Mövzu: “Funksiya: anlayışı, tapşırılma üsulları, əsas xüsusiyyətləri. Tərs funksiya. Funksiyaların superpozisiyası."

Dərsin epiqrafı:

“Bir şeyi öyrən və bu barədə düşünmə

öyrənildi - tamamilə faydasız.

Bir şeyi öyrənmədən düşünmək

ilkin düşüncə mövzusu -

Konfutsi.

Dərsin məqsədi və psixoloji-pedaqoji vəzifələri:

1) Ümumi təhsil (normativ) məqsəd: Şagirdlərlə funksiyanın tərifini və xassələrini nəzərdən keçirin. Funksiyaların superpozisiya anlayışını təqdim edin.

2) Şagirdlərin riyazi inkişafının məqsədləri: tələbələrin zehni təcrübəsinin, onların riyazi intellektinin mənalı idrak strukturunun, o cümlədən məntiqi-deduktiv və induktiv, analitik və sintetik geri dönən təfəkkür, cəbri və obrazlı-qrafik təfəkkür bacarıqlarının inkişafını davam etdirmək üçün qeyri-standart tədris və riyazi materialdan istifadə etmək. , mənalı ümumiləşdirmə və konkretləşdirmə, tələbələrin metakoqnitiv qabiliyyəti kimi əks etdirmə və müstəqillik; təhsil və riyazi intellektin psixoloji mexanizmləri kimi yazılı və şifahi nitq mədəniyyətinin inkişafını davam etdirmək.

3) Təhsil vəzifələri: riyaziyyata idraki maraq, məsuliyyət, vəzifə hissi, akademik müstəqillik, qrup, müəllim, sinif yoldaşları ilə əməkdaşlıq etmək üçün kommunikativ qabiliyyəti olan tələbələrdə fərdi təhsili davam etdirmək; rəqabətli təhsil və riyazi fəaliyyət üçün avtoqoji qabiliyyət, yüksək və ən yüksək nəticələrə can atmaq (akmeik motiv).

Dərs növü: yeni materialın öyrənilməsi; aparıcı riyazi məzmun meyarına görə - praktiki dərs; tələbələrlə müəllim arasında informasiya qarşılıqlı əlaqə növü meyarına görə - əməkdaşlıq dərsi.

Dərs avadanlığı:

1. Tədris ədəbiyyatı:

1) Kudryavtsev riyazi analiz: Dərslik. universitet və universitet tələbələri üçün. 3 cilddə T. 3. – 2-ci nəşr, yenidən işlənmiş. və əlavə – M.: Daha yüksək. məktəb, 1989. – 352 s. : xəstə.

2) Riyazi analizdə Demidoviç məsələləri və məşqlər. – 9-cu nəşr. – M.: “Nauka” nəşriyyatı, 1977.

2. İllüstrasiyalar.

Dərsin gedişatı.

1. Dərsin mövzusunun və əsas tərbiyəvi məqsədinin elanı; tələbələrdə vəzifə, məsuliyyət hissi və sessiyaya hazırlıq zamanı idrak marağının stimullaşdırılması.

2.Suallar əsasında materialın təkrarı.

a) Funksiyanı təyin edin.

Əsas riyazi anlayışlardan biri funksiya anlayışıdır. Funksiya anlayışı iki çoxluğun elementləri arasında əlaqə yaratmaqla bağlıdır.

İki boş olmayan dəst olsun və verilsin. Hər bir elementə bir və yalnız bir elementlə uyğun gələn f uyğunluğu deyilir funksiyası və y = f(x) yazır. Onlar da deyirlər ki, f funksiyası göstərir çoxu çox.

https://pandia.ru/text/79/018/images/image003_18.gif" width="63" height="27">.gif" width="59" height="26"> adlanır mənalar toplusu f funksiyası və E(f) ilə işarələnir.

b) Ədədi funksiyalar. Funksiya qrafiki. Funksiyaların təyin edilməsi üsulları.

Funksiya verilsin.

Əgər və çoxluqlarının elementləri həqiqi ədədlərdirsə, f funksiyası çağırılır ədədi funksiya . x dəyişəni adlanır arqument və ya müstəqil dəyişən və y – funksiyası və ya asılı dəyişən(x-dən). X və y kəmiyyətlərinin özlərinə gəldikdə, onların içində olduqları deyilir funksional asılılıq.

