Téma: „Funkció: fogalom, hozzárendelési módszerek, főbb jellemzők. Inverz függvény. A függvények szuperpozíciója."

A lecke epigráfja:

„Tanulj valamit, és ne gondolj rá

tanult – teljesen haszontalan.

Gondolkodni valamin anélkül, hogy tanulmányoznánk

előzetes gondolatmenet -

Konfuciusz.

Az óra célja, pszichológiai és pedagógiai céljai:

1) Általános nevelési (normatív) cél: Tekintse át a tanulókkal egy függvény definícióját és tulajdonságait. Mutassa be a függvények szuperpozíciójának fogalmát!

2) A tanulók matematikai fejlesztésének céljai: nem szabványos oktatási és matematikai anyagok felhasználása a tanulók mentális tapasztalatainak, matematikai intelligenciájának értelmes kognitív struktúrájának fejlesztésére, beleértve a logikai-deduktív és induktív, analitikus és szintetikus reverzibilis gondolkodás, algebrai és figuratív-grafikus gondolkodási képességek fejlesztését. , értelmes általánosítás és konkretizálás, a reflexióra és az önállóságra, mint a tanulók metakognitív képességére; folytatni az írott és szóbeli beszéd kultúrájának, mint a nevelési és matematikai intelligencia pszichológiai mechanizmusainak fejlesztését.

3) Nevelési feladatok: a matematika iránti kognitív érdeklődésű, felelősségtudatos, kötelességtudatos, tanulmányi önállóság, a csoporttal, tanárral, osztálytársakkal való együttműködési készség kommunikációs képességű tanulók személyes nevelésének folytatása; autogóg képesség versenyképes oktatási és matematikai tevékenységre, magas és legmagasabb eredményekre való törekvés (acmeic motívum).

Az óra típusa: új anyag tanulása; a vezető matematikai tartalom kritériuma szerint - gyakorlati óra; a tanulók és a tanár közötti információs interakció típusának kritériuma szerint - együttműködési lecke.

Az óra felszerelése:

1. Oktatási irodalom:

1) Kudrjavcev a matematikai elemzésről: Tankönyv. egyetemisták és egyetemisták számára. 3 kötetben T. 3. – 2. kiadás, átdolgozva. és további – M.: Feljebb. iskola, 1989. – 352 p. : ill.

2) Demidovich feladatok és gyakorlatok a matematikai elemzésben. – 9. kiadás. – M.: „Nauka” Kiadó, 1977.

2. Illusztrációk.

Az órák alatt.

1. Az óra témájának és fő nevelési céljának meghirdetése; a tanulók kötelességtudatának, felelősségtudatának és kognitív érdeklődésének serkentése a foglalkozásra való felkészülés során.

2.Anyag ismétlése kérdések alapján.

a) Határozzon meg egy függvényt!

Az egyik matematikai alapfogalom a függvény fogalma. A függvény fogalma két halmaz elemei közötti kapcsolat létrehozásához kapcsolódik.

Legyen két nem üres halmaz és adott. Egy olyan f egyezést hívunk meg, amely minden elemhez egy és csak egy elemet illeszt funkció és felírja, hogy y = f(x). Azt is mondják, hogy az f függvény megjeleníti sok a sok.

A https://pandia.ru/text/79/018/images/image003_18.gif" width="63" height="27">.gif" width="59" height="26"> neve jelentéskészlet f függvényt és E(f)-vel jelöljük.

b) Numerikus függvények. Függvénygrafikon. A függvények megadásának módszerei.

Legyen adott a függvény.

Ha a és halmazok elemei valós számok, akkor az f függvényt hívjuk meg numerikus függvény . Az x változót hívjuk érv vagy független változó, és y – funkció vagy függő változó(x-ből). Magukat az x és y mennyiségeket illetően azt mondják, hogy benne vannak funkcionális függőség.

Függvénygrafikon y = f(x) az Oxy sík összes pontjának halmaza, amelyek mindegyikére x az argumentum értéke, y pedig a függvény megfelelő értéke.

Az y = f(x) függvény megadásához meg kell adni egy szabályt, amely lehetővé teszi x ismeretében az y megfelelő értékének megtalálását.

A függvények meghatározásának legáltalánosabb három módja a következő: analitikus, táblázatos és grafikus.

