Най-приемливият вариант за решение, който се взема на управленско ниво по всеки въпрос, се счита за оптимален, а процесът на неговото търсене се счита за оптимизация.

Взаимозависимостта и сложността на организационните, социално-икономическите, техническите и други аспекти на управлението на производството в момента се свежда до вземане на управленско решение, което засяга голям бройразлични видове фактори, които са тясно преплетени помежду си, поради което става невъзможно да се анализира всеки поотделно с помощта на традиционни аналитични методи.

Повечето фактори са решаващи в процеса на вземане на решения и те (по своята същност) не могат да бъдат количествено определени. Има и такива, които са практически непроменени. В тази връзка имаше нужда от разработване на специални методи, способни да осигурят избора на важни управленски решения в рамките на сложни организационни, икономически, технически проблеми (експертни оценки, методи за изследване на операциите и оптимизация и др.).

Методите, насочени към изследване на операциите, се използват за намиране на оптимални решения в такива области на управление като организиране на производствени и транспортни процеси, планиране на мащабно производство, материално-техническо снабдяване.

Методите за оптимизиране на решения включват изследване чрез сравняване на числени оценки на редица фактори, чийто анализ не може да се извърши с помощта на традиционни методи. Оптималното решение е най-доброто измежду възможни вариантиспрямо икономическата система, а най-приемливото по отношение на отделните елементи на системата е неоптималното.

Същността на методите за изследване на операциите

Както бе споменато по-рано, те формират методи за оптимизиране на управленските решения. Тяхната основа са математически (детерминистични), вероятностни модели, представящи процеса, вида на дейността или системата, които се изследват. Този тип модели представляват количествена характеристика на съответния проблем. Те служат като основа за вземане на важни управленски решения в процеса на търсене на оптималния вариант.

Списък с въпроси, които играят важна роля за преките производствени мениджъри и които се решават по време на използването на разглежданите методи:

• степента на валидност на избраните варианти на решение;
• колко по-добри са от алтернативите;
• степен на отчитане на определящите фактори;
• какъв е критерият за оптималност на избраните решения.

Тези методи за оптимизиране на решения (управленски) са насочени към намиране на оптимални решения за възможно най-много фирми, компании или техните подразделения. Те се основават на съществуващи постижения в статистическите, математическите и икономическите дисциплини (теория на игрите, масово обслужване, графики, оптимално програмиране, математическа статистика).

Методи за експертна оценка

Тези методи за оптимизиране на управленските решения се използват, когато проблемът частично или напълно не подлежи на формализиране и неговото решение не може да бъде намерено с помощта на математически методи.

Експертизата е изследване на сложни специални въпроси на етапа на разработване на конкретно управленско решение от съответни лица, които имат специална база от знания и впечатляващ опит, за да се получат заключения, препоръки, становища и оценки. В процеса на експертно изследване се използват най-новите постижения на науката и технологиите в рамките на специализацията на експерта.

Разгледаните методи за оптимизиране на редица управленски решения (експертни оценки) са ефективни при решаването на следните управленски задачи в областта на производството:

1. Изследването на сложни процеси, явления, ситуации, системи, които се характеризират с неформални, качествени характеристики.
2. Класиране и определяне по зададен критерий на значими фактори, които са определящи за функционирането и развитието на производствената система.
3. Разглежданите методи за оптимизация са особено ефективни при прогнозиране на тенденциите в развитието на една производствена система, както и нейното взаимодействие с външната среда.
4. Повишаване надеждността на експертната оценка на предимно целеви функции, които имат количествен и качествен характер, чрез осредняване на мненията на квалифицирани специалисти.

И това са само някои методи за оптимизиране на редица управленски решения (експертна оценка).

Класификация на разглежданите методи

Методите за решаване на оптимизационни проблеми, въз основа на броя на параметрите, могат да бъдат разделени на:

• Методи за едномерна оптимизация.
• Методи за многомерна оптимизация.

