Всички позиционни бройни системиса равни, но в зависимост от задачите, които човек решава с числа, той може да използва бройни системи с различни бази.

Най-често използваната бройна система е десетичната бройна система, т.е. бройна система, чиято азбука се състои от десет цифри (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) и съответно основата е равна на десет. Широкото използване на тази бройна система е лесно обяснимо.

Първо, записването на число в десетичната бройна система е доста компактно, и второ, десетичната бройна система се използва от човечеството от няколко века. През това време хората са свикнали с числата, с писането на числа и произнасянето на числата в десетичната бройна система, например записът „15“ е разбираем за всеки човек и той ще го прочете като петнадесет, но същото число написано в двоичната бройна система „1111“ предизвиква поне леко недоумение как се чете това число. И все пак е недвусмислено да се каже, че десетичната бройна система еоптимален избор

човечеството не може да работи с числа. Нека докажем това с няколко примера.

Всички помните таблицата за умножение и, разбира се, си спомняте колко усилия трябваше да положите, за да научите тази таблица. Тук няма да даваме таблицата за умножение в десетичната бройна система, но за сравнение даваме таблицата за умножение в двоичната бройна система:

Както можете да видите, таблицата за умножение в двоичната бройна система изглежда много по-проста, отколкото в десетичната бройна система.

Компактността на записване на числата в десетичната бройна система също не е най-висока във всички бройни системи с основа, по-голяма от десет, числата ще бъдат написани по-компактно, например същото число „15“ ще бъде написано като „F“; в шестнадесетичната бройна система.

Както вече беше споменато в параграф 5, двоичната бройна система е възприета за запис на числа в компютър. В този параграф трябва да разберем как числата са представени в компютърната памет; за това ще бъде достатъчно да разберем правилата за преобразуване на десетични числа в двоична бройна система.

1. Число, записано в бройна система с основа десет, се дели с остатък на две (основа нова системачисло), записано с цифри от числовата система с основа десет (стара бройна система), докато частното завърши с 0.

2. Остатъците, получени от деленето, записани в обратен ред, образуват число в новата бройна система с основа две.

Това правило е по-удобно за използване за преобразуване на числа от десетичната бройна система. За да преобразувате обратно в десетичната бройна система е по-удобно да използвате т.нар Схема на Хорнер.

1.Номерирайте позициите в числото от дясно на ляво, започвайки от нула;

2. Съставете редица, представляваща сумата от произведенията на цифрите на числото по основата на старата бройна система, записана с цифрите на новата бройна система, повдигната на степен, равна на номера на позицията на цифрата в номер;

3. Намерете сбора на редицата.

Нека разгледаме тези правила, като използваме конкретни примери.

Пример 1: Запишете десетичното число 121 в двоична бройна система.

121 | 2 121 D =1111001 B

120 60 | 2

1 60 30 | 2

0 30 15 | 2

0 14 7 | 2

1 6 3 | 2

Калкулаторът ви позволява да конвертирате цели и дробни числа от една бройна система в друга. Основата на бройната система не може да бъде по-малко от 2 и повече от 36 (все пак 10 цифри и 26 латински букви). Дължината на числата не трябва да надвишава 30 знака. За да въведете дробни числа, използвайте символа. или, . За да конвертирате число от една система в друга, въведете оригиналното число в първото поле, основа оригинална системаномер във второто и основата на бройната система, в която искате да преобразувате числото в третото поле, след което щракнете върху бутона "Вземи запис".

Оригинален номер написана на 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -та бройна система.

Искам да напиша число 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -та бройна система.

Вземете вход

Завършени преводи: 3443470

Може също да се интересувате от:

• Калкулатор с таблица на истината. SDNF. SKNF. Полином на Жегалкин

Бройни системи

Бройните системи са разделени на два вида: позиционени не позиционно. Използваме арабската система, тя е позиционна, но има и римска система - тя не е позиционна. IN позиционни системиПозицията на цифра в число еднозначно определя стойността на това число. Това е лесно да се разбере, като се разгледа някакво число като пример.

Пример 1. Нека вземем числото 5921 в десетичната бройна система. Нека номерираме числото отдясно наляво, започвайки от нула:

Числото 5921 може да се запише в следния вид: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Числото 10 е характеристика, която определя бройната система. Стойностите на позицията на дадено число се приемат като степени.

Пример 2. Помислете за реалното десетично число 1234,567. Нека го номерираме, започвайки от нулевата позиция на числото от десетичната запетая наляво и надясно:

Числото 1234.567 може да се запише в следната форма: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .

