Θέμα: «Λειτουργία: έννοια, μέθοδοι ανάθεσης, κύρια χαρακτηριστικά. Αντίστροφη συνάρτηση. Υπέρθεση συναρτήσεων."

Επίγραμμα μαθήματος:

«Μελέτησε κάτι και μην το σκέφτεσαι

μαθημένος - απολύτως άχρηστος.

Να σκέφτεσαι κάτι χωρίς να το μελετάς

προκαταρκτικό θέμα σκέψης -

Κομφούκιος.

Σκοπός και ψυχολογικοί και παιδαγωγικοί στόχοι του μαθήματος:

1) Γενικός εκπαιδευτικός (κανονιστικός) στόχος: Επανεξέταση με τους μαθητές του ορισμού και των ιδιοτήτων μιας συνάρτησης. Εισάγετε την έννοια της υπέρθεσης συναρτήσεων.

2) Στόχοι μαθηματικής ανάπτυξης των μαθητών: χρήση μη τυποποιημένου εκπαιδευτικού και μαθηματικού υλικού για τη συνέχιση της ανάπτυξης της νοητικής εμπειρίας των μαθητών, της ουσιαστικής γνωστικής δομής της μαθηματικής τους νοημοσύνης, συμπεριλαμβανομένων των ικανοτήτων για λογικο-απαγωγική και επαγωγική, αναλυτική και συνθετική αναστρέψιμη σκέψη, αλγεβρική και εικονιστική-γραφική σκέψη , ουσιαστική γενίκευση και συγκεκριμενοποίηση, στον προβληματισμό και την ανεξαρτησία ως μεταγνωστική ικανότητα των μαθητών. να συνεχιστεί η ανάπτυξη μιας κουλτούρας γραπτού και προφορικού λόγου ως ψυχολογικοί μηχανισμοί εκπαιδευτικής και μαθηματικής νοημοσύνης.

3) Εκπαιδευτικά καθήκοντα: να συνεχίσει την προσωπική εκπαίδευση σε μαθητές με γνωστικό ενδιαφέρον για τα μαθηματικά, υπευθυνότητα, αίσθηση καθήκοντος, ακαδημαϊκή ανεξαρτησία, επικοινωνιακή ικανότητα συνεργασίας με την ομάδα, τον δάσκαλο, τους συμμαθητές. αυτοαγωγική ικανότητα για ανταγωνιστική εκπαιδευτική και μαθηματική δραστηριότητα, προσπάθεια για υψηλά και υψηλότερα αποτελέσματα (ακμεϊκό κίνητρο).

Τύπος μαθήματος: εκμάθηση νέου υλικού. σύμφωνα με το κριτήριο του κορυφαίου μαθηματικού περιεχομένου - ένα πρακτικό μάθημα. σύμφωνα με το κριτήριο του είδους της πληροφοριακής αλληλεπίδρασης μεταξύ μαθητών και δασκάλου - μάθημα συνεργασίας.

Εξοπλισμός μαθήματος:

1. Εκπαιδευτική βιβλιογραφία:

1) Kudryavtsev της μαθηματικής ανάλυσης: Σχολικό βιβλίο. για φοιτητές και φοιτητές. Σε 3 τόμους Τ. 3. – 2η έκδ., αναθεωρημένη. και επιπλέον – Μ.: Ανώτερα. σχολείο, 1989. – 352 σελ. : άρρωστος.

2) Προβλήματα Demidovich και ασκήσεις στη μαθηματική ανάλυση. – 9η έκδ. – Μ.: Εκδοτικός οίκος “Nauka”, 1977.

2. Εικονογραφήσεις.

Πρόοδος μαθήματος.

1. Ανακοίνωση του θέματος και του κύριου εκπαιδευτικού στόχου του μαθήματος. τόνωση της αίσθησης του καθήκοντος, της ευθύνης και του γνωστικού ενδιαφέροντος των μαθητών για την προετοιμασία για τη συνεδρία.

2.Επανάληψη υλικού με βάση ερωτήσεις.

α) Ορίστε μια συνάρτηση.

Μία από τις βασικές μαθηματικές έννοιες είναι η έννοια της συνάρτησης. Η έννοια της συνάρτησης συνδέεται με τη δημιουργία μιας σχέσης μεταξύ στοιχείων δύο συνόλων.

Αφήστε δύο μη κενά σετ και δοθούν. Καλείται ένα ταίριασμα f που ταιριάζει με κάθε στοιχείο με ένα και μόνο ένα στοιχείο λειτουργία και γράφει y = f(x). Λένε επίσης ότι η συνάρτηση f εμφανίζει πολλά επί πολλών.

https://pandia.ru/text/79/018/images/image003_18.gif" width="63" height="27">.gif" width="59" height="26"> ονομάζεται σύνολο νοημάτωνσυνάρτηση f και συμβολίζεται με E(f).

β) Αριθμητικές συναρτήσεις. Γράφημα συνάρτησης. Μέθοδοι για τον καθορισμό συναρτήσεων.

Αφήστε τη συνάρτηση να δοθεί.

Αν τα στοιχεία των συνόλων και είναι πραγματικοί αριθμοί, τότε καλείται η συνάρτηση f αριθμητική συνάρτηση . Καλείται η μεταβλητή x επιχείρημαή ανεξάρτητη μεταβλητή, και y – λειτουργίαή εξαρτημένη μεταβλητή(από x). Όσον αφορά τις ίδιες τις ποσότητες x και y, λέγεται ότι είναι in λειτουργική εξάρτηση.

