშვნელობები მაღალი და დაბალი (true და false) მდგომარეობებისთვის.

ტრადიციულად, ლოგიკური ელემენტები იწარმოება სპეციალური რადიო კომპონენტების - ინტეგრირებული სქემების სახით. ლოგიკური ოპერაციები, როგორიცაა შეერთება, დისუნქცია, უარყოფა და მოდულის დამატება (AND, OR, NOT, XOR) არის ძირითადი ოპერაციები, რომლებიც შესრულებულია ლოგიკური კარიბჭეების ძირითად ტიპებზე. შემდეგი, მოდით შევხედოთ თითოეულ ამ ტიპის ლოგიკურ ელემენტს უფრო მჭიდროდ.

ლოგიკური ელემენტი "AND" - კავშირი, ლოგიკური გამრავლება, AND

"AND" არის ლოგიკური ელემენტი, რომელიც ასრულებს შეერთების ან ლოგიკური გამრავლების ოპერაციას შეყვანის მონაცემებზე. ეს ნივთიშეიძლება ჰქონდეს 2-დან 8-მდე (წარმოებაში ყველაზე გავრცელებულია „AND“ ელემენტები 2, 3, 4 და 8 შეყვანით) შეყვანა და ერთი გამომავალი.

ლოგიკური ელემენტების სიმბოლოები "AND" ერთად სხვადასხვა რაოდენობითშეყვანები ნაჩვენებია ფიგურაში. ტექსტში ლოგიკური ელემენტი "AND" ამა თუ იმ რაოდენობის შეყვანით არის მითითებული, როგორც "2I", "4I" და ა.შ. - "AND" ელემენტი ორი შეყვანით, ოთხი შეყვანით და ა.შ.

2I ელემენტის სიმართლის ცხრილი გვიჩვენებს, რომ ელემენტის გამომავალი იქნება ლოგიკური მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ლოგიკური პირობა ერთდროულად იქნება პირველ და მეორე შეყვანაზე. დანარჩენ სამ შესაძლო შემთხვევაში გამომავალი იქნება ნული.

დასავლურ დიაგრამებში, "AND" ელემენტის ხატულას აქვს სწორი ხაზი შესასვლელში და მომრგვალებული ხაზი გამოსავალზე. ჩართულია შიდა სქემები- მართკუთხედი სიმბოლოთი "&".

ლოგიკური ელემენტი "OR" - დისიუქცია, ლოგიკური დამატება, OR

"OR" არის ლოგიკური ელემენტი, რომელიც ახორციელებს დისიუქციის ან ლოგიკური დამატების ოპერაციას შეყვანის მონაცემებზე. ის, ისევე როგორც "I" ელემენტი, ხელმისაწვდომია ორი, სამი, ოთხი და ა.შ. შეყვანით და ერთი გამომავალით. ლოგიკური ელემენტების სიმბოლოები "OR" სხვადასხვა რაოდენობის შეყვანით ნაჩვენებია ნახატზე. ეს ელემენტები მითითებულია შემდეგნაირად: 2OR, 3OR, 4OR და ა.შ.

"2OR" ელემენტის სიმართლის ცხრილი გვიჩვენებს, რომ გამოსავალზე ლოგიკური რომ გამოჩნდეს, საკმარისია, რომ ლოგიკური იყოს პირველ შეყვანაზე ან მეორე შეყვანაზე. თუ ლოგიკურია ერთდროულად ორ შეყვანაზე, გამომავალიც იქნება ერთი.

დასავლურ დიაგრამებში „OR“ ელემენტის ხატულას აქვს მომრგვალებული ფორმა შესასვლელში და მომრგვალებული წერტილი გამომავალზე მკვეთრი წერტილით. შიდა დიაგრამებზე არის მართკუთხედი სიმბოლო "1".

ლოგიკური ელემენტი "NOT" - უარყოფა, ინვერტორი, NOT

"NOT" არის ლოგიკური ელემენტი, რომელიც ასრულებს ლოგიკურ უარყოფის ოპერაციას შეყვანის მონაცემებზე. ამ ელემენტს, რომელსაც აქვს ერთი გამომავალი და მხოლოდ ერთი შეყვანა, ასევე უწოდებენ ინვერტორს, რადგან ის რეალურად აბრუნებს (აბრუნებს) შეყვანის სიგნალს. ფიგურა აჩვენებს სიმბოლოლოგიკური ელემენტი "არა".

ინვერტორისთვის ჭეშმარიტების ცხრილი გვიჩვენებს, რომ მაღალი შეყვანის პოტენციალი წარმოქმნის დაბალ გამომავალ პოტენციალს და პირიქით.

დასავლურ დიაგრამებში, "NOT" ელემენტის ხატულას აქვს სამკუთხედის ფორმა, რომლის გამომავალი წრეა. საშინაო დიაგრამებზე არის მართკუთხედი სიმბოლო "1", გამომავალი წრე.

ლოგიკური ელემენტი "NAND" - შეერთება (ლოგიკური გამრავლება) უარყოფით, NAND

„AND-NOT“ არის ლოგიკური ელემენტი, რომელიც ასრულებს ლოგიკურ დამატებით ოპერაციას შეყვანის მონაცემებზე, შემდეგ კი ლოგიკური უარყოფის ოპერაციას, შედეგი იგზავნება გამოსავალზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის ძირითადად "AND" ელემენტი, რომელსაც ავსებს "NOT" ელემენტი. ფიგურაში ნაჩვენებია ლოგიკური ელემენტის სიმბოლო „2AND-NOT“.