Funksiya qrafiki y = f(x) Oxy müstəvisinin bütün nöqtələrinin çoxluğudur, onların hər biri üçün x arqumentin qiyməti, y isə funksiyanın müvafiq qiymətidir.

y = f(x) funksiyasını təyin etmək üçün x-i bilməklə y-nin uyğun qiymətini tapmağa imkan verən qayda müəyyən etmək lazımdır.

Funksiyanı təyin etməyin ən çox yayılmış üç yolu bunlardır: analitik, cədvəl və qrafik.

Analitik üsul: Funksiya bir və ya bir neçə düstur və ya tənlik kimi müəyyən edilir.

Məsələn:

Əgər y = f(x) funksiyasının tərif sahəsi göstərilməyibsə, onun müvafiq düsturun mənalı olduğu arqumentin bütün dəyərlərinin çoxluğu ilə üst-üstə düşdüyü güman edilir.

Funksiyanı təyin etməyin analitik üsulu ən təkmildir, çünki o, y = f(x) funksiyasını tam öyrənməyə imkan verən riyazi analiz üsulları ilə müşayiət olunur.

Qrafik üsul: Funksiyanın qrafikini təyin edir.

Qrafik tapşırığın üstünlüyü onun aydınlığı, dezavantajı onun qeyri-dəqiqliyidir.

Cədvəl üsulu: Funksiya bir sıra arqument dəyərləri və müvafiq funksiya dəyərlərinin cədvəli ilə müəyyən edilir. Məsələn, triqonometrik funksiyaların dəyərlərinin tanınmış cədvəlləri, loqarifmik cədvəllər.

c) Funksiyanın əsas xarakteristikası.

1. D çoxluğunda müəyyən edilmiş y = f(x) funksiyası çağırılır hətta , şərtlər və f(-x) = f(x) yerinə yetirilərsə; qəribə , şərtlər və f(-x) = -f(x) yerinə yetirilərsə.

Cüt funksiyanın qrafiki Oy oxuna görə simmetrik, tək funksiya isə mənşəyinə görə simmetrikdir. Məsələn, – hətta funksiyalar; və y = sinx, https://pandia.ru/text/79/018/images/image014_3.gif" width="73" height="29"> – ümumi formanın funksiyaları, yəni nə cüt, nə də tək .

2. D çoxluğunda y = f(x) funksiyası təyin olunsun və . Arqumentlərin hər hansı dəyəri üçün aşağıdakı bərabərsizlik olarsa: , onda funksiya çağırılır artır setdə; Əgər , onda funksiya çağırılır azalmayan https://pandia.ru/text/79/018/images/image021_1.gif" width="117" height="28 src=">sonra funksiya çağırılır. azalan haqqında; - artmayan .

Setdə artan, artmayan, azalan və azalmayan funksiyalar https://pandia.ru/text/79/018/images/image023_0.gif" width="13" height="13">D dəyəri (x) +T)D və f(x+T) = f(x) bərabərliyi yerinə yetirilir.

T dövrünün dövri funksiyasının qrafikini çəkmək üçün onu T uzunluğunun istənilən seqmentində çəkmək və onu bütün tərif sahəsi boyunca vaxtaşırı davam etdirmək kifayətdir.

Dövri funksiyanın əsas xassələrini qeyd edək.

1) Eyni dövrü T olan dövri funksiyaların cəbri cəmi T dövrü olan dövri funksiyadır.

2) f(x) funksiyasının T dövrü varsa, f(ax) funksiyasının T/a dövrü var.

d) Tərs funksiya.

Qoy y = f(x) funksiyası D tərif dairəsi və E..gif" width="48" height="22"> qiymətlər dəsti ilə verilsin, sonra x = z(y) funksiyası olsun. tərif sahəsi ilə E və qiymətlər dəsti D müəyyən edilir Belə bir funksiya z(y) adlanır tərs f(x) funksiyasına və aşağıdakı formada yazılır: . y = f(x) və x = z(y) funksiyalarının qarşılıqlı tərs funksiyaları olduğu deyilir. y = f(x) funksiyasına tərs olan x = z(y) funksiyasını tapmaq üçün x üçün f(x) = y tənliyini həll etmək kifayətdir.