Γράφημα συνάρτησης y = f(x) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου Oxy, για καθένα από τα οποία x είναι η τιμή του ορίσματος και y η αντίστοιχη τιμή της συνάρτησης.

Για να καθορίσετε τη συνάρτηση y = f(x), είναι απαραίτητο να ορίσετε έναν κανόνα που επιτρέπει, γνωρίζοντας το x, να βρείτε την αντίστοιχη τιμή του y.

Οι πιο συνηθισμένοι τρεις τρόποι προσδιορισμού μιας συνάρτησης είναι: αναλυτικός, πίνακας και γραφικός.

Αναλυτική μέθοδος: Μια συνάρτηση καθορίζεται ως ένας ή περισσότεροι τύποι ή εξισώσεις.

Για παράδειγμα:

Εάν ο τομέας ορισμού της συνάρτησης y = f(x) δεν έχει καθοριστεί, τότε θεωρείται ότι συμπίπτει με το σύνολο όλων των τιμών του ορίσματος για το οποίο έχει νόημα ο αντίστοιχος τύπος.

Η αναλυτική μέθοδος προσδιορισμού μιας συνάρτησης είναι η πιο προηγμένη, καθώς συνοδεύεται από μεθόδους μαθηματικής ανάλυσης που καθιστούν δυνατή την πλήρη μελέτη της συνάρτησης y = f(x).

Γραφική μέθοδος: Ορίζει το γράφημα της συνάρτησης.

Το πλεονέκτημα μιας γραφικής εργασίας είναι η σαφήνειά της, το μειονέκτημα είναι η ανακρίβειά της.

Πίνακας μέθοδος: Μια συνάρτηση καθορίζεται από έναν πίνακα με μια σειρά από τιμές ορίσματος και αντίστοιχες τιμές συνάρτησης. Για παράδειγμα, γνωστοί πίνακες τιμών τριγωνομετρικών συναρτήσεων, λογαριθμικοί πίνακες.

γ) Κύρια χαρακτηριστικά της συνάρτησης.

1. Καλείται η συνάρτηση y = f(x), που ορίζεται στο σύνολο D ακόμη και , εάν πληρούνται οι προϋποθέσεις και f(-x) = f(x). περιττός , αν πληρούνται οι προϋποθέσεις και f(-x) = -f(x).

Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα Oy και μια περιττή συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς την αρχή. Για παράδειγμα, – ακόμη και συναρτήσεις. και y = sinx, https://pandia.ru/text/79/018/images/image014_3.gif" width="73" height="29"> – συναρτήσεις γενικής μορφής, δηλαδή ούτε ζυγές ούτε περιττές .

2. Έστω η συνάρτηση y = f(x) ορισμένη στο σύνολο D και έστω . Αν για οποιεσδήποτε τιμές των ορισμάτων ακολουθεί η ακόλουθη ανισότητα: , τότε καλείται η συνάρτηση αυξανόμενη στο σετ? Αν , τότε καλείται η συνάρτηση μη φθίνουσα στη διεύθυνση https://pandia.ru/text/79/018/images/image021_1.gif" width="117" height="28 src=">τότε καλείται η συνάρτηση. μειώνεται στις ; - μη αυξανόμενη .

Αύξηση, μη αυξανόμενη, φθίνουσα και μη φθίνουσα συνάρτηση στο σύνολο https://pandia.ru/text/79/018/images/image023_0.gif" width="13" height="13">Τιμή D (x +T)D και ισχύει η ισότητα f(x+T) = f(x).

Για να σχεδιάσετε ένα γράφημα μιας περιοδικής συνάρτησης της περιόδου T, αρκεί να το σχεδιάσετε σε οποιοδήποτε τμήμα μήκους T και να το συνεχίσετε περιοδικά σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.

Ας σημειώσουμε τις κύριες ιδιότητες μιας περιοδικής συνάρτησης.

1) Το αλγεβρικό άθροισμα των περιοδικών συναρτήσεων που έχουν την ίδια περίοδο T είναι μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο T.

2) Αν η συνάρτηση f(x) έχει περίοδο T, τότε η συνάρτηση f(ax) έχει περίοδο T/a.

δ) Αντίστροφη συνάρτηση.

Έστω μια συνάρτηση y = f(x) με ένα πεδίο ορισμού D και ένα σύνολο τιμών E..gif" width="48" height="22">, μετά μια συνάρτηση x = z(y) με ένα πεδίο ορισμού E και ορίζεται ένα σύνολο τιμών D Μια τέτοια συνάρτηση z(y) ονομάζεται αντίστροφο στη συνάρτηση f(x) και γράφεται με την ακόλουθη μορφή: . Οι συναρτήσεις y = f(x) και x = z(y) λέγονται αμοιβαία αντίστροφες. Για να βρούμε τη συνάρτηση x = z(y), αντίστροφη της συνάρτησης y = f(x), αρκεί να λύσουμε την εξίσωση f(x) = y για το x.

Παραδείγματα:

1. Για τη συνάρτηση y = 2x η αντίστροφη συνάρτηση είναι η συνάρτηση x = ½ y;

2. Για λειτουργία η αντίστροφη συνάρτηση είναι η συνάρτηση .