ჭეშმარიტების ცხრილი NAND კარიბჭისთვის არის საპირისპირო ჭეშმარიტების ცხრილი AND კარიბჭისთვის. სამი ნულისა და ერთის ნაცვლად არის სამი ერთი და ნული. NAND ელემენტს ასევე უწოდებენ "შეფერის ელემენტს" მათემატიკოს ჰენრი მორის შეფერის პატივსაცემად, რომელმაც პირველად აღნიშნა მისი მნიშვნელობა 1913 წელს. აღინიშნება როგორც "და", მხოლოდ წრეზე გამოსასვლელში.

ლოგიკური ელემენტი "OR-NOT" - დისიუქცია (ლოგიკური დამატება) უარყოფით, NOR

„OR-NOT“ არის ლოგიკური ელემენტი, რომელიც ასრულებს ლოგიკურ დამატებით ოპერაციას შეყვანის მონაცემებზე, შემდეგ კი ლოგიკური უარყოფის ოპერაციას, შედეგი იგზავნება გამოსავალზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის "OR" ელემენტი, რომელიც ავსებს "NOT" ელემენტს - ინვერტორს. ფიგურაში ნაჩვენებია ლოგიკური ელემენტის სიმბოლო "2OR-NOT".

სიმართლის ცხრილი OR კარიბჭისთვის არის OR კარიბჭის ჭეშმარიტების ცხრილის საპირისპირო. გამომავალზე მაღალი პოტენციალი მიიღება მხოლოდ ერთ შემთხვევაში - დაბალი პოტენციალი ერთდროულად გამოიყენება ორივე შეყვანისთვის. იგი მითითებულია როგორც "OR", მხოლოდ წრეზე გამოსავალზე, რომელიც მიუთითებს ინვერსიაზე.

ლოგიკური კარიბჭე "ექსკლუზივი OR" - დამატების მოდულო 2, XOR

"ექსკლუზიური OR" არის ლოგიკური ელემენტი, რომელიც ასრულებს ლოგიკური დამატების ოპერაციას მოდულ 2 შეყვანის მონაცემებზე, აქვს ორი შეყვანა და ერთი გამომავალი. ხშირად ეს ელემენტები გამოიყენება საკონტროლო სქემებში. ფიგურაში ნაჩვენებია ამ ელემენტის სიმბოლო.

გამოსახულება დასავლურ სქემებში არის „OR“-ის მსგავსი დამატებითი მრუდი ზოლით შეყვანის მხარეს, შიდა სქემებში არის „OR“, მხოლოდ „1“-ის ნაცვლად დაიწერება „=1“.

ამ ლოგიკურ ელემენტს ასევე უწოდებენ "არაეკვივალენტობას". მაღალი ძაბვის დონე იქნება გამომავალზე მხოლოდ მაშინ, როდესაც შესასვლელში სიგნალები არ არის ტოლი (ერთი არის ერთი, მეორე არის ნულოვანი, ან ერთი არის ნული და მეორე არის ერთი), მაშინაც კი, თუ შესასვლელში ორია. ამავდროულად, გამომავალი იქნება ნული - ეს არის განსხვავება "OR"-ისგან. ეს ლოგიკური ელემენტები ფართოდ გამოიყენება შემკრებებში.

შეერთება ან ლოგიკური გამრავლება (სიმრავლეების თეორიაში ეს არის კვეთა)

კავშირი არის რთული ლოგიკური გამონათქვამი, რომელიც ჭეშმარიტია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ორივე მარტივი გამონათქვამი მართალია. ეს მდგომარეობა შესაძლებელია მხოლოდ ერთ შემთხვევაში, ყველა სხვა შემთხვევაში კავშირი მცდარია.

აღნიშვნა: &, $\wedge$, $\cdot$.

სიმართლის ცხრილი შეერთებისთვის

სურათი 1.

შეერთების თვისებები:

1. თუ კავშირის ერთ-ერთი ქვეგამოხატვა მაინც მცდარია ცვლადი მნიშვნელობების ზოგიერთ კომპლექტზე, მაშინ მთელი კავშირი მცდარი იქნება ამ სიდიდეების სიმრავლისთვის.
2. თუ კავშირის ყველა გამონათქვამი ჭეშმარიტია ცვლადის მნიშვნელობების ზოგიერთ კომპლექტზე, მაშინ მთელი კავშირი ასევე იქნება ჭეშმარიტი.
3. რთული გამონათქვამის მთლიანი კავშირის მნიშვნელობა არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ რა თანმიმდევრობით არის დაწერილი ქვეგამოთქმები, რომლებზეც იგი გამოიყენება (როგორც გამრავლება მათემატიკაში).

დისჯუნქცია ან ლოგიკური დამატება (სიმრავლეების თეორიაში ეს არის გაერთიანება)

დისუნქცია არის რთული ლოგიკური გამონათქვამი, რომელიც თითქმის ყოველთვის მართალია, გარდა იმ შემთხვევებისა, როდესაც ყველა გამონათქვამი მცდარია.

აღნიშვნა: +, $\vee$.

სიმართლის ცხრილი განშორებისთვის

სურათი 2.