Analitikai módszer: Egy függvény egy vagy több képletként vagy egyenletként van megadva.

Például:

Ha az y = f(x) függvény definíciós tartománya nincs megadva, akkor feltételezzük, hogy egybeesik az argumentum összes értékének halmazával, amelyre a megfelelő képletnek van értelme.

A függvény megadásának analitikai módszere a legfejlettebb, mivel olyan matematikai elemzési módszereket tartalmaz, amelyek lehetővé teszik az y = f(x) függvény teljes tanulmányozását.

Grafikus módszer: Beállítja a függvény grafikonját.

A grafikai feladat előnye a tisztasága, hátránya a pontatlansága.

Táblázatos módszer: A függvényt argumentumértékek sorozatából és a megfelelő függvényértékekből álló táblázat határozza meg. Például jól ismert trigonometrikus függvények értéktáblázatai, logaritmikus táblázatok.

c) A függvény főbb jellemzői.

1. Meghívjuk a D halmazon definiált y = f(x) függvényt még , ha a feltételek és f(-x) = f(x) teljesülnek; páratlan , ha a feltételek és f(-x) = -f(x) teljesülnek.

A páros függvény grafikonja szimmetrikus az Oy tengelyre, a páratlan függvény pedig szimmetrikus az origóra. Például: – páros függvények; és y = sinx, https://pandia.ru/text/79/018/images/image014_3.gif" width="73" height="29"> – általános formájú függvények, azaz se nem páros, se nem páratlan .

2. Legyen az y = f(x) függvény definiálva a D halmazon, és legyen . Ha az argumentumok bármely értékére a következő egyenlőtlenség következik: , akkor a függvény meghívásra kerül növekvő a forgatáson; Ha , akkor a függvény meghívásra kerül nem csökkenő itt: https://pandia.ru/text/79/018/images/image021_1.gif" width="117" height="28 src=">, akkor a függvény meghívásra kerül. csökkenő tovább ; - nem növekvő .

Növelő, nem növekvő, csökkenő és nem csökkenő funkciók a készleten https://pandia.ru/text/79/018/images/image023_0.gif" width="13" height="13">D érték (x +T)D és az f(x+T) = f(x) egyenlőség teljesül.

A T periódusú periodikus függvény grafikonjának ábrázolásához elegendő azt bármely T hosszúságú szakaszon ábrázolni, és periodikusan folytatni a teljes definíciós tartományban.

Jegyezzük meg a periodikus függvény főbb tulajdonságait.

1) Az azonos T periódusú periodikus függvények algebrai összege egy T periódusú periodikus függvény.

2) Ha az f(x) függvénynek T periódusa van, akkor az f(ax) függvénynek T/a periódusa van.

d) Inverz függvény.

Legyen adott egy y = f(x) függvény D definíciós tartománnyal és E..gif" width="48" height="22"> értékkészlettel, majd egy x = z(y) függvény E definíciós tartománnyal és D értékkészlettel definiálunk Egy ilyen z(y) függvényt hívunk fordított az f(x) függvényhez, és a következő formában van írva: . Az y = f(x) és x = z(y) függvényeket kölcsönösen inverzeknek mondjuk. Az x = z(y) függvény, az y = f(x) függvény inverzének megtalálásához elegendő az f(x) = y egyenletet megoldani x-re.

Példák:

1. Az y = 2x függvény inverz függvénye az x = ½ y függvény;

2. A funkcióhoz az inverz függvény a függvény.

Az inverz függvény definíciójából következik, hogy az y = f(x) függvénynek akkor és csak akkor van inverze, ha f(x) egy az egyhez egyezést ad meg a D és E halmazok között. Ebből következik, hogy bármely szigorúan monoton függvénynek inverze van . Sőt, ha egy függvény nő (csökken), akkor az inverz függvény is nő (csökken).

3. Új anyag tanulmányozása.

Komplex funkció.

Legyen az y = f(u) függvény a D halmazon, és az u = z(x) függvény a halmazon, és a megfelelő értékre . Ekkor a halmazon definiáljuk az u = f(z(x)) függvényt, amelyet meghívunk összetett funkció x-ből (vagy szuperpozíció meghatározott funkciókat, ill függvény függvényből ).

Az u = z(x) változót hívjuk köztes érvösszetett funkció.