Από τον ορισμό μιας αντίστροφης συνάρτησης προκύπτει ότι η συνάρτηση y = f(x) έχει αντίστροφη αν και μόνο αν η f(x) καθορίζει μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ των συνόλων D και E. Συνεπάγεται ότι οποιαδήποτε μια αυστηρά μονοτονική συνάρτηση έχει αντίστροφη . Επιπλέον, αν μια συνάρτηση αυξάνεται (μειώνεται), τότε η αντίστροφη συνάρτηση αυξάνεται (μειώνεται).

3. Μελέτη νέου υλικού.

Σύνθετη λειτουργία.

Έστω η συνάρτηση y = f(u) να οριστεί στο σύνολο D και η συνάρτηση u = z(x) στο σύνολο και για την αντίστοιχη τιμή . Τότε ορίζεται η συνάρτηση u = f(z(x)) στο σύνολο, το οποίο καλείται σύνθετη λειτουργία από x (ή προσθήκη καθορισμένες λειτουργίες ή συνάρτηση από συνάρτηση ).

Καλείται η μεταβλητή u = z(x). ενδιάμεσο επιχείρημασύνθετη λειτουργία.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση y = sin2x είναι μια υπέρθεση δύο συναρτήσεων y = sinu και u = 2x. Μια σύνθετη συνάρτηση μπορεί να έχει πολλά ενδιάμεσα ορίσματα.

4. Επίλυση πολλών παραδειγμάτων στον πίνακα.

5. Συμπέρασμα του μαθήματος.

1) θεωρητικά και εφαρμοσμένα αποτελέσματα του πρακτικού μαθήματος. διαφοροποιημένη αξιολόγηση του επιπέδου ψυχικής εμπειρίας των μαθητών. το επίπεδο γνώσης του θέματος, η ικανότητα, η ποιότητα του προφορικού και γραπτού μαθηματικού λόγου· επίπεδο δημιουργικότητας που αποδεικνύεται· επίπεδο ανεξαρτησίας και προβληματισμού· επίπεδο πρωτοβουλίας, γνωστικό ενδιαφέρον για μεμονωμένες μεθόδους μαθηματικής σκέψης. επίπεδα συνεργασίας, πνευματικός ανταγωνισμός, επιθυμία για υψηλά επίπεδα εκπαιδευτικής και μαθηματικής δραστηριότητας κ.λπ.

2) ανακοίνωση αιτιολογημένων βαθμών, μόρια μαθήματος.

Λειτουργία κατασκευής

Προσφέρουμε στην προσοχή σας μια υπηρεσία για την κατασκευή γραφημάτων συναρτήσεων στο διαδίκτυο, όλα τα δικαιώματα της οποίας ανήκουν στην εταιρεία Δεσμός. Χρησιμοποιήστε την αριστερή στήλη για να εισαγάγετε συναρτήσεις. Μπορείτε να εισαγάγετε χειροκίνητα ή χρησιμοποιώντας το εικονικό πληκτρολόγιο στο κάτω μέρος του παραθύρου. Για να μεγεθύνετε το παράθυρο με το γράφημα, μπορείτε να αποκρύψετε τόσο την αριστερή στήλη όσο και το εικονικό πληκτρολόγιο.

Οφέλη από τη διαδικτυακή χαρτογράφηση

• Οπτική εμφάνιση των εισαγόμενων λειτουργιών
• Δημιουργία πολύ περίπλοκων γραφημάτων
• Κατασκευή γραφημάτων που καθορίζονται σιωπηρά (για παράδειγμα, έλλειψη x^2/9+y^2/16=1)
• Η δυνατότητα αποθήκευσης γραφημάτων και λήψης συνδέσμου προς αυτά, η οποία γίνεται διαθέσιμη σε όλους στο Διαδίκτυο
• Έλεγχος κλίμακας, χρώμα γραμμής
• Δυνατότητα σχεδίασης γραφημάτων ανά σημεία, με χρήση σταθερών
• Σχεδίαση πολλών γραφημάτων συναρτήσεων ταυτόχρονα
• Σχεδίαση σε πολικές συντεταγμένες (χρησιμοποιήστε r και θ(\theta))

Μαζί μας είναι εύκολο να δημιουργήσετε γραφήματα διαφορετικής πολυπλοκότητας στο διαδίκτυο. Η κατασκευή γίνεται άμεσα. Η υπηρεσία είναι σε ζήτηση για εύρεση σημείων τομής συναρτήσεων, για απεικόνιση γραφημάτων για την περαιτέρω μετακίνησή τους σε Έγγραφο του Wordως εικονογραφήσεις κατά την επίλυση προβλημάτων, για την ανάλυση των χαρακτηριστικών συμπεριφοράς των γραφημάτων συναρτήσεων. Το βέλτιστο πρόγραμμα περιήγησης για εργασία με γραφήματα σε αυτήν τη σελίδα του ιστότοπου είναι Google Chrome. Η σωστή λειτουργία δεν είναι εγγυημένη όταν χρησιμοποιείτε άλλα προγράμματα περιήγησης.