Те се наричат ​​още „методи за числена оптимизация“. За да бъдем точни, това са алгоритми за търсенето му.

Като част от използването на деривати, методите са:

• методи за директна оптимизация (нулев ред);
• градиентни методи (1-ви ред);
• Методи от 2-ри ред и др.

Повечето от методите за многомерна оптимизация са близки до проблема на втората група методи (едномерна оптимизация).

Методи за едномерна оптимизация

Всички числени методи за оптимизация се основават на приблизително или точно изчисляване на такива характеристики като стойностите на целевата функция и функциите, които определят допустимия набор и техните производни. По този начин за всяка отделна задача въпросът относно избора на характеристики за изчисление може да бъде решен в зависимост от съществуващите свойства на разглежданата функция, наличните възможности и ограничения при съхранение и обработка на информация.

Съществуват следните методи за решаване на оптимизационни проблеми (едномерни):

• метод на Фибоначи;
• дихотомии;
• златно сечение;
• удвояване на стъпката.

Метод на Фибоначи

Първо, трябва да зададете координатите на точка x на интервала като число, равно на съотношението на разликата (x - a) към разликата (b - a). Следователно a има координата 0 спрямо интервала, а b - 1, средната точка - ½.

Ако приемем, че F0 и F1 са равни помежду си и приемем стойността 1, F2 ще бъде равно на 2, F3 - 3, ..., тогава Fn = Fn-1 + Fn-2. И така, Fn са числата на Фибоначи и търсенето на Фибоначи е оптималната стратегия за така нареченото последователно търсене на максимума поради факта, че е доста тясно свързано с тях.

Като част от оптималната стратегия е обичайно да се избира xn - 1 = Fn-2: Fn, xn = Fn-1: Fn. За всеки от два интервала (или), всеки от които може да действа като стеснен интервал на несигурност, точката (наследена) спрямо новия интервал ще има или координати , или . След това се приема точка като xn - 2, която има една от представените координати спрямо новия интервал. Ако използвате F(xn - 2), функционална стойност, която е наследена от предишния интервал, става възможно да се намали интервалът на несигурност и да се наследи една функционална стойност.

На последната стъпка ще бъде възможно да се премине към интервал на несигурност като , докато средната точка е наследена от предишната стъпка. Като x1 е зададена точка, която има относителна координата ½+ε, а крайният интервал на неопределеност ще бъде или [½, 1] по отношение на .

На 1-ва стъпка дължината на този интервал беше намалена до Fn-1: Fn (от едно). При завършващите стъпки намаляването на дължините на съответните интервали се представя с числата Fn-2: Fn-1, Fn-3: Fn-2, ..., F2: F3, F1: F2 (1 + 2ε ). Така че дължината на такъв интервал като крайната версия ще приеме стойността (1 + 2ε) : Fn.

Ако пренебрегнем ε, тогава асимптотично 1: Fn ще бъде равно на rn, с n→∞ и r = (√5 - 1) : 2, което е приблизително равно на 0,6180.

Струва си да се отбележи, че асимптотично за значително n, всяка следваща стъпка от търсенето на Фибоначи значително стеснява разглеждания интервал с горния коефициент. Този резултат трябва да се сравни с 0,5 (коефициентът на стесняване на интервала на неопределеност в рамките на метода на разполовяване за намиране на нулата на функцията).

Метод на дихотомия

Ако си представите определена целева функция, тогава първо трябва да намерите нейния екстремум в интервала (a; b). За да направите това, абсцисната ос е разделена на четири еквивалентни части, след което е необходимо да се определи стойността на въпросната функция на 5 точки. След това се избира минималният сред тях. Екстремумът на функцията трябва да лежи в интервала (a"; b"), който е съседен на минималната точка. Границите на търсене са стеснени 2 пъти. И ако минимумът се намира в точка a или b, тогава той се стеснява с всичките четири пъти. Новият интервал също е разделен на четири равни сегмента. Поради факта, че стойностите на тази функция в три точки са определени на предишния етап, тогава е необходимо да се изчисли целевата функция в две точки.