Nümunələr:

1. y = 2x funksiyası üçün tərs funksiya x = ½ y funksiyasıdır;

2. Funksiya üçün tərs funksiya funksiyadır.

Tərs funksiyanın tərifindən belə çıxır ki, y = f(x) funksiyası yalnız və yalnız o halda tərs funksiyaya malikdir ki, f(x) D və E çoxluqları arasında birə-bir uyğunluğu müəyyən edir. Buradan belə çıxır ki, hər hansı ciddi monoton funksiyanın tərsi var . Üstəlik, əgər funksiya artırsa (azalır), onda tərs funksiya da artır (azalır).

3. Yeni materialın öyrənilməsi.

Kompleks funksiya.

D çoxluğunda y = f(u) funksiyası, çoxluqda isə u = z(x) funksiyası və uyğun qiymət üçün təyin olunsun. . Sonra çağırılan çoxluqda u = f(z(x)) funksiyası müəyyən edilir mürəkkəb funksiya x-dən (və ya superpozisiya müəyyən edilmiş funksiyalar və ya funksiyadan funksiya ).

u = z(x) dəyişəni çağırılır ara arqument mürəkkəb funksiya.

Məsələn, y = sin2x funksiyası iki y = sinu və u = 2x funksiyasının superpozisiyasıdır. Mürəkkəb funksiyanın bir neçə aralıq arqumenti ola bilər.

4. Lövhədə bir neçə nümunənin həlli.

5. Dərsin yekunu.

1) praktiki dərsin nəzəri və tətbiqi nəticələri; tələbələrin zehni təcrübə səviyyəsinin differensial qiymətləndirilməsi; onların mövzunu mənimsəmə səviyyəsini, səriştəsini, şifahi və yazılı riyazi nitqin keyfiyyətini; nümayiş etdirilən yaradıcılıq səviyyəsi; müstəqillik və əks etdirmə səviyyəsi; təşəbbüs səviyyəsi, riyazi təfəkkürün fərdi metodlarına idrak marağı; əməkdaşlıq səviyyələri, intellektual rəqabət, yüksək səviyyəli təhsil və riyazi fəaliyyət istəyi və s.;

2) əsaslandırılmış qiymətlərin, dərs ballarının elanı.

Quraşdırma funksiyası

Diqqətinizə bütün hüquqları şirkətə məxsus olan onlayn funksiya qrafiklərinin qurulması xidmətini təklif edirik Desmos. Funksiyaları daxil etmək üçün sol sütundan istifadə edin. Siz əl ilə və ya pəncərənin altındakı virtual klaviaturadan istifadə edərək daxil edə bilərsiniz. Pəncərəni qrafiklə böyütmək üçün həm sol sütunu, həm də virtual klaviaturanı gizlədə bilərsiniz.

Onlayn diaqramın üstünlükləri

• Daxil edilmiş funksiyaların vizual göstərilməsi
• Çox mürəkkəb qrafiklərin qurulması
• Dolayı şəkildə göstərilən qrafiklərin qurulması (məsələn, ellips x^2/9+y^2/16=1)
• Diaqramları saxlamaq və İnternetdə hər kəs üçün əlçatan olan onlara keçid almaq imkanı
• Şkala, xətt rənginə nəzarət
• Qrafiklərin nöqtələr üzrə çəkilməsi, sabitlərdən istifadə etmək imkanı
• Bir neçə funksiya qrafikinin eyni vaxtda çəkilməsi
• Qütb koordinatlarında qrafiklər (r və θ(\theta) istifadə edin)

Bizimlə onlayn olaraq müxtəlif mürəkkəblikdə qrafiklər qurmaq asandır. Tikinti dərhal həyata keçirilir. Xidmət funksiyaların kəsişmə nöqtələrini tapmaq, onların sonrakı hərəkəti üçün qrafikləri təsvir etmək üçün tələb olunur. Word sənədi problemləri həll edərkən illüstrasiyalar kimi, funksiya qrafiklərinin davranış xüsusiyyətlərini təhlil etmək. Saytın bu səhifəsində qrafiklərlə işləmək üçün optimal brauzerdir Google Chrome. Digər brauzerlərdən istifadə edərkən düzgün işləməyə zəmanət verilmir.