Οι διακριτές λογικές συσκευές ενός κύκλου (δεν περιέχουν στοιχεία μνήμης) εφαρμόζουν στην έξοδο ένα συγκεκριμένο σύνολο συναρτήσεων λογικής άλγεβρας `F m =(φά 1 ,ΦΑ 2 ,…,F m), τα οποία σε κάθε χρονική στιγμή εξαρτώνται μόνο από την κατάσταση των εισόδων της συσκευής `x n =(x 1 ,χ 2 ,…,x n): `F m = `F m(`x n). Στην πράξη, τέτοιες συσκευές σχεδιάζονται και κατασκευάζονται από ξεχωριστά αδιαίρετα στοιχεία που υλοποιούν ένα συγκεκριμένο σύνολο (σύστημα) ( φά) στοιχειώδεις συναρτήσεις της άλγεβρας συνδέοντας τις εξόδους ορισμένων στοιχείων με τις εισόδους άλλων.

Κατά το σχεδιασμό λογικών συσκευών, οι ακόλουθες ερωτήσεις είναι σχετικές.

1. Δίνεται ένα σύστημα στοιχειωδών συναρτήσεων ( φά). Ποιες είναι οι συναρτήσεις εξόδου; F iμπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας συναρτήσεις από ( φά}?

2. Ένα σύνολο συναρτήσεων Boolean εξόδου ( φά) (συγκεκριμένα, ίσο με ολόκληρο το σύνολο των συναρτήσεων της άλγεβρας της λογικής R 2). Ποιο θα πρέπει να είναι το αρχικό σύστημα στοιχειωδών συναρτήσεων ( φά), παρέχοντας τη δυνατότητα λήψης στην έξοδο οποιασδήποτε από τις λειτουργίες του συνόλου ( φά}?

Για να δοθεί μια λογική απάντηση σε αυτά τα ερωτήματα, χρησιμοποιούνται οι έννοιες της υπέρθεσης, της κλειστότητας και της πληρότητας των συστημάτων συναρτήσεων.

Ορισμός.Ας εξετάσουμε ένα σύνολο λογικών συνδέσεων ( φά), που αντιστοιχεί σε κάποιο σύστημα συναρτήσεων ( φά} . Τελείωσε η υπέρθεση{φά) είναι οποιαδήποτε συνάρτηση j που μπορεί να πραγματοποιηθεί με έναν τύπο πάνω από ( φά}.

Στην πράξη, η υπέρθεση μπορεί να αναπαρασταθεί ως το αποτέλεσμα αντικατάστασης συναρτήσεων από ( φά) ως ορίσματα σε μια συνάρτηση από το ίδιο σύνολο.

Παράδειγμα 1. Εξετάστε ένα σύστημα συναρτήσεων ( φά} = {φά 1 (Χ) =`x, f 2 (x,y)= Χ&y, f 3 (x,y)=ΧÚ y). Αντικατάσταση στη συνάρτηση φά 3 (x,y) αντί για το πρώτο όρισμα Χλειτουργία φά 1 (Χ), αντί για το δεύτερο - φά 2 (x,y), παίρνουμε την υπέρθεση η(x,y)=φά 3 (φά 1 (Χ),φά 2 (x,y))=`xÚ Χ& στο. Η φυσική υλοποίηση της αντικατάστασης δίνεται στο Σχ. 1.18.

Ορισμός.Αφήνω Μ-ορισμένο σύνολο συναρτήσεων λογικής άλγεβρας( Π 2). Το σύνολο όλων των υπερθέσεων έχει τελειώσει Μκάλεσε βραχυκύκλωμασκηνικά Μκαι συμβολίζεται με [ Μ]. Λήψη [ Μ]από το αρχικό σετ Μκάλεσε λειτουργία κλεισίματος. Πολοί Μκάλεσε λειτουργικά κλειστή τάξη, Αν [ Μ] = Μ. Υποσύνολο mÍ Μκάλεσε λειτουργικά πλήρες σύστημα στο Μ, Αν [ m] = Μ.

Κλείσιμο [ Μ] αντιπροσωπεύει ολόκληρο το σύνολο των συναρτήσεων που μπορούν να ληφθούν από Μεφαρμόζοντας την πράξη υπέρθεσης, δηλ. όλες τις πιθανές αντικαταστάσεις.

Σημειώσεις. 1.Προφανώς, οποιοδήποτε σύστημα λειτουργιών ( φά) είναι λειτουργικά πλήρης από μόνη της.

2 . Χωρίς απώλεια γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι η ταυτότητα λειτουργεί φά(Χ)=x, το οποίο δεν αλλάζει τις τιμές αλήθειας των μεταβλητών, είναι αρχικά μέρος οποιουδήποτε συστήματος συναρτήσεων.

Παράδειγμα 2. Για τα συστήματα λειτουργιών που συζητούνται παρακάτω ( φά) κάντε τα εξής:

1) βρείτε το κλείσιμο [ φά],

2) μάθετε εάν το σύστημα ( φά) κλειστή τάξη,

3) βρείτε λειτουργικά πλήρη συστήματα στο ( φά}.

Διάλυμα.

Ι. ( φά}={0} . Κατά την αντικατάσταση της συνάρτησης ( fº 0) το λαμβάνουμε στον εαυτό μας, δηλ. δεν δημιουργούνται νέες λειτουργίες. Ακολουθεί: [ φά] = {φά). Το εξεταζόμενο σύστημα είναι μια λειτουργικά κλειστή κατηγορία. Το λειτουργικά πλήρες σύστημα σε αυτό είναι ένα και ίσο με το σύνολο ( φά}.