Метод на златното сечение

За значителни стойности на n, координатите на точки като xn и xn-1 са близки до 1 - r, равно на 0,3820, и r ≈ 0,6180. Тласъкът от тези стойности е много близо до желаната оптимална стратегия.

Ако приемем, че F(0,3820) > F(0,6180), тогава интервалът е очертан. Въпреки това, поради факта, че 0,6180 * 0,6180 ≈ 0,3820 ≈ xn-1, тогава F вече е известно в този момент. Следователно, на всеки етап, като се започне от 2-ри, е необходимо само едно изчисление на целевата функция и всяка стъпка намалява дължината на разглеждания интервал с коефициент 0,6180.

За разлика от търсенето на Фибоначи, в този методняма нужда да фиксирате числото n, преди да започнете търсенето.

„Златното сечение“ на сечение (a; b) е сечение, при което отношението на неговата дължина r към по-голямата част (a; c) е идентично с отношението на по-голямата част r към по-малката, т.е. , (a; c) до (c; b). Не е трудно да се досетите, че r се определя от горната формула. Следователно, за значително n, методът на Фибоначи влиза в този.

Метод на удвояване на стъпките

Същността е търсенето на посоката на намаляване на целевата функция, движение в тази посока в случай на успешно търсене с постепенно нарастваща стъпка.

Първо, определяме началната координата M0 на функцията F(M), минималната стойност на стъпката h0 и посоката на търсене. След това дефинираме функцията в точка M0. След това правим стъпка и намираме стойността на тази функция в този момент.

Ако функцията е по-малка от стойността, която е била в предишната стъпка, следващата стъпка трябва да се предприеме в същата посока, като първо я увеличите 2 пъти. Ако стойността му е по-голяма от предишната, ще трябва да промените посоката на търсене и след това да започнете да се движите в избраната посока със стъпки h0. Представеният алгоритъм може да бъде модифициран.

Методи за многомерна оптимизация

Гореспоменатият метод с нулев порядък не отчита производните на минимизираната функция, поради което използването им може да бъде ефективно, ако възникнат трудности при изчисляването на производните.

Групата методи от 1-ви ред се нарича още градиентна, тъй като за установяване посоката на търсене се използва градиентът на дадена функция - вектор, чиито компоненти са частни производни на минимизираната функция по отношение на съответните оптимизирани параметри.

В групата на методите от 2-ри ред се използват 2 производни (използването им е доста ограничено поради трудности при изчисляването им).

Списък на неограничени методи за оптимизация

Когато използвате многомерно търсене без използване на производни, методите за безусловна оптимизация са както следва:

• Хук и Джийвс (извършване на 2 вида търсене - базирано на шаблони и проучвателно);
• минимизиране чрез правилния симплекс (търсене на минималната точка на съответната функция чрез сравняване на нейните стойности във върховете на симплекса при всяка отделна итерация);
• циклично спускане на координати (използване на координатни вектори като референтни точки);
• Rosenbrock (въз основа на използването на едномерна минимизация);
• минимизиране с помощта на деформиран симплекс (модификация на метода за минимизиране с помощта на обикновен симплекс: добавяне на процедура за компресиране и разтягане).

В ситуацията на използване на производни в процеса на многомерно търсене се отличава методът на най-стръмното спускане (най-фундаменталната процедура за минимизиране на диференцируема функция с няколко променливи).

Има и други методи, които използват конюгирани посоки (метод на Дейвидон-Флетчър-Пауъл). Неговата същност е представянето на посоките на търсене като Dj*grad(f(y)).

Класификация на методите за математическа оптимизация

Условно, въз основа на измерението на функциите (цел), те са:

• с 1 променлива;
• многоизмерен.

В зависимост от функцията (линейна или нелинейна) има голям брой математически методи, насочени към намиране на екстремум за решаване на проблема.