Például az y = sin2x függvény két y = sinus és u = 2x függvény szuperpozíciója. Egy összetett függvénynek több köztes argumentuma is lehet.

4. Több példa megoldása a táblánál.

5. Az óra befejezése.

1) a gyakorlati óra elméleti és alkalmazott eredményei; a tanulók mentális tapasztalati szintjének differenciált értékelése; a téma elsajátításának szintje, kompetenciája, a szóbeli és írásbeli matematikai beszéd minősége; a kreativitás bizonyított szintje; a függetlenség és a reflexió szintje; kezdeményezőkészség, kognitív érdeklődés a matematikai gondolkodás egyéni módszerei iránt; az együttműködés szintjei, a szellemi versengés, a magas szintű oktatási és matematikai tevékenység iránti vágy stb.;

2) indokolt osztályzatok, órapontok kihirdetése.

Építési funkció

Az Ön figyelmébe ajánljuk a függvénygrafikonok online összeállítására szolgáló szolgáltatást, amelynek minden joga a céget illeti Desmos. A bal oldali oszlop segítségével adja meg a függvényeket. Beírhat kézzel vagy az ablak alján található virtuális billentyűzet segítségével. Az ablak grafikonnal való nagyításához elrejtheti a bal oldali oszlopot és a virtuális billentyűzetet is.

Az online térképezés előnyei

• A bevitt funkciók vizuális megjelenítése
• Nagyon összetett grafikonok készítése
• Implicit módon megadott gráfok felépítése (például ellipszis x^2/9+y^2/16=1)
• Lehetőség a diagramok mentésére és a rájuk mutató hivatkozás fogadására, amely mindenki számára elérhetővé válik az interneten
• Skála, vonalszín szabályozása
• Grafikonok pontonkénti ábrázolásának lehetősége, állandók használatával
• Több függvénygrafikon egyidejű ábrázolása
• Polárkoordináták ábrázolása (használjon r és θ(\theta))

Nálunk könnyű különféle bonyolultságú grafikonokat készíteni online. Az építkezés azonnal megtörténik. A szolgáltatás igényes a függvények metszéspontjainak megtalálására, grafikonok ábrázolására azok további mozgatásához. Word dokumentum illusztrációként a feladatok megoldása során, a függvénygráfok viselkedési sajátosságainak elemzésére. A webhely ezen oldalán található diagramokkal való munkavégzéshez az optimális böngésző a Google Chrome. Más böngészők használata esetén a megfelelő működés nem garantált.

Egyciklusú (memóriaelemeket nem tartalmazó) diszkrét logikai eszközök a kimeneten egy bizonyos logikai algebrai függvénykészletet valósítanak meg `F m =(F 1 ,F 2 ,…,F m), amelyek minden pillanatban csak az eszköz bemeneteinek állapotától függenek `x n =(x 1 ,x 2 ,…,x n): `F m = `F m(`x n). A gyakorlatban az ilyen eszközöket különálló, oszthatatlan elemekből tervezik és gyártják, amelyek egy bizonyos készletet (rendszert) valósítanak meg ( f) az algebra elemi függvényei úgy, hogy egyes elemek kimeneteit összekapcsolják mások bemeneteivel.

A logikai eszközök tervezésénél a következő kérdések relevánsak.

1. Adott egy elemi függvényrendszer ( f). Mik a kimeneti funkciók F i a ( f}?

2. Kimeneti logikai függvények ( F) (különösen megegyezik a logikai algebra teljes függvénykészletével R 2). Mi legyen az elemi függvények kezdeti rendszere ( f), lehetőséget biztosítva a kimeneten a halmaz bármely funkciójának megszerzésére ( F}?

Ezekre a kérdésekre ésszerű válaszadásra a függvényrendszerek szuperpozíciója, zártsága és teljessége fogalmait használjuk.

Meghatározás. Tekintsünk egy sor logikai összefüggést ( F), amely valamilyen függvényrendszernek felel meg ( f} . A szuperpozíció vége{f) bármely j függvény, amely egy képlettel megvalósítható a ( F}.

A gyakorlatban a szuperpozíciót a ( f) ugyanabból a halmazból származó függvény argumentumaként.