დისუნქციის თვისებები:

1. თუ დისიუნქციის ერთ-ერთი ქვეგამოხატვა ჭეშმარიტია ცვლადი მნიშვნელობების გარკვეულ კომპლექტზე, მაშინ მთელი დისუნქცია იღებს ნამდვილ მნიშვნელობას ქვეგამოხატვების ამ ნაკრებისთვის.
2. თუ ყველა გამონათქვამი დისუნქციების ზოგიერთი სიიდან მცდარია ცვლადის მნიშვნელობების ზოგიერთ კომპლექტზე, მაშინ ამ გამონათქვამების მთელი დისუნქცია ასევე მცდარია.
3. მთელი დისიუნქციის მნიშვნელობა არ არის დამოკიდებული ქვეგამოთქმების დაწერის თანმიმდევრობაზე (როგორც მათემატიკაში - დამატება).

უარყოფა, ლოგიკური უარყოფა ან ინვერსია (სიმრავლეების თეორიაში ეს არის უარყოფა)

უარყოფა ნიშნავს, რომ ნაწილაკი NOT ან სიტყვა FALSE ემატება თავდაპირველ ლოგიკურ გამონათქვამს, WHAT და შედეგად მივიღებთ, რომ თუ ორიგინალური გამოხატულება მართალია, მაშინ ორიგინალის უარყოფა იქნება მცდარი და პირიქით, თუ ორიგინალური გამოხატულებაა. მცდარია, მაშინ მისი უარყოფა იქნება ჭეშმარიტი.

აღნიშვნა: არა $A$, $\bar(A)$, $¬A$.

სიმართლის ცხრილი ინვერსიისთვის

სურათი 3.

უარყოფის თვისებები:

$¬¬A$-ის „ორმაგი უარყოფა“ არის $A$ წინადადების შედეგი, ანუ ის არის ტავტოლოგია ფორმალურ ლოგიკაში და უდრის თავად მნიშვნელობას ლოგიკურ ლოგიკაში.

იმპლიკამენტი ან ლოგიკური შედეგი

იმპლიკამენტი არის რთული ლოგიკური გამოხატულება, რომელიც ჭეშმარიტია ყველა შემთხვევაში, გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც სიმართლე მოჰყვება სიცრუეს. ანუ, ეს ლოგიკური ოპერაცია აკავშირებს ორ მარტივ ლოგიკურ გამონათქვამს, რომელთაგან პირველი არის პირობა ($A$), ხოლო მეორე ($A$) არის მდგომარეობის ($A$) შედეგი.

აღნიშვნა: $\to$, $\Rightarrow$.

სიმართლის ცხრილი იმპლიკაციისთვის

სურათი 4.

ზემოქმედების თვისებები:

1. $A \ to B = ¬A \vee B$.
2. შენიშვნა $A \ to B$ მცდარია, თუ $A=1$ და $B=0$.
3. თუ $A=0$, მაშინ მნიშვნელობა $A \to B$ არის ჭეშმარიტი $B$-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის (true შეიძლება მოჰყვეს false-ს).

ეკვივალენტობა ანუ ლოგიკური ეკვივალენტობა

ეკვივალენტობა არის რთული ლოგიკური გამოხატულება, რომელიც მართალია $A$ და $B$ ცვლადების თანაბარი მნიშვნელობებისთვის.

აღნიშვნები: $\leftrightarrow$, $\Leftrightarrow$, $\equiv$.

სიმართლის ცხრილი ეკვივალენტობისთვის

სურათი 5.

ეკვივალენტური თვისებები:

1. ეკვივალენტობა მართალია $A$ და $B$ ცვლადების მნიშვნელობების თანაბარ კომპლექტებზე.
2. CNF $A \equiv B = (\bar(A) \vee B) \cdot (A \cdot \bar(B))$
3. DNF $A \equiv B = \bar(A) \cdot \bar(B) \vee A \cdot B$

მკაცრი განცალკევება ან დამატების მოდული 2 (სიმრავლეების თეორიაში ეს არის ორი სიმრავლის გაერთიანება მათი გადაკვეთის გარეშე)

მკაცრი განცალკევება მართალია, თუ არგუმენტების მნიშვნელობები არ არის თანაბარი.

ელექტრონიკისთვის ეს ნიშნავს, რომ სქემების დანერგვა შესაძლებელია ერთი სტანდარტული ელემენტის გამოყენებით (თუმცა ეს ძვირადღირებული ელემენტია).

ლოგიკური მოქმედებების თანმიმდევრობა რთულ ლოგიკურ გამოხატულებაში

1. ინვერსია (უარყოფა);
2. შეერთება (ლოგიკური გამრავლება);
3. დისჯუნქცია და მკაცრი განცალკევება (ლოგიკური დამატება);
4. იმპლიკაცია (შედეგი);
5. ეკვივალენტობა (იდენტობა).

ლოგიკური ოპერაციების მითითებული თანმიმდევრობის შესაცვლელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ფრჩხილები.

ზოგადი თვისებები

$n$ ლოგიკური ცვლადების ნაკრებისთვის არის ზუსტად $2^n$ განსხვავებული მნიშვნელობები. სიმართლის ცხრილი ლოგიკური გამოხატულება$n$ ცვლადები შეიცავს $n+1$ სვეტებს და $2^n$ რიგებს.

სექციები: ინფორმატიკა

ამჟამად, კომპიუტერულ მეცნიერებაში მისაღებ გამოცდებზე არის მრავალი დავალება თემაზე "ლოგიკის ალგებრა". ამ გაკვეთილის მიზანია კომპიუტერულ მეცნიერებაში ერთიანი სახელმწიფო საგამოცდო ამოცანების ამოხსნის უნარების კონსოლიდაცია ლოგიკური ალგებრის ელემენტების გამოყენებით.