II. ( φά} = {0,Ø } . Αλλαγή Ø (Ø Χ) δίνει μια πανομοιότυπη λειτουργία που δεν επεκτείνει επίσημα το αρχικό σύστημα. Ωστόσο, όταν αντικαθιστούμε το Ø (0) παίρνουμε την ίδια μονάδα - νέο χαρακτηριστικό, που δεν ήταν στο αρχικό σύστημα: Ø (0)=1 . Η εφαρμογή όλων των άλλων αντικαταστάσεων δεν οδηγεί στην εμφάνιση νέων συναρτήσεων, για παράδειγμα: ØØ 0 = 0, 0 (Ø Χ)=0.

Έτσι, η χρήση της λειτουργίας υπέρθεσης κατέστησε δυνατή την απόκτηση ενός ευρύτερου συνόλου συναρτήσεων από το αρχικό [ φά]=(0,Ø ,1). Αυτό συνεπάγεται αυστηρή καταχώριση: ( φά} Ì [ φά]. Σύστημα πηγής {φά) δεν είναι λειτουργικά κλειστή τάξη. Εκτός από το ίδιο το σύστημα ( φά) άλλα λειτουργικά πλήρη συστήματαδεν το κάνει, γιατί στην περίπτωση της στένωσης του από μια συνάρτηση f=Το 0 δεν μπορεί να αναιρεθεί με αντικατάσταση και το ίδιο μηδέν δεν μπορεί να ληφθεί μόνο από τη συνάρτηση άρνησης.

III. ( φά) = (& ,Ú ,Ø ).Το κλείσιμο αυτού του συστήματος είναι ολόκληρο το σύνολο των συναρτήσεων της άλγεβρας της λογικής Π 2, αφού ο τύπος οποιουδήποτε από αυτούς μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή DNF ή CNF, που χρησιμοποιεί στοιχειώδεις συναρτήσεις ( φά) = (& ,Ú ,Ø). Αυτό το γεγονός είναι μια εποικοδομητική απόδειξη της πληρότητας του εξεταζόμενου συστήματος λειτουργιών στο Π 2: [φά]=Π 2 .

Από μέσα ΠΤο 2 περιέχει έναν άπειρο αριθμό άλλων συναρτήσεων εκτός από ( φά) = (& ,Ú ,Ø ), τότε αυτό συνεπάγεται ένα αυστηρό συμβάν: ( φά}Ì[ φά]. Το εξεταζόμενο σύστημα δεν είναι λειτουργικά κλειστή κατηγορία.

Εκτός από το ίδιο το σύστημα, τα υποσυστήματα θα είναι λειτουργικά πλήρη ( φά) 1 = (& ,Ø ) και ( φά) 2 = (Ú ,Ø ). Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι, χρησιμοποιώντας τους κανόνες του De Morgan, η συνάρτηση λογικής πρόσθεσης Ú μπορεί να εκφραστεί μέσω (& , Ø) και η συνάρτηση λογικού πολλαπλασιασμού & μέσω (Ú, Ø):

(Χ & στο) = Ø (` ΧÚ` στο), (Χ Ú στο) = Ø ( Χ &`στο).

Άλλα λειτουργικά πλήρη υποσυστήματα σε ( φά) Όχι.

Έλεγχος της πληρότητας του υποσυστήματος συνάρτησης ( φά) 1 Μ ( φά) σε ολόκληρο το σύστημα ( φά)μπορεί να παραχθεί με ανάμειξη ( φά) 1 σε άλλο, προφανώς πλήρης σε ( φά)σύστημα.

Ημιτελή του υποσυστήματος ( φά) 1 σε ( φά)μπορεί να επαληθευτεί αποδεικνύοντας την αυστηρή εμφάνιση [ φά 1 ] М [ φά].

Ορισμός.Υποσύνολο mÍ Μκάλεσε λειτουργική βάση(βάση)συστήματα Μ, Αν [ m] = Μ, και αφού εξαιρέσουμε οποιαδήποτε συνάρτηση από αυτήν, το σύνολο των υπόλοιπων δεν είναι πλήρες Μ .

Σχόλιο. Βάσεις του συστήματος συναρτήσεων (φά)είναι όλα τα λειτουργικά πλήρη υποσυστήματα του (φά) 1, το οποίο δεν μπορεί να μειωθεί χωρίς απώλεια πληρότητας (φά).

Παράδειγμα 3. Για όλα τα συστήματα που εξετάζονται στο Παράδειγμα 2, βρείτε βάσεις.

Διάλυμα.Στις περιπτώσεις 1 και 2 μόνο τα ίδια τα συστήματα είναι λειτουργικά πλήρη και είναι αδύνατο να περιοριστούν. Κατά συνέπεια, είναι και βάσεις.

Στην περίπτωση 3 υπάρχουν δύο λειτουργικά πλήρεις σε ( φά) υποσυστήματα ( φά) 1 = (&,Ø ) και ( φά) 2 =(Ú,Ø ), το οποίο δεν μπορεί να μειωθεί χωρίς απώλεια πληρότητας. Θα είναι οι βάσεις του συστήματος ( φά} = {&,Ú,Ø}.