1. példa. Tekintsünk egy függvényrendszert ( f} = {f 1 (x) =„x, f 2 (x,y)= x&y, f 3 (x,y)=xÚ y). Behelyettesítés a függvénybe f 3 (x,y) az első argumentum helyett x funkció f 1 (x), a második helyett - f 2 (x,y), megkapjuk a szuperpozíciót h(x,y)=f 3 (f 1 (x),f 2 (x,y))=`xÚ x& nál nél. A helyettesítés fizikai megvalósítását az 1.18. ábra mutatja be.

Meghatározás. Hadd M- logikai algebrai függvények bizonyos halmaza ( P 2). Az összes szuperpozíció halmaza M hívott rövidzárlat készletek Més a [ M]. Fogadás [ M]az eredeti készlettel M hívott zárási művelet. Egy csomó M hívott funkcionálisan zárt osztály, Ha [ M] = M. Részhalmaz mÍ M hívott funkcionálisan teljes rendszer M-ben, Ha [ m] = M.

Bezárás [ M] jelenti a függvények teljes halmazát, amelyből beszerezhető M szuperpozíciós művelet alkalmazásával, azaz. minden lehetséges helyettesítés.

Megjegyzések. 1. Nyilvánvalóan bármilyen függvényrendszer ( f) önmagában funkcionálisan teljes.

2 . Az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy az azonosságfüggvény f(x)=x, amely nem változtatja meg a változók igazságértékét, kezdetben bármely függvényrendszer része.

2. példa. Az alábbiakban tárgyalt függvényrendszerekhez ( f) csináld a következőt:

1) megtalálni a lezárást [ f],

2) derítse ki, hogy a rendszer ( f) zárt osztály,

3) megtalálni a funkcionálisan teljes rendszereket a ( f}.

Megoldás.

I. ( f}={0} . A függvény helyettesítésekor ( fº 0) magunkba fogadjuk, i.e. nem jön létre új funkció. Ez azt jelenti: [ f] = {f). A vizsgált rendszer funkcionálisan zárt osztály. A benne lévő funkcionálisan teljes rendszer egy és egyenlő az egésszel ( f}.

II. ( f} = {0,Ø } . Csere Ø (Ø x)azonos függvényt ad, amely formálisan nem terjeszti ki az eredeti rendszert. Ha azonban Ø (0) helyettesítjük, ugyanazt az egységet kapjuk - új funkció, ami nem volt az eredeti rendszerben: Ø (0)=1 . Az összes többi helyettesítés alkalmazása nem vezet új függvények megjelenéséhez, például: ØØ 0 = 0, 0(Ø x)=0.

Így a szuperpozíciós művelet alkalmazása az eredetinél szélesebb függvénykészlet elérését tette lehetővé [ f]=(0,Ø ,1). Ez szigorú bejegyzést jelent: ( f} Ì [ f]. Forrásrendszer {f) funkcionálisan nem zárt osztály. A rendszeren kívül ( f)egyéb funkcionálisan komplett rendszerek nem, mert egy függvényből való szűkítése esetén f= A 0 nem tagadható behelyettesítéssel, és nem nyerhető azonos nulla önmagában a negációs függvényből.

III. ( f) = (& ,Ú ,Ø ).Ennek a rendszernek a lezárása a logikai algebra teljes függvénykészlete. P 2, mivel ezek bármelyikének képlete DNF-ként vagy CNF-ként ábrázolható, amely elemi függvényeket használ ( f) = (& ,Ú ,Ø). Ez a tény konstruktív bizonyítéka a vizsgált függvényrendszer teljességének P 2: [f]=P 2 .

óta ben P 2 végtelen sok más függvényt tartalmaz, kivéve ( f) = (& ,Ú ,Ø ), akkor ez szigorú előfordulást jelent: ( f}Ì[ f]. A vizsgált rendszer nem funkcionálisan zárt osztály.

Magán a rendszeren kívül az alrendszerek funkcionálisan teljesek lesznek ( f) 1 = (& ,Ø ) és ( f) 2 = (Ú ,Ø ). Ez abból adódik, hogy De Morgan szabályait használva az Ú logikai összeadás függvény (& , Ø), a logikai szorzófüggvény pedig & keresztül (Ú, Ø) fejezhető ki:

(x & nál nél) = Ø (` xÚ` nál nél), (x Ú nál nél) = Ø ( x &`nál nél).