გაკვეთილის მიზნები:

• მიღებული ცოდნის პრაქტიკაში გამოყენების უნარის ჩამოყალიბება;
• მოცემული ფორმულების გამოყენებით ჭეშმარიტების ცხრილების აგების უნარის განვითარება;
• ლოგიკის კანონების გამოყენებით სიტყვიერი ამოცანების გადაჭრის უნარის განვითარება.

გაკვეთილის მიზნები:

• საგანმანათლებლო - შემეცნებითი ინტერესის განვითარება, ლოგიკური აზროვნება.
• საგანმანათლებლო– მათემატიკური ლოგიკის საფუძვლების გამეორება, პრაქტიკული დავალებების შესრულება.
• განმავითარებელი - ლოგიკური აზროვნების განვითარება, ყურადღების მიქცევა.

გაკვეთილის პროგრესი

1. ლოგიკური მოქმედებების და კანონების გამეორება.
2. ლოგიკური მოქმედებების და კანონების გამოყენება პრაქტიკაში.
3. საშინაო დავალების ახსნა.

დღეს ვასრულებთ თემას „ლოგიკის საფუძვლები“ ​​და გამოვიყენებთ ძირითად ლოგიკურ ოპერაციებსა და ტრანსფორმაციის კანონებს კომპიუტერულ მეცნიერებაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ამოცანების გადასაჭრელად.

გაკვეთილი მიმდინარეობს პრეზენტაციის პარალელურად.<Приложение1>

1. ლოგიკური მოქმედებების და კანონების გამეორება.

ლოგიკის ალგებრა არის მათემატიკური ლოგიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს რთული ლოგიკური განცხადებების სტრუქტურას და ალგებრული მეთოდების გამოყენებით მათი ჭეშმარიტების დადგენის მეთოდებს.

1. ფორმალური ლოგიკის ფუძემდებელი?

არისტოტელე.

2. ლოგიკის ალგებრის დამფუძნებელი?

ჯორჯ ბული.

3. ჩამოთვალეთ ლოგიკური ოპერაციები:

¬ უარყოფა (ინვერსია)
&, /\ შეერთება ("და")
V დისიუნქცია ("OR")
ლოგიკური შედეგი (იგულისხმება)
ეკვივალენტობა (ეკვივალენტობა)

4. რას ნიშნავს ორმაგი უარყოფის კანონი?

ორმაგი ნეგატივი გამორიცხავს უარყოფითს.

5. დე მორგანის კანონები (ზოგადი ინვერსიის კანონები).

დისიუნქციის უარყოფა არის უარყოფათა კავშირი:

¬(A V B) = ¬A /\ ¬B

კავშირის უარყოფა არის უარყოფათა განშორება:

¬(A /\B) = ¬A V ¬B

6. უძლურების (ერთგვაროვნების) კანონი.

7. რას ნიშნავს მესამეს გამორიცხვის კანონი?

ორი ურთიერთგამომრიცხავი დებულებიდან ერთი და იგივეს შესახებ, ერთი ყოველთვის მართალია, მეორე მცდარი და მესამე არ არის მოცემული:

8. რას ეხება წინააღმდეგობის კანონი?

განცხადება და მისი უარყოფა არ შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი ერთდროულად:

9. მუდმივთა გამორიცხვის კანონი.

ლოგიკური დამატებისთვის:

A V 1 = 1 A V 0 = A

ლოგიკური გამრავლებისთვის:

A /\ 1 = A A /\ 0 = 0

10. როგორ გამოვხატოთ იმპლიკაცია დისიუნქციის მეშვეობით?

A B = ¬A V B

2. ლოგიკური მოქმედებების და კანონების გამოყენება პრაქტიკაში.

მაგალითი 1. ( Task A11 დემო ვერსია 2004)

რომელი სახელისთვის არის ჭეშმარიტი განცხადება:

¬ (სახელის პირველი ასო ხმოვანია -> სახელის მეოთხე ასო თანხმოვანია)?

გამოსავალი. რთული განცხადება შედგება ორი მარტივი განცხადებისგან:

A არის სახელის პირველი ასო, ხმოვანი,

B არის სახელის მეოთხე ასო, თანხმოვანი.

¬ (A B) = ¬ (¬A V B) = (¬ (¬A) /\ ¬B) = A /\ ¬B

გამოყენებული ფორმულები:

1. იმპლიკაცია A დისიუნქციის მეშვეობით? B = ¬A V B

2. დე მორგანის კანონი ¬(A V B) = ¬A /\ ¬B

3. ორმაგი უარყოფის კანონი.

(სახელის პირველი ასო ხმოვანია /\ სახელის მეოთხე ასო ხმოვანია)

მაგალითი 2. ( Task A12 დემო ვერსია 2004)

რომელი ლოგიკური გამოთქმა ექვივალენტურია ¬ (A \/ ¬B) გამოხატვის?

გამოსავალი. ¬ (A \/ ¬B) = ¬ A \/ ¬ (¬B) = ¬ A \/ B

შექმენით სიმართლის ცხრილი ფორმულისთვის

¬ (B /\ C) V (A/\C B)

ლოგიკური მოქმედებების თანმიმდევრობა:

¬ (B /\ C) V (A/\C B)

შექმენით სიმართლის ცხრილი.