Tək dövrəli (yaddaş elementləri olmayan) diskret məntiq cihazları çıxışda müəyyən məntiq cəbri funksiyalarını həyata keçirir. `F m =(F 1 ,F 2 ,…,F m), hər an yalnız cihazın girişlərinin vəziyyətindən asılıdır `x n =(x 1 ,x 2 ,…,x n): `F m = `F m(`x n). Təcrübədə bu cür cihazlar müəyyən bir dəsti (sistemi) həyata keçirən ayrı-ayrı bölünməz elementlərdən layihələndirilir və istehsal olunur ( f) bəzi elementlərin çıxışlarını digərlərinin girişləri ilə birləşdirərək cəbrin elementar funksiyaları.

Məntiqi qurğuların layihələndirilməsi zamanı aşağıdakı suallar aktualdır.

1. Elementar funksiyalar sistemi verilmişdir ( f). Çıxış funksiyaları hansılardır? F i funksiyalarından istifadə etməklə əldə edilə bilər ( f}?

2. Çıxış Boolean funksiyaları dəsti ( F) (xüsusilə, məntiq cəbrinin bütün funksiyalar toplusuna bərabərdir R 2). Elementar funksiyaların ilkin sistemi nə olmalıdır ( f), çıxışda çoxluğun hər hansı bir funksiyasını əldə etmək imkanını təmin edən ( F}?

Bu suallara ağlabatan cavab vermək üçün funksiyalar sistemlərinin superpozisiya, qapalılıq və tamlıq anlayışlarından istifadə olunur.

Tərif. Məntiqi birləşdiricilər toplusunu nəzərdən keçirək ( F), bəzi funksiyalar sisteminə uyğundur ( f} . Superpozisiya bitdi{f) üzərində düsturla həyata keçirilə bilən hər hansı j funksiyası ( F}.

Təcrübədə superpozisiya funksiyaları (-dən) əvəz etmənin nəticəsi kimi təqdim edilə bilər. f) eyni çoxluqdan funksiyaya arqumentlər kimi.

Misal 1. funksiyalar sistemini nəzərdən keçirək ( f} = {f 1 (X) =`x, f 2 (x,y)= X&y, f 3 (x,y)=XÚ y). Funksiyaya əvəz edilməsi f 3 (x,y) birinci arqumentin yerinə X funksiyası f 1 (X), ikinci əvəzinə - f 2 (x,y), superpozisiyanı alırıq h(x,y)=f 3 (f 1 (X),f 2 (x,y))=`xÚ X& saat. Əvəzetmənin fiziki icrası Şəkil 1.18-də verilmişdir.

Tərif. Qoy M-müəyyən məntiqi cəbr funksiyaları toplusu ( P 2). Bütün superpozisiyaların çoxluğu Mçağırdı qısaqapanma dəstləri M və [ ilə işarələnir M]. Qəbul [ M]orijinal dəstlə Mçağırdı bağlama əməliyyatı. Çox Mçağırdı funksional qapalı sinif, Əgər [ M] = M. alt çoxluq mÍ Mçağırdı M-də funksional olaraq tam sistem, Əgər [ m] = M.

Bağlanma [ M] əldə edilə bilən bütün funksiyalar toplusunu təmsil edir M superpozisiya əməliyyatını tətbiq etməklə, yəni. bütün mümkün əvəzetmələr.

Qeydlər. 1. Aydındır ki, istənilən funksiyalar sistemi ( f) özlüyündə funksional olaraq tamdır.

2 . Ümumiliyi itirmədən şəxsiyyətin funksiyasını yerinə yetirdiyini güman edə bilərik f(X)=x Dəyişənlərin həqiqət dəyərlərini dəyişdirməyən , əvvəlcə hər hansı funksiyalar sisteminin bir hissəsidir.

Misal 2. Aşağıda müzakirə olunan funksiyalar sistemləri üçün ( f) aşağıdakıları edin:

1) bağlamanı tapın [ f],

2) sistemin ( f) qapalı sinif,

3) funksional olaraq tam sistemləri tapın ( f}.

Həll.