Въз основа на критерия за използване на производни, методите за математическа оптимизация се разделят на:

• методи за изчисляване на 1 производна на целевата функция;
• многомерен (1-ва производна-векторно количество-градиент).

Въз основа на ефективността на изчислението има:

• методи за бързо изчисляване на екстремум;
• опростено изчисление.

Това е условна класификация на разглежданите методи.

Оптимизация на бизнес процеси

Тук могат да се използват различни методи в зависимост от проблемите, които се решават. Прието е да се разграничават следните методи за оптимизиране на бизнес процесите:

• изключения (намаляване на нивата на съществуващия процес, премахване на причините за смущения и входящ контрол, намаляване на транспортните маршрути);
• опростяване (улеснена обработка на поръчките, намалена сложност на продуктовата структура, разпределение на работата);
• стандартизация (използване специални програми, методи, технологии и др.);
• ускорение (паралелен инженеринг, стимулиране, оперативен дизайн на прототипи, автоматизация);
• промяна (промени в суровините, технологията, методите на работа, персонала, работните системи, обема на поръчките, процедурите за обработка);
• осигуряване на взаимодействие (по отношение на организационни единици, персонал, система на работа);
• подбор и включване (спрямо необходими процеси, компоненти).

Данъчна оптимизация: методи

Руското законодателство предоставя на данъкоплатеца много богати възможности за намаляване на данъците, поради което е обичайно да се разграничават такива методи, насочени към тяхното минимизиране, като общи (класически) и специални.

Общите методи за оптимизиране на данъците са както следва:

• разработване на счетоводна политика на компанията с максимално възможно използване на възможностите, предоставени от руското законодателство (процедурата за отписване на малки предприятия, избор на метод за изчисляване на приходите от продажба на стоки и др.);
• оптимизация чрез договор (сключване на преференциални сделки, ясно и компетентно използване на формулировките и др.);
• прилагане на различни видове облекчения и данъчни облекчения.

Втората група методи също могат да се използват от всички фирми, но все още имат доста тесен обхват на приложение. Специални методиданъчните оптимизации са както следва:

• замяна на отношения (операция, която включва тежко данъчно облагане, се заменя с друга, което позволява да се постигне подобна цел, но в същото време да се използва преференциално данъчно третиране).
• разделяне на отношения (замяна само на част от бизнес сделка);
• отлагане на плащането на данъка (отлагане на момента на появата на облагаемия обект за друг календарен период);
• пряко намаляване на обекта на данъчно облагане (отърваване от много облагаеми сделки или имущество, без това да има отрицателно въздействие върху основните икономически дейности на компанията).

5. Многомерна оптимизация

Линейно програмиране

Оптимизация е целенасочена дейност, насочена към получаване на най-добри резултати при подходящи условия.

Нарича се количествена оценка на качеството, което се оптимизира критерий за оптималност или целева функция .Може да се запише във формата:

(5.1)

където x 1, x 2, …, x n– някои параметри на обекта за оптимизация.

Има два вида оптимизационни задачи – безусловни и условни.

Безусловна задача оптимизацията се състои в намиране на максимума или минимума на реалната функция (5.1) напреални променливи и определяне на съответните стойности на аргумента.

Проблеми с условна оптимизация , или проблеми с ограничения, са тези, при формулирането на които се налагат ограничения под формата на равенства или неравенства върху стойностите на аргументите.

Решаването на задачи за оптимизация, при които критерият за оптималност е линейна функция на независими променливи (т.е. съдържа тези променливи на първа степен) с линейни ограничения върху тях, е предмет на линейно програмиране.

Думата „програмиране“ тук отразява крайната цел на изследването - определяне на оптималния план или оптимална програма, според която от множеството възможни варианти на процеса, който се изследва, се избира най-добрият, оптимален вариант въз основа на някакъв критерий.

Пример такава задача е Проблемът с оптималното разпределение на суровините между различни индустрии при максимални производствени разходи.

Нека два вида продукти са направени от два вида суровини.