რამდენი მწკრივი იქნება თქვენს მაგიდაზე? 3 ცვლადი: A, B, C; 2 3 = 8

რამდენი სვეტი? 5 ოპერაცია + 3 ცვლადი = 8

ა	ბ	C	(B/\C)	¬(B/\C)	A/\C	(A/\C? B)	¬ (B /\ C) V (A/\Cბ)
0	0	0	0	1	0	1	1
0	0	1	0	1	0	1	1
0	1	0	0	1	0	1	1
0	1	1	1	0	0	1	1
1	0	0	0	1	0	0	1
1	0	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	1	0	0	1
1	1	1	1	0	1	1	1

რა პასუხები მიიღეთ ბოლო სვეტში?

იდენტური სიმართლე, თუ იგი იღებს მნიშვნელობებს 1 მასში შემავალი მარტივი განცხადებების ყველა ნაკრებისთვის. იდენტურ ჭეშმარიტ ფორმულებს უწოდებენ ტავტოლოგიები.

მოდით გადავჭრათ ეს მაგალითი ანალიტიკური მეთოდით:

გამოხატვის გამარტივება

¬ (B /\ C) V (A/\C B) = (გამოიყენეთ ფორმულა იმპლიკაციისთვის)

¬ (B /\ C) V ¬ (A /\ C) V B = (გამოიყენეთ დე მორგანის 1 და 2 კანონები)

(¬B V ¬C) V (¬A V ¬C) V B = (ფრჩხილების ამოღება)

¬B V ¬C V ¬A V ¬C V B= (გამოიყენეთ შემცვლელი კანონი)

¬B V B V ¬C V ¬C V ¬A = (შუაშის გამორიცხვის კანონი, უძლურების კანონი)

1 V ¬С V ¬A = 1 V ¬A = 1 (მუდმივთა გამორიცხვის კანონი)

პასუხი: 1 , ნიშნავს, რომ ფორმულა იდენტურია ჭეშმარიტი ან ტავტოლოგია.

ლოგიკური გამოთქმა ე.წ იდენტური ცრუ, თუ იგი იღებს მნიშვნელობებს 0 მასში შემავალი მარტივი განცხადებების ყველა ნაკრებისთვის.

(საშინაო დავალება 3)

ცხრილი აჩვენებს შეკითხვებს საძიებო სერვერზე. დაალაგეთ მოთხოვნის აღნიშვნები ზრდადი თანმიმდევრობით იმ გვერდების რაოდენობის მიხედვით, რომლებსაც საძიებო სისტემა იპოვის თითოეული მოთხოვნისთვის.

სიმბოლო I გამოიყენება მოთხოვნაში ლოგიკური ოპერაციის „OR“-ის აღსანიშნავად, ხოლო სიმბოლო & გამოიყენება ლოგიკური ოპერაციის „AND“-ის აღსანიშნავად.

პირველი მეთოდი ემყარება მსჯელობას. ლოგიკურად მსჯელობისას ვხედავთ, რომ ყველაზე მეტი გვერდი მოიძებნება G შეკითხვაზე, რადგან მისი შესრულებისას იქნება გვერდები სიტყვა „კანონებით“ და გვერდები სიტყვით „ფიზიკა“ და გვერდები სიტყვით „ბიოლოგია“. ნაპოვნია. გვერდების ყველაზე მცირე რაოდენობა მოიძებნება B მოთხოვნაზე, რადგან ის შეიცავს ოთხივე სიტყვის არსებობას მოძიებულ გვერდზე. რჩება A და B მოთხოვნების შედარება. შეკითხვა B იპოვის ყველა გვერდს, რომელიც შეესაბამება A მოთხოვნას (რადგან ეს უკანასკნელი აუცილებლად შეიცავს სიტყვას „კანონები“), ასევე გვერდებს, რომლებიც შეიცავს სიტყვებს „ფიზიკა“ და „ბიოლოგია“. ამიტომ, B-სთვის უფრო მეტი გვერდი მოიძებნება, ვიდრე A-სთვის. ასე რომ, შეკითხვის დაკვეთა გვერდების ზრდადი თანმიმდევრობით, მივიღებთ VABG.

პასუხი: VABG.

მეორე მეთოდი მოიცავს ოპერაციების გრაფიკული წარმოდგენის გამოყენებას კომპლექტებზე. (იხილეთ პრეზენტაცია)

მაგალითი 5. ( Task A16 დემო ვერსია 2006)

ქვემოთ შიგნით ცხრილის ფორმაწარმოდგენილია მონაცემთა ბაზის ფრაგმენტი მოსწავლეთა ტესტირების შედეგების შესახებ (გამოიყენება ასბალიანი სკალა)

გვარი	სართული	მათემატიკა	რუსული ენა	ქიმია	ინფორმატიკა	ბიოლოგია
აგანიანი	და	82	56	46	32	70
ვორონინი	მ	43	62	45	74	23
გრიგორჩუკი	მ	54	74	68	75	83
როდნინა	და	71	63	56	82	79
სერგეენკო	და	33	25	74	38	46
ჩერეპანოვა	და	18	92	83	28	61

ამ ფრაგმენტში რამდენი ჩანაწერი აკმაყოფილებს პირობას

"სქესი='m' ან ქიმია>ბიოლოგია"?

ვირჩევთ ჩანაწერებს: ბიჭები (ორი) და ქიმია>ბიოლოგია (სამი, მაგრამ ერთი ბიჭი, უკვე აღებული 1 ჯერ). შედეგად, 4 ჩანაწერი აკმაყოფილებს პირობას.