Egyéb funkcionálisan teljes alrendszerek a ( f) Nem.

A funkció alrendszer teljességének ellenőrzése ( f) 1 М ( f) az egész rendszerben ( f)keveréssel előállítható ( f) 1 egy másikra, nyilvánvalóan teljes a ( f)rendszer.

Az alrendszer hiányossága ( f) 1 in ( f) igazolható a [ szigorú előfordulásának bizonyításával f 1 ] М [ f].

Meghatározás. Részhalmaz mÍ M hívott funkcionális alapja(alapján)rendszerek M, Ha [ m] = M, és miután bármelyik függvényt kizártunk belőle, a fennmaradóak halmaza nem teljes M .

Megjegyzés. A függvényrendszer alapjai f) mindegyik funkcionálisan teljes alrendszere f) 1, amely nem csökkenthető a teljesség elvesztése nélkül f).

3. példa. A 2. példában tárgyalt összes rendszerhez keressen bázisokat.

Megoldás.Az 1. és 2. esetben csak maguk a rendszerek funkcionálisan teljesek, és nem lehet szűkíteni őket. Ebből következően bázisok is.

A 3. esetben két funkcionálisan teljes van a ( f)alrendszerek ( f) 1 = (&,Ø ) és ( f) 2 =(Ú,Ø ), amely a teljesség elvesztése nélkül nem redukálható. Ők lesznek a rendszer alapjai ( f} = {&,Ú,Ø}.

Meghatározás. Hagyja, hogy a rendszer ( f) zárt osztály. Ennek részhalmaza ( f) 1 М ( f) hívják junior osztályban{f), Ha ( f) 1 nem teljes in ( f} ([f 1 ] М [ f]), és bármely j függvényhez a rendszerből( f), nem szerepel a ( f) 1 (jО( f} \ {f) 1) igaz: [ jÈ { f} 1 ] = [f], azaz jк hozzáadása ( f) 1 teszi teljessé a ( f} .

Feladatok

1. Ellenőrizze a függvénykészletek zártságát:

a) (Ø); b) (1, Ø ); c) ((0111); (10));d) ((11101110); (0110));d) ((0001); (00000001); (0000000000000001); …).

2. Ellenőrizze a funkciórendszerek teljességét P 2:

a) (0,Ø); b) ((0101) , (1010) ); V ); d) ((0001) , (1010) ).

3. Keresse meg a függvényrendszer lezárását és alapját:

a) (0, 1, Ø); b) ((1000) , (1010), (0101) ); c) ((0001) , (1110), (10) ); d) ((1010) , (0001), (0111) ).

1.10.2 Konstansokat megőrző függvények. T 0 és T 1 osztály

Meghatározás. Funkció f(`x n) menti 0 ha f(0,..., 0) = 0. Funkció f(`x n) menti 1 ha f(1, ... , 1) = 1.

Sok funkció n a 0-t és az 1-et tároló változókat jelöljük, T 0 nÉs T 1 n. A 0-t és az 1-et megőrző logikai algebrai függvények összes halmaza , jelöli T 0 És T 1 . Mindegyik készlet T 0 és T Az 1 egy zárt előteljes osztály R 2 .

Az elemi függvényektől a T 0 és T 1 egyidejűleg szerepel, például & és Ú. Bármely funkció osztályokhoz való tartozása T 0 , T Az 1 ellenőrizhető az igazságtáblázatban szereplő értékvektorának első és utolsó értékével, vagy a függvény analitikus megadásakor nullákat és egyeseket közvetlenül behelyettesítve a képletbe.

Meghatározás.Másolat Az a behelyettesítés, amelyben több független változó helyett ugyanazt a változót behelyettesítjük egy függvénybe. Ebben az esetben a korábban egymástól függetlenül vett készletekben lévő változók értéke mindig ugyanaz.

FELADATOK

1.Ellenőrizze az osztálytagságot T 0 És T 1 funkciók:

a) általánosított összeadás, b) általánosított szorzás, c) állandók, d) xyÚ yz, d) x® nál nél® xy, e) xÅ nál nél, és)( x 1 Å … Å x n) ® ( y 1 Å … Å y m) at n,mÎ N.