Преобразуване на числа от една бройна система в друга

Повечето по прост начинпреобразуването на число от една бройна система в друга означава първо да преобразувате числото в десетична бройна система, а след това получения резултат в необходимата бройна система.

Преобразуване на числа от произволна бройна система в десетична бройна система

За да преобразувате число от която и да е бройна система в десетична, е достатъчно да номерирате цифрите му, като започнете с нула (цифрата вляво от десетичната запетая) подобно на примери 1 или 2. Нека намерим сумата от произведенията на цифрите на числото по основата на бройната система на степен на позицията на тази цифра:

1. Преобразувайте числото 1001101.1101 2 в десетичната бройна система.
Решение: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
отговор: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Преобразувайте числото E8F.2D 16 в десетичната бройна система.
Решение: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
отговор: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Преобразуване на числата от десетичната бройна система в друга бройна система

За да преобразувате числата от десетичната бройна система в друга бройна система, целите и дробните части на числото трябва да се преобразуват отделно.

Преобразуване на цяла част от число от десетична бройна система в друга бройна система

Една цяла част се преобразува от десетична бройна система в друга бройна система чрез последователно разделяне на цялата част от числото на основата на бройната система, докато се получи цял остатък, който е по-малък от основата на бройната система. Резултатът от превода ще бъде запис на остатъка, като се започне от последния.

3. Преобразувайте числото 273 10 в осмичната бройна система.
Решение: 273/8 = 34 и остатък 1. 34/8 = 4 и остатък 2. 4 е по-малко от 8, така че изчислението е завършено. Записът от балансите ще изглежда така: 421
преглед: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, резултатът е същият. Това означава, че преводът е направен правилно.
отговор: 273 10 = 421 8

Помислете за превода на правилните десетични дроби в различни системиОтчитане.

Преобразуване на дробната част на число от десетичната бройна система в друга бройна система

Припомнете си, че се нарича правилна десетична дроб реално числос нулева цяла част. За да преобразувате такова число в бройна система с основа N, трябва последователно да умножите числото по N, докато дробната част стане нула или се получи необходимия брой цифри. Ако по време на умножението се получи число с цяла част, различна от нула, тогава цялата част не се взема предвид допълнително, тъй като тя се въвежда последователно в резултата.

4. Преобразувайте числото 0,125 10 в двоичната бройна система.
Решение: 0,125·2 = 0,25 (0 е цялата част, която ще стане първата цифра на резултата), 0,25·2 = 0,5 (0 е втората цифра на резултата), 0,5·2 = 1,0 (1 е третата цифра на резултата и тъй като дробната част е нула, тогава преводът е завършен).
отговор: 0.125 10 = 0.001 2

Цел на работата.Изучаване на методи и развиване на умения за преобразуване на числа от една позиционна бройна система в друга.

Броят на различните цифри, използвани в една позиционна система, определя името на бройната система и се нарича основа та бройна система.

Всяко число N в позиционна бройна система с основа може да се представи като полином от основата :

Къде
- номер, - цифри на числото (коефициенти при степени ),- основа на бройната система ( >1).

Числата се записват като последователност от числа:

.
, точка в редицата разделя цялата част на числото от дробната част (коефициенти за неотрицателни степени, от коефициенти за отрицателни степени). Точката се пропуска, ако числото е цяло число (без отрицателни степени).

Компютърните системи използват позиционни бройни системи с недесетична основа: двоична, осмична, шестнадесетична.

Хардуерната основа на компютъра се състои от двупозиционни елементи, които могат да бъдат само в две състояния; единият от които е обозначен с 0, а другият - 1. Следователно аритметично-логическият основен компютър е двоичната бройна система.

Двоична бройна система.Използват се две цифри: 0 и 1. В двоичната система всяко число може да бъде представено като:
.
, Къде или 0 или 1.

Този запис съответства на сбора от степените на 2, взети с посочените коефициенти:

Осмична бройна система.Използват се осем цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Използват се в компютър като спомагателни за запис на информация в съкратен вид. За представяне на една цифра осмична системаизползват се три двоични цифри (триада) (виж таблица 1).

Шестнадесетична бройна система.За представяне на числа се използват 16 цифри. Първите десет цифри на тази система са обозначени с числа от 0 до 9, а горните шест цифри с латински букви: A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15). Шестнадесетичната система, подобно на осмичната, се използва за запис на информация в съкратена форма. За представяне на една цифра от шестнадесетичната бройна система се използват четири двоични цифри (тетрада) (виж таблица 1).

Таблица 1.