დავალება 6. ( Task B4 დემო ვერსია 2007)

სასკოლო მაგიდის ჩოგბურთის ჩემპიონატში საუკეთესო ოთხეულში მოხვდნენ გოგონები: ნატაშა, მაშა, ლუდა და რიტა. ყველაზე მგზნებარე გულშემატკივრებმა გამოთქვეს თავიანთი ვარაუდები შემდგომ შეჯიბრებებში ადგილების განაწილების შესახებ.

ერთს სჯერა, რომ ნატაშა პირველი იქნება, მაშა კი მეორე.

მეორე ფანი ლუდას უწინასწარმეტყველებს მეორე ადგილს, რიტა კი, მისი აზრით, მეოთხე ადგილს დაიკავებს.

ჩოგბურთის მესამე გულშემატკივარი მათ არ დაეთანხმა. მას მიაჩნია, რომ რიტა მესამე ადგილს დაიკავებს, ნატაშა კი მეორე ადგილზე იქნება.

რა ადგილი დაიკავეს ნატაშამ, მაშამ, ლუდამ, რიტამ ჩემპიონატზე?

(თქვენს პასუხში ზედიზედ ჩამოთვალეთ გოგონების ადგილების შესაბამისი ნომრები სახელების მითითებული თანმიმდევრობით.)

მოდით აღვნიშნოთ განცხადებები:

H1 = „ნატაშა პირველი იქნება“;

M2 = „მაშა მეორე იქნება“;

L2 = „ლუდა მეორე იქნება“;

P4 = "რიტა იქნება მეოთხე";

P3 = "რიტა მესამე იქნება";

H2 = "ნატაშა მეორე იქნება."

პირობის მიხედვით:

1 გულშემატკივრის განცხადებებიდან გამომდინარეობს, რომ H1VM2 მართალია;

გულშემატკივართა განცხადებებიდან2 ირკვევა, რომ A2VP4 მართალია;

გულშემატკივართა 3-ის განცხადებებიდან გამომდინარეობს, რომ P3VH2 მართალია.

ამიტომ, კავშირი ასევე მართალია

(H1VM2) /\ (L2VP4) /\ (Р3VН2) = 1.

ფრჩხილების გახსნით ვიღებთ:

(Н1VM2) /\ (Л2VP4) /\ (Р3VН2) = (Н1/\Л2V Н1/\Р4 V М2/\Л2 V М2/\Р4) /\ (Р3VН2)=

Н1/\Л2/\Р3 V Н1/\Р4/\Р3 V М2/\Л2/\Р3 V М2/\Р4/\Р3 V Н1/\Л2/\Н2 V Н1/\Р4/\Н2 V М2/ \Л2/\Н2 V М2/\Р4/\Н2 =Н1/\ Л2/\Р3 V 0 V 0 V 0 V 0 V 0 V 0 V= Н1/\ Л2/\Р3

ნატაშა-1, ლიუდა-2, რიტა-3 და მაშა-4.

პასუხი: 1423 წ

3. საშინაო დავალების ახსნა.

ამოცანა 1. ( Task B8 დემო ვერსია 2007)

ცხრილი აჩვენებს შეკითხვებს საძიებო სერვერზე. დაალაგეთ მოთხოვნის სიმბოლოები ზრდადი თანმიმდევრობით იმ გვერდების რაოდენობის მიხედვით, რომლებსაც საძიებო სისტემა იპოვის თითოეული მოთხოვნისთვის.

მოთხოვნაში ლოგიკური ოპერაციის „OR“ აღსანიშნავად გამოიყენეთ სიმბოლო | და ლოგიკური ოპერაციის „AND“ აღსანიშნავად – &.

დავალება 2 ( Task B4 დემო ვერსია 2008)

ოთხთა ტურნირის დაწყებამდე გულშემატკივრებმა თავიანთი კერპების შესახებ შემდეგი ვარაუდები გააკეთეს:

ა) მაქსი გაიმარჯვებს, ბილი მეორე იქნება;

ბ) ბილი მესამეა. ნიკა პირველია;

გ) მაქსი უკანასკნელია, პირველი კი იოანე.

როდესაც კონკურსი დასრულდა, აღმოჩნდა, რომ თითოეული გულშემატკივარი იყო მართალი მხოლოდ ერთ პროგნოზში.

რა ადგილი დაიკავეს ჯონმა, ნიკმა, ბილმა, მაქსმა ტურნირზე?

(თქვენს პასუხში ჩამოთვალეთ მონაწილეთა ადგილები ზედიზედ, სახელების მითითებული თანმიმდევრობით.)

ლოგიკური ოპერაციების თვისებები

1. აღნიშვნები

1.1. აღნიშვნა ლოგიკური კავშირებისთვის (ოპერაციები):

ა) უარყოფა(ინვერსია, ლოგიკური NOT) აღინიშნება ¬-ით (მაგალითად, ¬A);

ბ) შეერთება(ლოგიკური გამრავლება, ლოგიკური AND) აღინიშნება /\-ით
(მაგალითად, A /\ B) ან & (მაგალითად, A & B);

გ) დისიუნქცია(ლოგიკური დამატება, ლოგიკური OR) აღინიშნება \/
(მაგალითად, A \/B);

დ) შემდეგ(იმპლიკამენტი) აღინიშნება → (მაგალითად, A → B);

ე) ვინაობააღინიშნება ≡-ით (მაგალითად, A ≡ B). გამოთქმა A ≡ B მართალია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ A და B მნიშვნელობები იგივეა (ან ორივე მართალია, ან ორივე მცდარია);

ვ) სიმბოლო 1 გამოიყენება ჭეშმარიტების აღსანიშნავად (ჭეშმარიტი განცხადება); სიმბოლო 0 - ტყუილის მითითება (მცდარი განცხადება).