Нека означим: x 1 , x 2 – броят на единиците продукти съответно от първи и втори тип; c 1, c 2 – единична цена на продуктите съответно от първи и втори вид. Тогава общата цена на всички продукти ще бъде:

(5.2)

В резултат на производството е желателно общите производствени разходи да бъдат максимизирани.R (x 1, x 2 ) е целевата функция в тази задача.

b 1, b 2 – количеството налични суровини от първи и втори вид;a ij– брой единици аз -ти вид суровина, необходима за производството на единицай-ти вид продукт.

Като се има предвид, че консумацията на този ресурсне може да надвишава общото му количество, записваме ограничителните условия за ресурси:

(5.3)

Относно променливите x 1, x 2 можем също да кажем, че те са неотрицателни и безкрайни:

(5.4)

Сред многото решения на системата от неравенства (5.3) и (5.4) се изисква да се намери такова решение ( x 1, x 2 ), за която функциятаРдостига най-голямата си стойност.

В подобна форма са формулирани така наречените транспортни проблеми (проблеми за оптимално организиране на доставката на стоки, суровини или продукти от различни складове до няколко дестинации с минимални транспортни разходи) и редица други.

Графичен метод за решаване на задачи по линейно програмиране.

Нека се изисква да се намери x 1 и x 2 , задоволителносистема от неравенства:

(5.5)

и условия неотрицателност:

(5.6)

За чиято функция

(5. 7 )

достига своя максимум.

Решение.

Да построим в система от правоъгълни координатих 1 х 2 област на възможните решения на проблема (фиг. 11). За да направим това, замествайки всяко от неравенствата (5.5) с равенство, изграждаме релевантнинеговата гранична линия:

(аз = 1, 2, … , r)

ориз. 11

Тази права линия разделя цялата равнина на две полуравнини. За координати x 1, x 2 всяка точка Аедна полуравнина е валидно следното неравенство:

и за координатите на всяка точка INдруга полуравнина – обратното неравенство:

Координатите на всяка точка от граничната линия отговарят на уравнението:

За да определите от коя страна на граничната линия се намира полуравнината, съответстваща на дадено неравенство, е достатъчно да "тествате" една точка (най-лесният начин е точката ЗА(0;0)). Ако при заместване на неговите координати в лявата част на неравенството то е изпълнено, тогава полуравнината се обръща към изпитваната точка; ако неравенството не е изпълнено, тогава съответната полуравнина се обръща в обратна посока . Посоката на полуравнината е показана на чертежа със щриховка. неравенства:

съответстват на полуравнини, разположени вдясно от ординатната ос и над абсцисната ос.

На фигурата изграждаме гранични линии и полуравнини, съответстващи на всички неравенства.

Общата част (пресечната част) на всички тези полуравнини ще представлява областта на възможните решения на този проблем.

При конструирането на област от възможни решения, в зависимост от конкретния тип система от ограничения (неравенства) на променливите, може да възникне един от следните четири случая:

ориз. 12. Областта на допустимите решения е празна, което съответства на несъгласуваността на системата от неравенства; няма решение

ориз. 13. Областта на възможните решения е представена от една точка А, която съответства на единственото решение на системата

ориз. 14. Областта на възможните решения е ограничена и е изобразена като изпъкнал многоъгълник. Има безкраен брой осъществими решения

ориз. 15. Областта на възможните решения е неограничена, под формата на изпъкнала многоъгълна област. Има безкраен брой осъществими решения

Графично представяне на целевата функция

на фиксирана стойностРопределя права линия, а при изменениеР- семейство от успоредни прави с параметърР. За всички точки, лежащи на една от правите, функцията Рприема една определена стойност, така че посочените прави линии се наричат линии на ниво за функция R.

Градиентен вектор:

перпендикуляренкъм линиите на нивото, показва посоката на нарастванеР.