I. ( f}={0} . Funksiyanı əvəz edərkən ( fº 0) biz onu özümüzə qəbul edirik, yəni. yeni funksiyalar yaradılmır. Aşağıdakılar: [ f] = {f). Baxılan sistem funksional qapalı sinifdir. Ondakı funksional tam sistem birdir və bütövə bərabərdir ( f}.

II. ( f} = {0,Ø } . Əvəzetmə Ø (Ø X)orijinal sistemi formal olaraq genişləndirməyən eyni funksiyanı verir. Bununla belə, Ø (0) əvəz edərkən eyni vahidi alırıq - yeni xüsusiyyət, ilkin sistemdə olmayan: Ø (0)=1 . Bütün digər əvəzetmələrin tətbiqi yeni funksiyaların yaranmasına səbəb olmur, məsələn: ØØ 0 = 0, 0(Ø X)=0.

Beləliklə, superpozisiya əməliyyatının istifadəsi orijinaldan daha geniş funksiyalar toplusunu əldə etməyə imkan verdi. f]=(0,Ø,1). Bu, ciddi bir giriş deməkdir: ( f} Ì [ f]. Mənbə sistemi {f) funksional qapalı sinif deyil. Sistemin özündən əlavə ( f)digərləri funksional olaraq tam sistemlər etmir, çünki onun bir funksiyadan daralması halında f= 0 əvəzetmə yolu ilə inkar edilə bilməz və eyni sıfır tək inkar funksiyasından alına bilməz.

III. ( f) = (& ,Ú ,Ø ).Bu sistemin bağlanması məntiq cəbrinin bütün funksiyalar toplusudur. P 2, çünki onlardan hər hansı birinin düsturu elementar funksiyalardan istifadə edən DNF və ya CNF şəklində təqdim edilə bilər ( f) = (& ,Ú ,Ø). Bu fakt nəzərdən keçirilən funksiyalar sisteminin tamlığının konstruktiv sübutudur P 2: [f]=P 2 .

ildən P 2-dən başqa sonsuz sayda başqa funksiyalar var. f) = (& ,Ú ,Ø ), onda bu ciddi bir hadisəni nəzərdə tutur: ( f}Ì[ f]. Baxılan sistem funksional qapalı sinif deyil.

Sistemin özündən əlavə, alt sistemlər funksional olaraq tamamlanacaq ( f) 1 = (& ,Ø ) və ( f) 2 = (Ú ,Ø ). De Morqanın qaydalarından istifadə edərək məntiqi toplama funksiyası Ú (& , Ø) və məntiqi vurma funksiyası & vasitəsilə (Ú, Ø) ilə ifadə oluna bilər.

(X & saat) = Ø (` XÚ` saat), (X Ú saat) = Ø ( X &`saat).

Digər funksional tamamlanmış alt sistemlər ( f) Xeyr.

Funksiya alt sisteminin tamlığının yoxlanılması ( f) 1 М ( f) bütün sistemdə ( f)qarışdırmaqla əldə edilə bilər ( f) 1 digərinə, açıq-aydın tamamlandı ( f)sistem.

alt sistemin natamamlığı ( f) 1 in ( f) ciddi şəkildə [[ baş verməsini] sübut etməklə yoxlanıla bilər. f 1 ] М [ f].

Tərif. alt çoxluq mÍ Mçağırdı funksional əsas(əsas)sistemləri M, Əgər [ m] = M, və ondan hər hansı bir funksiyanı xaric etdikdən sonra qalanların çoxluğu tam deyil M .

Şərh. Funksiyalar sisteminin əsasları (f) onun bütün funksional tam alt sistemləridir (f) 1, tamlığını itirmədən azaldıla bilməz (f).

Misal 3. Nümunə 2-də nəzərdən keçirilən bütün sistemlər üçün əsasları tapın.

Həll.1 və 2-ci hallarda yalnız sistemlərin özləri funksional olaraq tamamlanır və onları daraltmaq mümkün deyil. Nəticə etibarı ilə onlar da əsasdırlar.

3-cü halda iki funksional tamamlanmış var (( f)alt sistemlər ( f) 1 = (&,Ø ) və ( f) 2 =(Ú,Ø ), tamlığını itirmədən azaldıla bilməz. Onlar sistemin əsasları olacaqlar ( f} = {&,Ú,Ø}.