1.2. ორი ლოგიკური გამონათქვამი, რომელიც შეიცავს ცვლადებს, ეწოდება ექვივალენტი (ექვივალენტი) თუ ამ გამონათქვამების მნიშვნელობები ემთხვევა ცვლადის რომელიმე მნიშვნელობებს. ამრიგად, გამონათქვამები A → B და (¬A) \/ B ექვივალენტურია, მაგრამ A /\ B და A \/ B არ არის (გამონათქვამების მნიშვნელობა განსხვავებულია, მაგალითად, როდესაც A = 1, B = 0. ).

1.3. ლოგიკური ოპერაციების პრიორიტეტები:ინვერსია (უარყოფა), შეერთება (ლოგიკური გამრავლება), დისუნქცია (ლოგიკური დამატება), იმპლიკაცია (შემდეგი), იდენტობა. ამრიგად, ¬A \/ B \/ C \/ D ნიშნავს იგივეს, რაც

((¬A) \/ B) \/ (C \/ D).

შესაძლებელია A \/ B \/ C ჩაწეროთ (A \/ B) \/ C-ის ნაცვლად. იგივე ეხება კავშირს: შესაძლებელია ჩაწეროთ A /\ B /\ C ნაცვლად (A /\ B). ) /\ C.

2. თვისებები

ქვემოთ მოცემული სია არ არის გამიზნული, რომ იყოს სრული, მაგრამ ვიმედოვნებთ, რომ ის საკმარისად წარმომადგენლობითია.

2.1. ზოგადი თვისებები

1. კომპლექტისთვის ნარის ზუსტად ლოგიკური ცვლადები 2 ნსხვადასხვა მნიშვნელობა. სიმართლის ცხრილი ლოგიკური გამოხატვისთვის ნცვლადები შეიცავს n+1სვეტი და 2 ნხაზები.

2.2.დისიუნქცია

1. თუ მინიმუმ ერთი ქვეგამოხატვა, რომელზედაც გამოიყენება დისუნქცია, ჭეშმარიტია ცვლადების მნიშვნელობების ზოგიერთ კომპლექტზე, მაშინ მთელი დისjunction არის ჭეშმარიტი მნიშვნელობების ამ ნაკრებისთვის.
2. თუ ყველა გამონათქვამი გარკვეული სიიდან არის ჭეშმარიტი ცვლადის მნიშვნელობების გარკვეულ კომპლექტზე, მაშინ ამ გამონათქვამების დისიუქცია ასევე მართალია.
3. თუ გარკვეული სიიდან ყველა გამონათქვამი მცდარია ცვლადის მნიშვნელობების გარკვეულ კომპლექტზე, მაშინ ამ გამონათქვამების განცალკევება ასევე მცდარია.
4. დისიუნქციის მნიშვნელობა არ არის დამოკიდებული იმ ქვეგამოთქმების წერის თანმიმდევრობაზე, რომლებზეც იგი გამოიყენება.

2.3. შეერთება

1. თუ ქვეგამოთქმებიდან ერთი მაინც, რომელზედაც გამოიყენება კავშირი, არის მცდარი ცვლადი მნიშვნელობების ზოგიერთ კომპლექტზე, მაშინ მთელი კავშირი მცდარია ამ სიდიდეების სიმრავლისთვის.
2. თუ გარკვეული სიიდან ყველა გამონათქვამი ჭეშმარიტია ცვლადის მნიშვნელობების გარკვეულ კომპლექტზე, მაშინ ამ გამონათქვამების კავშირი ასევე მართალია.
3. თუ გარკვეული სიიდან ყველა გამონათქვამი მცდარია ცვლადის მნიშვნელობების გარკვეულ კომპლექტზე, მაშინ ამ გამონათქვამების შეერთებაც მცდარია.
4. კავშირის მნიშვნელობა არ არის დამოკიდებული იმ ქვეგამოთქმების წერის თანმიმდევრობაზე, რომლებზეც იგი გამოიყენება.

2.4. მარტივი დისიუნქციები და კავშირები

მოდით მოვუწოდოთ (მოხერხებულობისთვის) კავშირი მარტივი, თუ ქვეგამოთქმები, რომლებზეც გამოიყენება კავშირი, არის განსხვავებული ცვლადები ან მათი უარყოფა. ანალოგიურად, დისუნქცია ეწოდება მარტივი, თუ ქვეგამოთქმები, რომლებზეც გამოიყენება დისუნქცია, არის განსხვავებული ცვლადები ან მათი უარყოფა.

1. მარტივი კავშირი ფასდება 1-მდე (true) ცვლადი მნიშვნელობების ზუსტად ერთ კომპლექტზე.
2. მარტივი დისიუნქცია ფასდება 0-მდე (false) ცვლადი მნიშვნელობების ზუსტად ერთ კომპლექტზე.

2.5. იმპლიკაცია

1. იმპლიკაცია ა →ბდისიუნქციის ტოლფასია (¬ ა) \/ბ.ეს დისიუნქცია ასევე შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად: ¬ A\/B.
2. იმპლიკაცია ა →ბიღებს მნიშვნელობას 0 (false) მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ A=1და B=0.თუ A=0,შემდეგ მნიშვნელობა ა →ბმართალია ნებისმიერი ღირებულებისთვის ბ.