2. Igazolja az egyes osztályok zártságát! T 0 És T 1 .

3. Bizonyítsa be, hogy ha f(`x n) Ï T 0, akkor abból a helyettesítés megkettőzésével megkaphatjuk az 1-es konstanst vagy negációt.

4. Bizonyítsa be, hogy ha f(`x n) Ï T 1 , akkor abból a helyettesítés megkettőzésével megkaphatjuk a konstans 0-t vagy negációt.

5. Igazolja az egyes osztályok előteljességét! T 0 És T 1 (például úgy, hogy a kiterjesztett rendszert ( f} = {& ,Ú ,Ø }).

6. Keresse meg az osztályok számosságát! T 0 nÉs T 1 n.

Ismerkedjünk meg a függvények szuperpozíciójának (vagy kikényszerítésének) fogalmával, amely abból áll, hogy egy függvényt egy másik argumentumból helyettesítünk az adott függvény argumentuma helyett. Például a függvények szuperpozíciója függvényt ad, és a függvényeket hasonló módon kapjuk meg

BAN BEN Általános nézet, tegyük fel, hogy a függvény egy bizonyos tartományban van definiálva, és a függvény a tartományban van definiálva, és annak értékei mind a tartományban vannak, akkor a z változó, ahogy mondják, y-n keresztül, maga a függvénye

Adott érték esetén először megkeresik a neki megfelelő y értéket (előjellel jellemezhető szabály szerint), majd beállítják a megfelelő y értéket (a szabály szerint

jellel jellemezve annak értékét a kiválasztott x-nek megfelelőnek tekintjük. A függvényből vagy komplex függvényből eredő függvény a függvények szuperpozíciójának eredménye

Az a feltételezés, hogy a függvény értékei nem lépik túl annak az Y régiónak a határait, amelyben a függvény definiálva van, nagyon jelentős: ha kihagyjuk, akkor abszurditás adódhat. Például, ha feltételezzük, hogy csak azokat az x értékeket tudjuk figyelembe venni, amelyekre egyébként a kifejezésnek nem lenne értelme.

Hasznosnak tartjuk itt hangsúlyozni, hogy egy függvény komplexként való jellemzése nem kapcsolódik z x-től való funkcionális függésének természetéhez, hanem csak a függőség specifikációjának módjához. Például engedje be y-nak a Akkor

Itt kiderült, hogy a függvény összetett függvényként van megadva.

Most, hogy a függvények szuperpozíciójának fogalmát teljesen megértettük, pontosan jellemezhetjük az elemzésben vizsgált függvényosztályok legegyszerűbbjét: ezek mindenekelőtt a fent felsorolt ​​elemi függvények, majd mindazok, amelyeket belőlük kapunk. négy aritmetikai művelettel és szuperpozícióval, egymás után véges számú alkalommal alkalmazva. Azt mondják, hogy végső formájukban az elemiben fejeződnek ki; néha eleminek is nevezik.

Ezt követően egy bonyolultabb elemző apparátus (végtelen sorozatok, integrálok) elsajátítása után megismerkedünk más, az elemzésben szintén fontos szerepet játszó, de már az elemi függvények osztályán túlmutató függvényekkel.

Legyen 2 függvény:

: A→B és g: D→F

Legyen benne a g függvény D definíciós tartománya az f függvény értéktartományában (DB). Ezután definiálhat egy új függvényt - szuperpozíció (összetétel, komplex függvény) f és g függvények: z= g( (x)).

Példák. f(x)=x2, g(x)=ex. f:R→R, g:R→R .

(g(x))=e 2x , g((x))=.

Meghatározás

Legyen két függvény. Ekkor összetételük az egyenlőség által meghatározott függvény:

Összetétel tulajdonságai

A kompozíció asszociatív:

Ha F= id x- azonos leképezés x, vagyis

.

Ha G= id Y- azonos leképezés Y, vagyis

.

További tulajdonságok

Megszámlálható és megszámlálhatatlan halmazok.

Két véges halmaz egyenlő számú elemből áll, ha e halmazok között egy az egyhez megfeleltetés állapítható meg. Egy véges halmaz elemeinek száma a halmaz számossága.

Egy végtelen halmaz esetén létrehozhatunk egy-egy megfeleltetést a teljes halmaz és annak része között.

A végtelen halmazok közül a legegyszerűbb az N halmaz.