Азбуки на позиционните бройни системи (ss)

Двоичен ss (База 2)	Осмичен ss (База 8)		Десетичен ss (База 10)	Шестнадесетичен ss (База 16)
		Двоичен			Двоични тетради

Задача 1.Преобразувайте числа от дадените бройни системи в десетична система.

Методически указания.

Преобразуването на числата в десетичната система се извършва чрез съставяне на сумата от степенен ред с основата на системата, от която се преобразува числото. След това се изчислява стойността на тази сума.

Примери.

а) Преведете s.s. 

.

б) Преведете
с.с.

в) Преведете
с.с.

Задача 2.Преобразувайте цели числа от десетични в осмични, шестнадесетични и двоични.

Методически указания.

Преобразуването на цели десетични числа в осмична, шестнадесетична и двоична система се извършва чрез последователно разделяне на десетичното число на основата на системата, в която се преобразува, докато се получи частното равно на нула. Числото в новата система се записва като остатъци от деление, започвайки от последното.

Примери.

а) Преведете
с.с.

181: 8 = 22 (остатък 5)

22: 8 = 2 (остатък 6)

2: 8 = 0 (остатък 2)

отговор:
.

б) Преведете
с.с.

Таблицата показва разделението:

622: 16 = 38 (остатък 14 10 = E 16)

38: 16 = 2 (остатък 6)

2: 16 = 0 (остатък 2)

отговор:
.

Задача 3.Преобразувайте обикновените десетични числа от десетични в осмични, шестнадесетични и двоични.

С помощта на този онлайн калкулатор можете да конвертирате цели и дробни числа от една бройна система в друга. Дадено е подробно решение с обяснения. За да преведете, въведете оригиналното число, задайте основата на бройната система на изходния номер, задайте основата на бройната система, в която искате да преобразувате числото и щракнете върху бутона "Превод". Вижте теоретичната част и числените примери по-долу.

Резултатът вече е получен!

Преобразуване на цели и дробни числа от една бройна система във всяка друга - теория, примери и решения

Има позиционни и непозиционни бройни системи. Арабската бройна система, която използваме в ежедневието, е позиционна, но римската не е позиционна. В позиционните бройни системи позицията на числото еднозначно определя големината на числото. Нека разгледаме това на примера на числото 6372 в десетичната бройна система. Нека номерираме това число отдясно наляво, започвайки от нула:

Тогава числото 6372 може да бъде представено по следния начин:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Числото 10 определя бройната система (в случая е 10). Стойностите на позицията на дадено число се приемат като степени.

Помислете за реалното десетично число 1287,923. Нека го номерираме, като започнем от нула, позицията на числото от десетичната запетая наляво и надясно:

Тогава числото 1287.923 може да бъде представено като:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.

Най-общо формулата може да бъде представена по следния начин:

C n s n +C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

където C n е цяло число на позиция п, D -k - дробно числов позиция (-k), s- бройна система.

Няколко думи за бройните системи Числото в десетичната бройна система се състои от много цифри (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), в осмичната бройна система то се състои от много цифри. (0,1, 2,3,4,5,6,7), в двоичната бройна система - от набор от цифри (0,1), в шестнадесетичната бройна система - от набор от цифри (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), където A,B,C,D,E,F съответстват на числата 10,11, 12,13,14,15 В таблицата табл.1 са представени числата в различни системиОтчитане.

Таблица 1
Нотация
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	А
11	1011	13	б
12	1100	14	В
13	1101	15	г
14	1110	16	д
15	1111	17	Е

Преобразуване на числа от една бройна система в друга

За да преобразувате числа от една бройна система в друга, най-лесният начин е първо да преобразувате числото в десетичната бройна система и след това да преобразувате от десетичната бройна система в необходимата бройна система.

Преобразуване на числа от произволна бройна система в десетична бройна система

Използвайки формула (1), можете да преобразувате числа от произволна бройна система в десетична бройна система.

Пример 1. Преобразувайте числото 1011101.001 от двоична бройна система (SS) в десетична SS. Решение:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125

Пример2. Преобразувайте числото 1011101.001 от осмична бройна система (SS) в десетична SS. Решение:

Пример 3 . Преобразувайте числото AB572.CDF от шестнадесетична бройна система в десетична SS. Решение:

тук А-заменен с 10, б- на 11, В- на 12, Е- до 15.

Преобразуване на числата от десетичната бройна система в друга бройна система

За да преобразувате числа от десетичната бройна система в друга бройна система, трябва да преобразувате поотделно цялата част от числото и дробната част от числото.