ამისთვის სწრაფი ძებნაინტერნეტში არსებული ინფორმაცია გამოიყენება საძიებო მოთხოვნებით. საძიებო მოთხოვნა არის ნაკრები საკვანძო სიტყვები, დაკავშირებულია ლოგიკური ოპერაციების ნიშნებით AND, OR, NOT.

ოპერაციების პრიორიტეტი, თუ არ არის სპეციალურად განთავსებული ფრჩხილები, არის შემდეგი: ჯერ NOT, შემდეგ AND, შემდეგ OR.

თქვენ უნდა გესმოდეთ, რომ AND ოპერაცია (პირობების ერთდროული შესრულება) ამცირებს მიღებული შედეგის მოცულობას, ხოლო OR ოპერაცია (ერთ-ერთი პირობის მაინც შესრულება) პირიქით ზრდის მოცულობას.

თუ მოთხოვნა შეიცავს ფრაზას ბრჭყალებში, სისტემა მოძებნის ზუსტ ფრაზას მთლიანად.

1. მოთხოვნების განლაგება ზრდადი (კლებადობით) თანმიმდევრობით

"AND" (&) ოპერაცია აღნიშნავს საკვანძო სიტყვების ერთდროულ არსებობას მოძიებულ დოკუმენტებში და, შესაბამისად, ამცირებს ნაპოვნი ინფორმაციის რაოდენობას. რაც უფრო მეტი საკვანძო სიტყვაა დაკავშირებული "AND" ოპერაციით, მით ნაკლები ინფორმაცია მოიძებნება. პირიქით, "OR" (|) ოპერაცია მიუთითებს მოძიებულ დოკუმენტებში მინიმუმ ერთი საკვანძო სიტყვის არსებობაზე და, შესაბამისად, ზრდის ნაპოვნი ინფორმაციის რაოდენობას.

მაგალითი 1.

ცხრილი აჩვენებს შეკითხვებს საძიებო სერვერზე. დაალაგეთ მოთხოვნის სიმბოლოები გვერდების რაოდენობის ზრდის მიხედვით, რომლებსაც საძიებო სისტემა იპოვის თითოეული მოთხოვნისთვის.

ა) აბსტრაქტული | მათემატიკა | გაუსი
ბ) აბსტრაქტული | მათემატიკა | გაუსი | მეთოდი
ბ) აბსტრაქტული | მათემატიკა
დ) აბსტრაქტული და მათემატიკა და გაუსი

გამოსავალი:

ყველაზე მცირე რაოდენობის "I" ოპერაციების მქონე მოთხოვნისთვის შეირჩევა გვერდების ყველაზე მცირე რაოდენობა (მოთხოვნა D), ყველაზე მეტი დიდი რაოდენობაგვერდები შეირჩევა მოთხოვნის საფუძველზე, სადაც ყველაზე მეტი "OR" ოპერაციებია (მოთხოვნა B). A მოთხოვნისთვის შეირჩევა მეტი გვერდი, ვიდრე მოთხოვნა B, რადგან შეკითხვა A შეიცავს მეტ OR საკვანძო სიტყვებს.

პასუხი: GWAB

2. მოთხოვნით ნაპოვნი გვერდების დათვლა

ამ ტიპის პრობლემა ჩვეულებრივ წყდება განტოლებათა სისტემით. მე შემოგთავაზებთ უფრო ვიზუალურ და მარტივ გზას.

საძიებო კითხვებზე დაყრდნობით ინფორმაციის შერჩევის პრინციპი კარგად არის ილუსტრირებული ეილერ-ვენის დიაგრამაზე (ეილერის წრეები). დიაგრამაზე სიმრავლეები წარმოდგენილია გადამკვეთი წრეებით. AND ოპერაცია (&) არის წრეების კვეთა, ხოლო OR ოპერაცია (|) არის წრეების გაერთიანება.

მაგალითად, წრეებით ავღნიშნოთ კომპლექტები ვაშლი, მსხალი, ბანანი. მოთხოვნა ვაშლი და მსხალი და ბანანი შეარჩევს სამივე წრის კვეთას (საერთო ნაწილს):

მოთხოვნით ვაშლები | მსხალი შეირჩევა ორი წრის შერწყმით:

მაგალითი 2.

ცხრილი აჩვენებს შეკითხვებს და გვერდების რაოდენობას, რომლებიც საძიებო სისტემამ იპოვა ამ მოთხოვნებისთვის ინტერნეტის გარკვეულ სეგმენტში:

რამდენი გვერდი (ათასებში) მოიძებნება მოთხოვნის ჭადრაკისთვის?

გამოსავალი:

დავხატოთ ეილერ-ვენის დიაგრამა. პრობლემის გადაჭრის მეთოდი არის გვერდების რაოდენობის დათვლა, რომელიც შეესაბამება ხაზებით გამოყოფილ თითოეულ ტერიტორიას:

შეკითხვა ჭადრაკი და ჩოგბურთი შეესაბამება შუა არეალს (1000 ათასი გვერდი), ხოლო შეკითხვის ჩოგბურთი შეესაბამება მთელ მარჯვენა წრეს (5500 ათასი გვერდი).

მაშინ მარჯვენა „მოჭრილი წრე“ არის 5500-1000=4500:

ჭადრაკის მოთხოვნა | ჩოგბურთის ორივე წრე შეესაბამება (7770), შემდეგ მარცხენა "დაჭრილი წრე" არის 7770-5500=2270