Meghatározás. Az A és B halmazt hívjuk egyenértékű(AB), ha közöttük egy-egy megfelelés létesíthető.

Ha két véges halmaz ekvivalens, akkor ugyanannyi elemből állnak.

Ha az egymással ekvivalens A és B halmazok tetszőlegesek, akkor azt mondják, hogy A és B ugyanaz erő. (hatvány = ekvivalencia).

A véges halmazok esetében a számosság fogalma egybeesik a halmaz elemszámának fogalmával.

Meghatározás. A készlet ún megszámlálható, ha lehetséges egy-egy megfeleltetést megállapítani közte és a természetes számok halmaza között. (Azaz egy megszámlálható halmaz végtelen, ekvivalens az N halmazzal).

(Azaz egy megszámlálható halmaz minden eleme számozható).

Az egyenlő erőviszonyok tulajdonságai.

1) AA - reflexivitás.

2) AB, majd BA – szimmetria.

3) AB és BC, akkor AC a tranzitivitás.

Példák.

1) n→2n, 2,4,6,… - páros természetesek

2) n→2n-1, 1,3,5,… - páratlan természetesek.

Megszámlálható halmazok tulajdonságai.

1. Egy megszámlálható halmaz végtelen részhalmazai megszámlálhatók.

Bizonyíték. Mert A megszámlálható, ekkor A: x 1, x 2,... - leképezve A-t N-re.

ВА, В: →1,→2,… - B minden elemét hozzárendelte egy természetes számhoz, azaz. B-t N-re leképezve. Ezért B megszámlálható. Stb.

2. Megszámlálható halmazok véges (megszámlálható) rendszerének uniója megszámlálható.

Példák.

1. A Z egész számok halmaza megszámlálható, mert A Z halmaz az A és B megszámlálható halmazok uniójaként ábrázolható, ahol A: 0,1,2,.. és B: -1,-2,-3,...

2. Rengeteg elrendelte párok ((m,n): m,nZ) (azaz (1,3)≠(3,1)).

3 (!) . A racionális számok halmaza megszámlálható.

Q=. A Q irreducibilis törtek halmaza és a rendezett párok halmaza között egy az egyhez megfeleltetés állapítható meg:

Hogy. a Q halmaz ekvivalens a ((p,q))((m,n)) halmazzal.

A ((m,n)) halmaz – az összes rendezett pár halmaza – megszámlálható. Következésképpen a ((p,q)) halmaz megszámlálható, ezért Q megszámlálható.

Meghatározás. Az irracionális szám tetszőleges végtelen tizedes nem időszakos töredék, azaz  0 , 1  2 …

Az összes tizedes tört halmaza alkotja a halmazt valós (valós) számok.

Az irracionális számok halmaza megszámlálhatatlan.

1. tétel. Egy csomó valós számok a (0,1) intervallumból egy megszámlálhatatlan halmaz.

Bizonyíték. Tegyük fel az ellenkezőjét, pl. hogy a (0,1) intervallumban minden szám számozható. Ezután ezeket a számokat végtelen tizedes törtek formájában felírva a következő sorozatot kapjuk:

x 1 =0,a 11 a 12 ...a 1n ...

x 2 =0,a 21 a 22 …a 2n …

…………………..

x n =0,a n 1 a n 2 …a nn …

……………………

Tekintsük most az x=0,b 1 b 2 …b n… valós számot, ahol b 1 bármely szám, amely különbözik a 11-től (0 és 9), b 2 bármely szám, amely különbözik a 22-től, (0 és 9 ) ,…, b n - bármely szám, amely különbözik az a nn-től, (0 és 9).

Hogy. x(0,1), de xx i (i=1,…,n), mert egyébként b i =a ii . Ellentmondáshoz érkeztünk. Stb.

2. tétel. A valós tengely bármely intervalluma megszámlálhatatlan halmaz.

3. tétel. A valós számok halmaza megszámlálhatatlan.

A valós számok halmazával egyenértékű minden halmazról azt mondják, hogy az folytonos teljesítmény(latin kontinuum - folyamatos, folyamatos).

Példa. Mutassuk meg, hogy az intervallumnak kontinuum hatványa van.

Az y=tg x: →R függvény az intervallumot a teljes számegyenesen (grafikonon) jeleníti meg.