Ορισμός.Αφήστε το σύστημα ( φά) είναι μια κλειστή τάξη. Το υποσύνολο του ( φά) 1 Μ ( φά) καλούνται junior class in{φά), αν ( φά) 1 δεν είναι πλήρες σε ( φά} ([φά 1 ] М [ φά]), και για οποιαδήποτε συνάρτηση j από το σύστημα( φά), δεν περιλαμβάνεται στο ( φά) 1 (jΟ( φά} \ {φά) 1) αληθές: [ ιÈ { φά} 1 ] = [φά], δηλ. προσθέτοντας jκ ( φά) 1 το ολοκληρώνει σε ( φά} .

Καθήκοντα

1. Ελέγξτε την κλειστότητα των συνόλων συναρτήσεων:

α) (Ø); β) (1, Ø ); γ) ((0111)· (10))·δ) ((11101110); (0110))·δ) ((0001); (00000001)· (00000000000000001); …).

2. Ελέγξτε την πληρότητα των συστημάτων λειτουργιών Π 2:

α) (0,Ø); β) ((0101) , (1010) ); V ); δ) ((0001) , (1010) ).

3. Βρείτε το κλείσιμο του συστήματος συναρτήσεων και τη βάση του:

α) (0, 1, Ø); β) ((1000) , (1010), (0101)); γ) ((0001), (1110), (10)); δ) ((1010) , (0001), (0111) ).

1.10.2 Συναρτήσεις που διατηρούν σταθερές. Τάξεις Τ 0 και Τ 1

Ορισμός.Λειτουργία φά(`x n) σώζει 0 αν φά(0,..., 0) = 0. Λειτουργία φά(`x n) σώζει 1 αν φά(1, ... , 1) = 1.

Πολλά χαρακτηριστικά nΟι μεταβλητές που αποθηκεύουν το 0 και το 1 συμβολίζονται, αντίστοιχα, Τ 0 nΚαι Τ 1 n. Όλα τα σύνολα συναρτήσεων λογικής άλγεβρας που διατηρούν το 0 και το 1 , δείχνω Τ 0 Και Τ 1. Κάθε ένα από τα σετ Τ 0 και Τ 1 είναι μια κλειστή προολοκληρωμένη τάξη στο R 2 .

Από τις στοιχειώδεις λειτουργίες έως Τ 0 και Τ 1 περιλαμβάνονται ταυτόχρονα, για παράδειγμα, & και Ú. Ανήκει οποιαδήποτε λειτουργία σε κλάσεις Τ 0 , ΤΤο 1 μπορεί να ελεγχθεί από την πρώτη και την τελευταία τιμή του διανύσματος τιμών του στον πίνακα αληθείας ή αντικαθιστώντας απευθείας τα μηδενικά και τα μονά στον τύπο κατά τον αναλυτικό προσδιορισμό της συνάρτησης.

Ορισμός.Αντίγραφοείναι μια αντικατάσταση στην οποία η ίδια μεταβλητή αντικαθίσταται σε μια συνάρτηση αντί για πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές. Σε αυτήν την περίπτωση, οι τιμές των μεταβλητών σε σύνολα που προηγουμένως έπαιρναν τιμές ανεξάρτητα το ένα από το άλλο θα είναι πάντα οι ίδιες.

ΚΑΘΗΚΟΝΤΑ

1. Ελέγξτε τη συμμετοχή στην τάξη Τ 0 Και Τ 1λειτουργίες:

α) γενικευμένη πρόσθεση, β) γενικευμένος πολλαπλασιασμός, γ) σταθερές, δ) xyÚ yz, δ) Χ® στο® xy, ε) ΧÅ στο, και)( Χ 1 Å … Å Χ n) ® ( y 1 Å … Å yιγ) στο n,mÎ Ν.

2. Να αποδείξετε την κλειστότητα κάθε τάξης Τ 0 Και Τ 1 .

3. Να αποδείξετε ότι αν φά(`x n) Ï Τ 0, τότε από αυτό, αντιγράφοντας την αντικατάσταση, μπορείτε να πάρετε τη σταθερά 1 ή την άρνηση.

4. Να αποδείξετε ότι αν φά(`x n) Ï Τ 1 , τότε από αυτό, αντιγράφοντας την αντικατάσταση, μπορείτε να πάρετε τη σταθερά 0 ή άρνηση.

5. Να αποδείξετε την προ-πληρότητα καθεμιάς από τις τάξεις Τ 0 Και Τ 1 (για παράδειγμα, μειώνοντας το επαυξημένο σύστημα σε ( φά} = {& ,Ú ,Ø }).

6. Βρείτε τη δύναμη των τάξεων Τ 0 nΚαι Τ 1 n.