Цялата част на числото се преобразува от десетична SS в друга бройна система чрез последователно разделяне на цялата част от числото на основата на бройната система (за двоична SS - на 2, за 8-дневна SS - на 8, за 16 -ary SS - с 16 и т.н. ), докато се получи цял остатък, по-малък от основата CC.

Пример 4 . Нека преобразуваме числото 159 от десетичен SS в двоичен SS:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

Както се вижда от фиг. 1, числото 159, когато е разделено на 2, дава частното 79 и остатъка 1. Освен това, числото 79, когато е разделено на 2, дава частното 39 и остатъка 1 и т.н. В резултат на това, конструирайки число от остатъците от деление (отдясно наляво), получаваме число в двоичен SS: 10011111 . Следователно можем да напишем:

159 10 =10011111 2 .

Пример 5 . Нека преобразуваме числото 615 от десетичен SS в осмичен SS.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

Когато преобразувате число от десетична SS в осмична SS, трябва последователно да разделите числото на 8, докато получите цяло число, по-малко от 8. В резултат на това, конструирайки число от остатъци от деление (отдясно наляво), получаваме число в осмичен SS: 1147 (виж фиг. 2). Следователно можем да напишем:

615 10 =1147 8 .

Пример 6 . Нека преобразуваме числото 19673 от десетичната бройна система в шестнадесетична SS.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

Както може да се види от Фигура 3, при последователно разделяне на числото 19673 на 16, остатъците са 4, 12, 13, 9. В шестнадесетичната бройна система числото 12 съответства на C, числото 13 на D. Следователно нашето шестнадесетичното число е 4CD9.

За да преобразуваме редовни десетични дроби (реално число с нулева цяла част) в бройна система с основа s, е необходимо последователно да умножим това число по s, докато дробната част съдържа чиста нула, или получим необходимия брой цифри . Ако по време на умножението се получи число с цяла част, различна от нула, тогава тази цяла част не се взема предвид (те се включват последователно в резултата).

Нека разгледаме горното с примери.

Пример 7 . Нека преобразуваме числото 0,214 от десетичната бройна система в двоична SS.

		0.214
	х	2
0		0.428
	х	2
0		0.856
	х	2
1		0.712
	х	2
1		0.424
	х	2
0		0.848
	х	2
1		0.696
	х	2
1		0.392

Както се вижда от фиг. 4, числото 0,214 се умножава последователно по 2. Ако резултатът от умножението е число с цяла част, различна от нула, тогава цялата част се записва отделно (отляво на числото), а числото се записва с нулева цяла част. Ако резултатът от умножението е число с нулева цяла част, тогава вляво от него се записва нула. Процесът на умножение продължава, докато дробната част достигне чиста нула или получим необходимия брой цифри. Изписвайки удебелени числа (фиг. 4) отгоре надолу, получаваме търсеното число в двоичната бройна система: 0. 0011011 .

Следователно можем да напишем:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Пример 8 . Нека преобразуваме числото 0,125 от десетичната бройна система в двоична SS.

		0.125
	х	2
0		0.25
	х	2
0		0.5
	х	2
1		0.0

За да преобразувате числото 0,125 от десетична SS в двоична, това число се умножава последователно по 2. В третия етап резултатът е 0. Следователно се получава следният резултат:

0.125 10 =0.001 2 .

Пример 9 . Нека преобразуваме числото 0,214 от десетичната бройна система в шестнадесетична SS.

		0.214
	х	16
3		0.424
	х	16
6		0.784
	х	16
12		0.544
	х	16
8		0.704
	х	16
11		0.264
	х	16
4		0.224

Следвайки примери 4 и 5, получаваме числата 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадесетичния SS числата 12 и 11 съответстват на числата C и B. Следователно имаме:

0,214 10 =0,36C8B4 16 .

Пример 10 . Нека преобразуваме числото 0,512 от десетичната бройна система в осмична SS.

		0.512
	х	8
4		0.096
	х	8
0		0.768
	х	8
6		0.144
	х	8
1		0.152
	х	8
1		0.216
	х	8
1		0.728

получено:

0.512 10 =0.406111 8 .

Пример 11 . Нека преобразуваме числото 159.125 от десетичната бройна система в двоична SS. За да направим това, превеждаме отделно цялата част на числото (Пример 4) и дробната част на числото (Пример 8). По-нататъшно комбиниране на тези резултати получаваме:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Пример 12 . Нека преобразуваме числото 19673,214 от десетичната бройна система в шестнадесетична SS. За целта превеждаме поотделно цялата част на числото (Пример 6) и дробната част на числото (Пример 9). Освен това, комбинирайки тези резултати, получаваме.