Tərif. Qoy sistem ( f) qapalı sinifdir. Onun alt çoxluğu ( f) 1 М ( f) çağırılır kiçik sinifdə{f), Əgər ( f) 1 tam deyil (( f} ([f 1 ] М [ f]) və sistemdən istənilən j funksiyası üçün( f), daxil deyil ( f) 1 (jО( f} \ {f) 1) doğru: [ jÈ { f} 1 ] = [f], yəni. jк əlavə etmək ( f) 1 onu tamamlayır (( f} .

Tapşırıqlar

1. Funksiya dəstlərinin qapalılığını yoxlayın:

a) (Ø); b) (1, Ø ); c) ((0111); (10));d) ((11101110); (0110));d) ((0001); (00000001); (0000000000000001); … ).

2. Funksiya sistemlərinin tamlığını yoxlayın P 2:

a) (0,Ø); b) ((0101) , (1010) ); V); d) ((0001) , (1010) ).

3. Funksiyalar sisteminin qapanmasını və onun əsasını tapın:

a) (0, 1, Ø); b) ((1000) , (1010), (0101) ); c) ((0001) , (1110), (10) ); d) ((1010) , (0001), (0111) ).

1.10.2 Sabitləri saxlayan funksiyalar. T 0 və T 1 sinifləri

Tərif. Funksiya f(`x n) saxlayır 0 əgər f(0,..., 0) = 0. Funksiya f(`x n) saxlayır 1 əgər f(1, ... , 1) = 1.

Çoxlu xüsusiyyətlər n 0 və 1-i saxlayan dəyişənlər müvafiq olaraq işarələnir, T 0 n Və T 1 n. 0 və 1-i saxlayan bütün məntiqi cəbr funksiyaları dəstləri , işarələmək T 0 Və T 1. Dəstlərin hər biri T 0 və T 1 qapalı qabaqcıl sinifdir R 2 .

Elementar funksiyalardan tutmuş T 0 və T 1 eyni vaxtda daxil edilir, məsələn, & və Ú. İstənilən funksiyanın siniflərə aid olması T 0 , T 1, həqiqət cədvəlindəki dəyər vektorunun birinci və sonuncu qiyməti ilə və ya funksiyanı analitik olaraq təyin edərkən birbaşa sıfırları və birləri düsturda əvəz etməklə yoxlanıla bilər.

Tərif.Dublikat eyni dəyişənin bir neçə müstəqil dəyişənin əvəzinə funksiyaya əvəz edildiyi əvəzetmədir. Bu halda, əvvəllər bir-birindən asılı olmayaraq dəyərlər almış çoxluqlardakı dəyişənlərin dəyərləri həmişə eyni olacaqdır.

VƏZİFƏLƏR

1. Sinif üzvlüyünü yoxlayın T 0 Və T 1 funksiyaları:

a) ümumiləşdirilmiş toplama, b) ümumiləşdirilmiş vurma, c) sabitlər, d) xyÚ yz, d) X® saat® xy, e) XÅ saat, və)( X 1 Å … Å X n) ® ( y 1 Å … Å y m) at n, mÎ N.

2. Hər bir sinfin qapalılığını sübut edin T 0 Və T 1 .

3. Sübut edin ki, əgər f(`x n) Ï T 0, onda ondan əvəzetməni təkrarlamaqla sabit 1 və ya inkarı əldə edə bilərsiniz.

4. Sübut edin ki, əgər f(`x n) Ï T 1 , onda ondan əvəzetməni təkrarlamaqla sabit 0 və ya inkarı əldə edə bilərsiniz.

5. Dərslərin hər birinin tamlığını sübut edin T 0 Və T 1 (məsələn, genişləndirilmiş sistemi (-a endirməklə) f} = {& ,Ú ,Ø }).