Ας εξοικειωθούμε με την έννοια της υπέρθεσης (ή επιβολής) συναρτήσεων, η οποία συνίσταται στην αντικατάσταση μιας συνάρτησης από ένα άλλο όρισμα αντί του ορίσματος μιας δεδομένης συνάρτησης. Για παράδειγμα, μια υπέρθεση συναρτήσεων δίνει μια συνάρτηση και οι συναρτήσεις λαμβάνονται με παρόμοιο τρόπο

ΣΕ γενική άποψη, ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση ορίζεται σε ένα συγκεκριμένο τομέα και η συνάρτηση ορίζεται στον τομέα και οι τιμές της περιέχονται όλες στον τομέα, τότε η μεταβλητή z, όπως λένε, μέσω του y, είναι η ίδια συνάρτηση του

Δίνοντας μια δεδομένη τιμή, βρίσκουν πρώτα την τιμή y που αντιστοιχεί σε αυτήν (σύμφωνα με τον κανόνα που χαρακτηρίζεται από ένα σύμβολο) και στη συνέχεια ορίζουν την αντίστοιχη τιμή y (σύμφωνα με τον κανόνα

χαρακτηρίζεται από ένα πρόσημο, η τιμή του θεωρείται ότι αντιστοιχεί στο επιλεγμένο x. Η συνάρτηση που προκύπτει από μια συνάρτηση ή μια σύνθετη συνάρτηση είναι το αποτέλεσμα μιας υπέρθεσης συναρτήσεων

Η υπόθεση ότι οι τιμές της συνάρτησης δεν υπερβαίνουν τα όρια της περιοχής Y στην οποία ορίζεται η συνάρτηση είναι πολύ σημαντική: εάν παραλειφθεί, τότε μπορεί να προκύψει παραλογισμός. Για παράδειγμα, υποθέτοντας ότι μπορούμε να εξετάσουμε μόνο εκείνες τις τιμές του x για τις οποίες διαφορετικά η έκφραση δεν θα είχε νόημα.

Θεωρούμε χρήσιμο να τονίσουμε εδώ ότι ο χαρακτηρισμός μιας συνάρτησης ως σύνθετης δεν σχετίζεται με τη φύση της συναρτησιακής εξάρτησης του z από το x, αλλά μόνο με τον τρόπο που προσδιορίζεται αυτή η εξάρτηση. Για παράδειγμα, αφήστε για y για Τότε

Εδώ η συνάρτηση αποδείχθηκε ότι καθορίζεται ως σύνθετη συνάρτηση.

Τώρα που η έννοια της υπέρθεσης συναρτήσεων είναι πλήρως κατανοητή, μπορούμε να χαρακτηρίσουμε με ακρίβεια την απλούστερη από αυτές τις κατηγορίες συναρτήσεων που μελετώνται στην ανάλυση: αυτές είναι, πρώτα απ 'όλα, οι στοιχειώδεις συναρτήσεις που αναφέρονται παραπάνω και στη συνέχεια όλες εκείνες που λαμβάνονται από αυτές χρησιμοποιώντας τέσσερις αριθμητικές πράξεις και υπερθέσεις, εφαρμόζονται διαδοχικά πεπερασμένος αριθμός φορών. Λέγεται ότι εκφράζονται μέσω του στοιχειώδους στην τελική τους μορφή. μερικές φορές λέγονται και στοιχειώδεις.

Στη συνέχεια, έχοντας κατακτήσει μια πιο περίπλοκη αναλυτική συσκευή (άπειρες σειρές, ολοκληρώματα), θα εξοικειωθούμε με άλλες συναρτήσεις που παίζουν επίσης σημαντικό ρόλο στην ανάλυση, αλλά ήδη ξεπερνούν την κατηγορία των στοιχειωδών συναρτήσεων.

Έστω ότι υπάρχουν 2 λειτουργίες:

: A→B και g: D→F

Έστω το πεδίο ορισμού D της συνάρτησης g να περιλαμβάνεται στο πεδίο τιμών της συνάρτησης f (DB). Στη συνέχεια, μπορείτε να ορίσετε μια νέα συνάρτηση - υπέρθεση (σύνθεση, σύνθετη συνάρτηση)συναρτήσεις f και g: z= σολ( (x)).

Παραδείγματα. f(x)=x 2, g(x)=e x. f:R→R, g:R→R .

(g(x))=e 2x , g((x))=.

Ορισμός

Έστω δύο λειτουργίες. Τότε η σύνθεσή τους είναι η συνάρτηση που ορίζεται από την ισότητα:

Ιδιότητες σύνθεσης

Η σύνθεση είναι συνειρμική:

Αν φά= id Χ- πανομοιότυπη αντιστοίχιση με Χ, δηλαδή

.

Αν σολ= id Υ- πανομοιότυπη αντιστοίχιση με Υ, δηλαδή

.

Πρόσθετες ιδιότητες

Αριθμήσιμα και μη μετρήσιμα σύνολα.

Δύο πεπερασμένα σύνολα αποτελούνται από ίσο αριθμό στοιχείων εάν μπορεί να καθοριστεί μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ αυτών των συνόλων. Ο αριθμός των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου είναι η πληθώρα του συνόλου.

Για ένα άπειρο σύνολο, μπορεί κανείς να δημιουργήσει μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ ολόκληρου του συνόλου και του μέρους του.

Το απλούστερο από τα άπειρα σύνολα είναι το σύνολο N.

Ορισμός.Τα σύνολα Α και Β λέγονται ισοδύναμος(AB), εάν μπορεί να δημιουργηθεί αντιστοιχία ένας προς έναν μεταξύ τους.

Αν δύο πεπερασμένα σύνολα είναι ισοδύναμα, τότε αποτελούνται από τον ίδιο αριθμό στοιχείων.

Αν τα σύνολα Α και Β που είναι ισοδύναμα μεταξύ τους είναι αυθαίρετα, τότε λένε ότι τα Α και Β έχουν το ίδιο εξουσία. (ισχύς = ισοδυναμία).