Задачата за намиране на оптимално решение на системата от неравенства (5.5), за която целевата функция еР(5.7) достига максимум, геометрично се свежда до определяне в областта на допустимите решения на точката, през която ще премине линията на нивото, съответстваща на най-голямата стойност на параметъраР

ориз. 16

Ако областта на възможните решения е изпъкнал многоъгълник, тогава екстремумът на функциятаР се достига поне в един от върховете на този многоъгълник.

Ако екстремната стойностРсе постига в два върха, тогава същата екстремна стойност се постига във всяка точка на сегмента, свързващ тези два върха. В този случай се казва, че задачата има алтернативен оптимум .

В случай на неограничена област, екстремумът на функциятаРили не съществува, или се постига в един от върховете на региона, или има алтернативен оптимум.

Пример.

Да предположим, че трябва да намерим стойностите x 1 и x 2 , удовлетворяващи системата от неравенства:

и условия неотрицателност:

За чиято функция е:

достига своя максимум.

Решение.

Нека заменим всяко от неравенствата с равенство и построим граничните линии:

ориз. 17

Нека определим полуравнините, съответстващи на тези неравенства, като „тестваме“ точката (0;0). Като се има предвид неотрицателност x 1 и x 2 получаваме областта на възможните решения на този проблем под формата на изпъкнал многоъгълник OAVDE.

В областта на възможните решения намираме оптималното решение чрез конструиране на градиентния вектор

показванепосока на нарастванеР.

Оптималното решение съответства на точката IN, чиито координати могат да бъдат определени графично или чрез решаване на система от две уравнения, съответстващи на граничните прави линии AB и VD:

отговор: x 1 = 2; х 2 = 6; Rmax = 22.

Задачи. Намерете позицията на екстремалната точка и екстремната стойност на целевата функция

при дадени ограничения.

Таблица 9
Опция №	Екстремум				Ограничения
	М брадва				; ; ; ;
	Макс				; ; ; ;
					; ;
					; ; ; ;
					; ; ; ;
					; ;

Сред методите за оптимизация от нулев ред в CAD се използват методите на Rosenbrock, конфигурациите, деформируемият полиедър и случайното търсене. Методите, използващи производни, включват най-стръмно спускане, конюгиран градиент и методи с променлива метрика.

Методът на Rosenbrock е подобрена версия на координатното спускане.

Метод на координатно спусканехарактеризиращ се с избор на посоки на търсене последователно по всички координатни оси, стъпката се изчислява на базата на едномерна оптимизация, критерият за приключване на търсенето , където е определената точност на определяне на локалния екстремум, е измерението на пространството контролирани параметри. Координатната траектория на спускане за пример на двумерно пространство с контролирани параметри е показана на фиг. 1, където са точки от траекторията на търсене и са контролирани параметри. Целевата функция е представена от нейните линии с еднакви нива и съответната стойност е написана до всеки ред. Очевидно има минимална точка.

ориз. 1. Траектория на координатно спускане

Когато използвате метода на спускане по координати, има голяма вероятност търсенето да заседне в дъното на дере, далеч от екстремната точка. На фиг. 2 показва, че след попадение в точката, разположена на дъното на дерето, са възможни по-нататъшни стъпки само в посоките или , но те водят до влошаване на целевата функция. Следователно търсенето спира в точка .

Бележка 1

Дерето е част от пространството на контролираните параметри, в която се наблюдават слаби промени в производните на целевата функция в някои посоки и значителни промени с промяна на знака в други посоки. Знакът на производната се променя в точки, принадлежащи на дъното на дерето.

ориз. 3. Траектория на координатно спускане с благоприятна ориентация на координатните оси

Метод на Розенброксе състои в завъртане на координатните оси, така че една от тях да се окаже квазиуспоредна на дъното на дерето. Това въртене се извършва въз основа на данни, получени след серия от стъпки на спускане на координати. Позицията на новите оси може да се получи чрез линейна трансформация на предишните оси: оста съвпада по посока с вектора; останалите оси се избират от условието за ортогоналност една спрямо друга.