6. Siniflərin gücünü tapın T 0 n Və T 1 n.

Verilmiş funksiyanın arqumentinin əvəzinə başqa arqumentdən funksiyanın əvəz edilməsindən ibarət olan funksiyaların superpozisiya (və ya qoyulması) anlayışı ilə tanış olaq. Məsələn, funksiyaların superpozisiyası funksiya verir və funksiyalar da eyni şəkildə alınır

IN ümumi görünüş, tutaq ki, funksiya müəyyən bir domendə müəyyən edilib və funksiya domendə müəyyən edilib və onun bütün dəyərləri domendə var

Verilmiş qiymət verildikdə əvvəlcə ona uyğun gələn y qiymətini tapırlar (işarə ilə xarakterizə olunan qaydaya görə), sonra isə müvafiq y qiymətini təyin edirlər (qaydaya uyğun olaraq).

işarə ilə xarakterizə olunur, onun dəyəri seçilmiş x-ə uyğun hesab olunur. Funksiyadan və ya mürəkkəb funksiyadan yaranan funksiya funksiyaların superpozisiyasının nəticəsidir

Funksiya dəyərlərinin funksiyanın təyin olunduğu Y bölgəsinin hüdudlarından kənara çıxmaması ilə bağlı fərziyyə çox əhəmiyyətlidir: əgər o buraxılıbsa, o zaman absurdluq yarana bilər. Məsələn, fərz etsək, yalnız x-in o dəyərlərini nəzərdən keçirə bilərik, əks halda ifadənin mənası yoxdur.

Burada vurğulamağı məqsədəuyğun hesab edirik ki, funksiyanın kompleks kimi səciyyələndirilməsi z-nin x-dən funksional asılılığının xarakteri ilə deyil, yalnız bu asılılığın konkretləşmə üsulu ilə bağlıdır. Məsələn, Sonra üçün y daxil edək

Burada funksiya mürəkkəb funksiya kimi təyin olundu.

İndi funksiyaların superpozisiya anlayışı tam başa düşüldükdən sonra biz analizdə öyrənilən funksiyalar siniflərindən ən sadəsini dəqiq xarakterizə edə bilərik: bunlar, ilk növbədə, yuxarıda sadalanan elementar funksiyalar, sonra isə onlardan əldə edilənlərin hamısıdır. dörd arifmetik əməliyyat və superpozisiyadan istifadə edərək, ardıcıl olaraq sonlu sayda tətbiq edilir. Onların son formada elementar vasitəsilə ifadə edildiyi deyilir; bəzən onlara elementar da deyilir.

Sonradan daha mürəkkəb analitik aparatı (sonsuz sıralar, inteqrallar) mənimsədikdən sonra biz təhlildə mühüm rol oynayan, lakin artıq elementar funksiyalar sinfindən kənara çıxan digər funksiyalarla da tanış olacağıq.

2 funksiya olsun:

: A→B və g: D→F

g funksiyasının D təyinetmə oblastı f (DB) funksiyasının qiymətlər oblastına daxil edilsin. Sonra yeni bir funksiya təyin edə bilərsiniz - superpozisiya (kompozisiya, mürəkkəb funksiya) f və g funksiyaları: z= g( (x)).

Nümunələr. f(x)=x 2 , g(x)=e x . f:R→R, g:R→R .

(g(x))=e 2x , g((x))=.

Tərif

Qoy iki funksiya olsun. Onda onların tərkibi bərabərliklə müəyyən edilən funksiyadır:

Kompozisiyanın xüsusiyyətləri

Kompozisiya assosiativdir:

Əgər F= id X- eyni xəritəçəkmə X, yəni

.

Əgər G= id Y- eyni xəritəçəkmə Y, yəni

.

Əlavə xüsusiyyətlər

Sayılan və sayıla bilməyən çoxluqlar.

İki sonlu çoxluq, bu çoxluqlar arasında bir-bir uyğunluq qurmaq olarsa, bərabər sayda elementdən ibarətdir. Sonlu çoxluğun elementlərinin sayı çoxluğun kardinallığıdır.

Sonsuz çoxluq üçün bütün çoxluq və onun hissəsi arasında təkbətək uyğunluq qurmaq olar.

Sonsuz çoxluqların ən sadəsi N çoxluğudur.

Tərif. A və B çoxluqları adlanır ekvivalent(AB), əgər onlar arasında təkbətək yazışma qurmaq olarsa.

Əgər iki sonlu çoxluq ekvivalentdirsə, onda onlar eyni sayda elementdən ibarətdir.

Bir-birinə ekvivalent olan A və B çoxluqları ixtiyaridirsə, A və B-nin eyni olduğunu söyləyirlər. güc. (güc = ekvivalentlik).