Για τα πεπερασμένα σύνολα, η έννοια της καρδινικότητας συμπίπτει με την έννοια του αριθμού των στοιχείων του συνόλου.

Ορισμός.Το σετ λέγεται αριθμητός, εάν είναι δυνατό να καθοριστεί μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ αυτού και του συνόλου των φυσικών αριθμών. (Δηλαδή, ένα μετρήσιμο σύνολο είναι άπειρο, ισοδύναμο με το σύνολο N).

(Δηλαδή, όλα τα στοιχεία ενός αριθμήσιμου συνόλου μπορούν να αριθμηθούν).

Ιδιότητες των σχέσεων ίσων δυνάμεων.

1) AA - ανακλαστικότητα.

2) AB, μετά BA – συμμετρία.

3) AB και BC, τότε το AC είναι μεταβατικότητα.

Παραδείγματα.

1) n→2n, 2,4,6,… - ακόμη και φυσικά

2) n→2n-1, 1,3,5,… - περιττές φυσικές.

Ιδιότητες μετρήσιμων συνόλων.

1. Άπειρα υποσύνολα ενός αριθμήσιμου συνόλου είναι μετρήσιμα.

Απόδειξη. Επειδή Το Α είναι μετρήσιμο, τότε το Α: x 1, x 2,... - αντιστοιχίστηκε το Α στο Ν.

ВА, В: →1,→2,… - εκχωρεί σε κάθε στοιχείο του Β έναν φυσικό αριθμό, δηλ. χαρτογραφήθηκε το Β στο Ν. Επομένως το Β είναι μετρήσιμο. Και τα λοιπά.

2. Η ένωση ενός πεπερασμένου (αριθμήσιμου) συστήματος αριθμήσιμων συνόλων είναι αριθμήσιμη.

Παραδείγματα.

1. Το σύνολο των ακεραίων Z είναι μετρήσιμο, γιατί Το σύνολο Z μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένωση μετρήσιμων συνόλων Α και Β, όπου Α: 0,1,2,.. και Β: -1,-2,-3,...

2. Πολλά παρήγγειλεζεύγη ((m,n): m,nZ) (δηλ. (1,3)≠(3,1)).

3 (!) . Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι μετρήσιμο.

Q=. Μπορεί κανείς να δημιουργήσει μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ του συνόλου των μη αναγώγιμων κλασμάτων Q και του συνόλου των διατεταγμένων ζευγών:

Οτι. το σύνολο Q είναι ισοδύναμο με το σύνολο ((p,q))((m,n)).

Το σύνολο ((m,n)) – το σύνολο όλων των διατεταγμένων ζευγών – είναι μετρήσιμο. Κατά συνέπεια, το σύνολο ((p,q)) είναι μετρήσιμο και επομένως το Q είναι μετρήσιμο.

Ορισμός.Ένας παράλογος αριθμός είναι ένα αυθαίρετο άπειρο δεκαδικό μη περιοδικήκλάσμα, δηλ.  0, 1  2…

Το σύνολο όλων των δεκαδικών κλασμάτων σχηματίζει το σύνολο πραγματικοί (πραγματικοί) αριθμοί.

Το σύνολο των παράλογων αριθμών είναι αμέτρητο.

Θεώρημα 1. Πολοί πραγματικούς αριθμούςαπό το διάστημα (0,1) είναι ένα μη μετρήσιμο σύνολο.

Απόδειξη. Ας υποθέσουμε το αντίθετο, δηλ. ότι όλοι οι αριθμοί στο διάστημα (0,1) μπορούν να αριθμηθούν. Στη συνέχεια, γράφοντας αυτούς τους αριθμούς με τη μορφή άπειρων δεκαδικών κλασμάτων, παίρνουμε την ακολουθία:

x 1 =0,a 11 a 12 ...a 1n ...

x 2 =0,a 21 a 22 …a 2n…

…………………..

x n =0,a n 1 a n 2 …a nn…

……………………

Ας εξετάσουμε τώρα τον πραγματικό αριθμό x=0,b 1 b 2 …b n…, όπου b 1 είναι οποιοσδήποτε αριθμός διαφορετικός από ένα 11, (0 και 9), b 2 είναι οποιοσδήποτε αριθμός διαφορετικός από ένα 22, (0 και 9 ) ,…, b n - οποιοσδήποτε αριθμός διαφορετικός από ένα nn, (0 και 9).

Οτι. x(0,1), αλλά xx i (i=1,…,n) επειδή διαφορετικά, b i =a ii . Φτάσαμε σε μια αντίφαση. Και τα λοιπά.

Θεώρημα 2.Οποιοδήποτε διάστημα του πραγματικού άξονα είναι ένα μη μετρήσιμο σύνολο.

Θεώρημα 3.Το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι αμέτρητο.

Σχετικά με οποιοδήποτε σύνολο ισοδύναμο με το σύνολο των πραγματικών αριθμών λέγεται ότι είναι συνεχούς ισχύος(Λατινική συνέχεια – συνεχής, συνεχής).

Παράδειγμα. Ας δείξουμε ότι το διάστημα έχει τη δύναμη ενός συνεχούς.

Η συνάρτηση y=tg x: →R εμφανίζει το διάστημα σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή (γραφική παράσταση).