Друга успешна модификация на координатното спускане е метод на конфигуриране(Хук-Джийвс). В съответствие с този метод първо се извършва обичайната серия от стъпки на спускане на координати, след което се прави допълнителна стъпка в посока на вектора, както е показано на фиг. 4, където се извършва допълнителна стъпка по посока на вектора, която води до точка .

ориз. 4. Илюстрация на метода на конфигуриране

Търсене на екстремум метод на деформируем полиедър(Nelder-Mead) се основава на изграждането на полиедър с върхове на всяка стъпка на търсене, където е размерността на пространството на контролираните параметри. В началото на търсенето тези върхове се избират на случаен принцип, в следващите стъпки изборът се подчинява на правилата на метода.

Тези правила са обяснени на фиг. 5, използвайки примера на двумерен оптимизационен проблем. Избрани са върховете на оригиналния триъгълник: , , . Новият връх се намира на лъча, прекаран от най-лошия връх (от върха с най-голяма стойност на целевата функция) през центъра на тежестта на полиедъра, като се препоръчва да се избере на разстояние от , равно на . Новият връх замества най-лошия връх. Ако се окаже, че има най-добрата стойност на целевата функция сред върховете на полиедъра, тогава разстоянието се увеличава. На фигурата това е точно ситуацията, която се случва и увеличението дава точката. В нов полиедър с върхове , , най-лошият е връх , по подобен начин се получава връх , след това връх и т.н. Ако новият връх се окаже по-лош, тогава най-добрият връх трябва да бъде запазен в полиедъра и дължините на всички ръбове трябва да бъдат намалени, например, наполовина (свиване на многостена до най-добрия връх). Търсенето спира, когато е изпълнено условието за намаляване на размера на полиедъра до определена граница.

оптималната стъпка се избира с помощта на едномерна оптимизация.

При използване на метода на най-стръмното спускане, подобно на повечето други методи, ефективността на търсенето е значително намалена в ситуации на дере. Траекторията на търсене придобива зигзагообразна форма с бавно движение по дъното на дерето към екстремума. За да се увеличи ефективността на градиентните методи, се използват няколко техники.

Една от техниките, използвани в метод на спрегнат градиент(наричан още метод на Флетчър-Рийвс), се основава на концепцията за конюгация на вектори. Векторите и се наричат ​​-конюгирани, ако , където е положително определена квадратна матрица от същия ред като размера на векторите и (специален случай на конюгация е ортогоналността на векторите, когато е единичната матрица от ред), е ред вектор, е колонен вектор.

Особеността на спрегнатите посоки за , където е матрицата на Хесиан, в задачи с квадратична целева функция е следната: едномерното минимизиране последователно по спрегнатите посоки прави възможно намирането на екстремната точка за не повече от стъпки.

Бележка 2

Матрицата на Хесиан е матрицата на вторите частични производни на целевата функция по отношение на контролираните параметри.

Причината за използването на -conjugate search е, че за функции () общ изгледМоже да се приложи квадратично приближение, което на практика води до извършване на търсене в повече от стъпки.

Търсенето на екстремум се извършва в съответствие с формулата

къде е коефициентът. Освен това се взема предвид условието за конюгация

Тъй като стъпката се изчислява въз основа на условието за едномерна оптимизация, тогава, първо, следната връзка е вярна:

Алгоритъмът за търсене се свежда до прилагане на формула (3), докато не бъде изпълнено условието за завършване на изчисленията

За да определите коефициента, решете системата от уравнения (2)-(7), като заместите в (4) стойностите от (3) и от (2):

или

където

и като се вземат предвид (6) и (7)

Израз (10) е система от линейни алгебрични уравнения. Неговият корен е друго приближение към решението

Ако процесът се сближава, тогава решението се постига в малък брой итерации, чийто край е изпълнението на условието
Къде

Ето защо

Може да се покаже, че клони към , - към когато , където е размерността на пространството на контролираните параметри. След стъпки трябва да започнете отново от .