Sonlu çoxluqlar üçün kardinallıq anlayışı çoxluğun elementlərinin sayı anlayışı ilə üst-üstə düşür.

Tərif. Dəst adlanır sayıla bilən, onunla natural ədədlər çoxluğu arasında təkbətək uyğunluq qurmaq mümkün olarsa. (Yəni, sayıla bilən çoxluq sonsuzdur, N çoxluğuna bərabərdir).

(Yəni, sayıla bilən çoxluğun bütün elementləri nömrələnə bilər).

Bərabər güc münasibətlərinin xassələri.

1) AA - refleksivlik.

2) AB, sonra BA – simmetriya.

3) AB və BC, onda AC keçiddir.

Nümunələr.

1) n→2n, 2,4,6,... - hətta naturallar

2) n→2n-1, 1,3,5,... - tək təbii olanlar.

Sayılan çoxluqların xassələri.

1. Sayılan çoxluğun sonsuz alt çoxluqları sayıla biləndir.

Sübut. Çünki A hesablana bilər, onda A: x 1, x 2,... - A-dan N-ə uyğunlaşdırıldı.

ВА, В: →1,→2,… - B-nin hər bir elementini natural ədədə təyin edir, yəni. B-dən N-ə uyğunlaşdırıldı. Buna görə də B hesablana bilər. və s.

2. Sayılan çoxluqların sonlu (hesablana bilən) sisteminin birliyi hesablana biləndir.

Nümunələr.

1. Z tam ədədlər çoxluğu hesablana bilir, çünki Z çoxluğu hesablana bilən A və B çoxluqlarının birliyi kimi təmsil oluna bilər, burada A: 0,1,2,.. və B: -1,-2,-3,...

2. Çox əmr etdi cütlər ((m,n): m,nZ) (yəni (1,3)≠(3,1)).

3 (!) . Rasional ədədlər çoxluğu hesablana bilir.

Q=. Q azalmayan fraksiyaların çoxluğu ilə sifarişli cütlər dəsti arasında bir-bir uyğunluq qurmaq olar:

Bu. Q çoxluğu ((p,q))((m,n)) çoxluğuna bərabərdir.

((m,n)) çoxluğu – bütün sifarişli cütlərin çoxluğu – hesablana bilir. Nəticə etibarilə, ((p,q)) çoxluğu hesablana bilir və buna görə də Q hesablana bilir.

Tərif.İrrasional ədəd ixtiyari sonsuz onluqdur qeyri-dövri fraksiya, yəni.  0 , 1  2 …

Bütün onluq kəsrlərin çoxluğu çoxluğu təşkil edir həqiqi (real) ədədlər.

İrrasional ədədlər çoxluğu saysızdır.

Teorem 1. Çox real ədədlər intervaldan (0,1) sayılmayan çoxluqdur.

Sübut. Bunun əksini fərz edək, yəni. (0,1) intervalında olan bütün ədədləri nömrələmək olar. Sonra bu ədədləri sonsuz onluq kəsrlər şəklində yazaraq, ardıcıllığı əldə edirik:

x 1 =0,a 11 a 12 ...a 1n ...

x 2 =0,a 21 a 22 …a 2n …

…………………..

x n =0,a n 1 a n 2 …a nn …

……………………

İndi x=0,b 1 b 2 …b n… həqiqi ədədini nəzərdən keçirək, burada b 1 11, (0 və 9)-dan fərqli istənilən ədəddir, b 2 22, (0 və 9) rəqəmindən fərqli istənilən ədəddir. ) ,…, b n - nn-dən fərqli istənilən ədəd, (0 və 9).

Bu. x(0,1), lakin xx i (i=1,…,n) çünki əks halda, b i =a ii . Biz bir ziddiyyətə gəldik. və s.

Teorem 2. Həqiqi oxun istənilən intervalı saysız çoxluqdur.

Teorem 3. Həqiqi ədədlər çoxluğu sayıla bilməz.

Həqiqi ədədlər çoxluğuna ekvivalent olan hər hansı bir çoxluq haqqında onun olduğu deyilir davamlı güc(Latın kontinuum – davamlı, davamlı).

Misal. Göstərək ki, interval kontinuum gücünə malikdir.

y=tg x: →R funksiyası bütün say xəttində (qrafik) intervalı göstərir.